05存在性问题

1、05圆锥曲线中的存在性问题、根底知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素(点,线,图形或是参数)存在,并用代数形式进行表示. 再结合题目条件进行分析,假设能求出相应的要素,那么假设成立；否那么即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替(1)点：坐标Xo,yo(2)直线：斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3)曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证实求得的要素也使得其它情况均成立.(2)核心变量的选取：由于解决存在性问题的核心在于求

2、出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去.(3)核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解间接法：假设无法直接求出要素,那么可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解.2例1:椭圆C:斗 aA, B两点,当l的斜率为二、典型例题：当1 a b 0的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于 b31时,坐标原点O到l的距离为.2有oP oA oB成立假设存在,(1)求a,b的值(2) C上是否存在点P ,使得当l绕F旋转到某一位置时,求出所有的P的坐标和l的方程,假设不存在,说明理由解：(1)

3、e第 a：b：c 3:、2：1do、Qc,依题意可得:2解得：c 1 , 2c,0 ,当l的斜率为1时,点b夜椭圆方程为:l ：y2X3X c2y2(2)设 P X0,y0 , 当l斜率存在时,设：oP oA oBA X1,y1 ,BX2,y21联立直线与椭圆方程:整理可得：3k2 26k2X1 X2 一 3kP上 2,3 k2 24k3k2 2y1 4272 k48kXoy.X1y1X2V2y 2x26k2 x3y23k2消去y可得：2x2 3k6,y2由于k x1X22k6k33k2 22k4k3k2 2P在椭圆上,6k23k24k3k2 22-6 3k 224k23 k26 3k232,

4、当k 衣时,l :y 展x 1 , P 3,当当斜率不存在时,可知l : x 1 , A 1,2 3 ,B 1, 综上所述,圆的方程为: 3 ,那么P 2,0不在椭圆上 33.2x1,综上所述：l: y 72 x 1,P*, 土或 l：y2222例2:过椭圆：与 4 1ab 0的右焦点F2的直线交椭圆于 A,B两点,F1为其左焦点,a bAF1B的周长为8,椭圆的离心率为 §(1)求椭圆 的方程恒有两个交点P,Q,且(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆OP OQ ?假设存在,求出该圆的方程；假设不存在,请说明理由解：(1)由'arb的周长可得：4a 8

5、a 2c J3-222x 2e c v3 b a c 1 ,椭圆：一 y 1a 24(2)假设满足条件的圆为 x2 y2 r2,依题意,假设切线与椭圆相交,那么圆应含在椭圆内,0 r 1假设直线PQ斜率存在,设 PQ : y kx m,P x1,y1 ,Q x2, y2；PQ与圆相切d.OP OQ Op OQ 0rk2联立方程:y kx m22x 