《学案与测评》2011年高考数学总复习 第五单元第八节 正、余弦定理的应用精品课件 苏教版

1、第五单元第五单元 基本初等函数基本初等函数知识体系知识体系第八节第八节 正、余弦定理的应用正、余弦定理的应用基础梳理基础梳理1. 解三角形一般地，把三角形三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2. 解三角形的类型（1）已知三边求三角，用 余弦 定理；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角， 用 余弦 定理；（3）已知两角和任一边，求其他两边和一角，用 正弦 定理；（4）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用 正弦 定理.题型一题型一 三角形与立体几何的综合问题三角形与立体几何的综合问题【例1】如图，某人在高出海

2、面300 m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30，航标B在南偏东60,俯角为45，求这两个航标间的距离.分析 将问题转化为立体几何问题，然后利用三角形知识求解.解由题意得PBC=45,PAC=30,ACB=30,PC=300，在RtPCB中，BC=PC=300.在RtPCA中，在ABC中,由余弦定理,得典例分析典例分析. 3300PC3ACAB2=AC2+BC2-2ACBCcosACBAB=300(m).学后反思本题涉及到测量的俯角、方向角等概念，在解题时应结合实际情况正确理解，并要作出合理转化.,3002330033002-300)3(300222举一反三举一反三1. 某人在山顶

3、观察地面上相距300 m的A与B两个目标，测得目标B在南偏东5，俯角45，同时测得A在南偏东35，俯角30,求山高（设A、B与山底在同一平面上）.解析:画图，设山高MC=x,由题意可得MBC=45,MAC=30,ACB=30.在RtMCB中，BC=MC=x,在RtMCA中，在ABC中，由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即x=300.即山高为300 m.x.3MC3AC,2332-3300222xxxx题型二题型二 构造三角形模型解应用题构造三角形模型解应用题 【例2】(14分)一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D

4、处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动.如图所示，已知 dm,AD=17 dm,BAC=45.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？24AB分析“最快截住”是指“机器人从点B沿直线运动时和足球在直线AD上的点C处相遇”，此时CD=2BC，将问题归结到ABC中，用余弦定理解决.解 设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC=x dm,由题意知，CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x) dm.2在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,.4即x2=( )2+(17-2x)2-2 (17-2x)cos 45,.7解

5、得x1=5 dm,x2= dm,.10AC=17-2x=7 dm或 dm(不合题意，舍去).12所以该机器人最快可在线段AD上离点A 7 dm的点C处截住足球.,142424337323学后反思本题中机器人在从点B开始运动时必须选择一个方向，在这个方向上沿直线运动恰好与足球在直线AD上的点C相遇，这样才能达到“最快截住”的目的，否则就不是“最快截住”，这样就可以把问题归结到一个三角形中，用正、余弦定理来解决问题.举一反三举一反三2. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m,速度为180 km/h,飞机先看到山顶的俯角为15,经过420 s后又看到山顶的

6、俯角为45,求山顶的海拔高度(取21.4,31.7).解析：如图，A=15,DBC=45,ACB=30,AB=180 km/h420 s=21 000m.在ABC中， ,BC= sin 15=10 500( ).CDAD,CD=BCsinCBD=BCsin 45=10 500( ) =10 500( -1)10 500(1.7-1)=7 350.山顶的海拔高度为10 000-7 350=2 650(m).sinBCABsinAACB21000126262223题型三题型三 三角形与函数的综合问题三角形与函数的综合问题【例3】在ABC中，若AB=AC，则cos A+cos B+cos C的取值范

7、围为_.分析 易用余弦定理把原式化成“边”的形式，又AB=AC，即b=c,B=C,则可把cos A+cos B+cos C转化为以 为自变量的二次函数. ba解 由于AB=AC,所以b=c,B=C,由余弦定理,得学后反思解决三角形中的有关问题时，主要通过正弦定理和余弦定理进行边角互化，但也要注意一些隐含条件的利用，例如，在三角形中：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、大边对大角、最大内角的取值范围是 ,最小内角的取值范围是 等.23(1, 23231)-ba(21-12,ba0a,2ba,cb 23 1)-ba(21-1ba)ba(21-2acb-ca22bca-cbC cosB cosA

8、 cos222222222所求值的范围是于是所以即由于3(0,),3举一反三举一反三3. （2010兴化模拟）如图，A、B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设COA=.（1）当点A的坐标为 时，求sin 的值；(2)当0 ，且当点A、B在圆上沿逆时针方向移动时，总有AOB= ，试求BC的取值范围.3 4,5 523解析：解析： （1）A点的坐标为 ，根据三角函数定义可知x= ，y= ,r=1，sin = .(2)AOB= ,COA=,COB=+ .由余弦定理得 -2OCOBcosBOC=1+1-2cos（+ ）=2-2cos（+ ）.0 ， + ， .12-2cos（+ ）2+ ,

9、即1 2+ ,亦即1BC .BC的取值范围是1, .3 4,5 5354545yr33222BCOCOB33335631cos232332BC32323【例例】(2008广州)在ABC中，3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C=_.易错警示易错警示2166521错解分析 在解三角形的问题中,三角形解的个数是一个很容易忽视的问题.上述错解在于考生缺少解题经验，没有去进一步挖掘隐含条件而致错.正解关于3cos A+4sin B=1.由于sin B0,故cos A 由于cos A ,故A 因此若C= ,则A+C,故C= 应舍去,即C= 312131365656错解 由已

10、知等式整理得(3sin A+4cos B)2+(3cos A+4sin B)2=37,整理得25+24sin(A+B)=37,即sin(A+B)= ,又A+B+C=,所以sinC=sin(A+B)= ,解得C= 或 考点演练考点演练10. (2009辽宁改编)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75和30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=0.1 km,求BD的长.解析：在ACD中，DAC=30，ADC=60-DAC=30,所以CD=AC=0.1.又因为BCD=180-60-60=60,故CB

11、是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA.在ABC中， ，即AB= (km),因此，BD= km.sinsinABACBCAABCsin603 26sin1520AC3 262011. (2008上海)如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A和点C处.小区里有两条笔直的小路AD、DC,且拐弯处的转角为120.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50 m，求该扇形的半径OA的长(结果精确到1 m).解析：方法一：设该扇形的半径为r m，由题意得CD=500 m，DA=300 m，CDO=60.在CDO中，CD2+OD2

12、-2CDODcos 60=OC2，即,解得故该扇形的半径OA的长约为445 m.222r 21300)-(r5002-300)-(r500445(m).11900 4r方法二：如图，连接AC，作OHAC,交AC于H.由题意得CD=500 m,AD=300 m，CDA=120,在ACD中，,700 213005002300500120 cosAD2CD-ADCDAC222222故该扇形的半径OA的长约为445 m.445(m).11900 4HAOcosAHOA1411HAOcosm 350AHOHAR.1411ADAC2CD-ADACCADcos,m 700ACt222，中，在12. （200

13、8湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与A相距 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中 ,090)且与点A相距 海里的位置C.(1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.240 2626sin1310解析:(1)如图，AB= ,AC= ,BAC=, .由于090,由余弦定理,得BC=AB2+AC2-2ABACcos = 所以船的行驶速度为 (海里/小时).1310240 2

14、626sin.26265)2626(-1cos2所以51532510510（2）方法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1,y1)、C(x2,y2)，BC与x轴的交点为D.由题设,有所以过点B、C的直线l的斜率直线l的方程为y=2x-40.又点E(0,-55)到直线l的距离所以船会进入警戒水域.20.)-sin(451310CADACsiny30,)-cos(451310CAD ACcosx40,AB 22yx22112,1020k75341|40-550|d方法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q，在ABC中，由余弦定理,得在ABQ中,由正弦定理,得 1010109-1ABCco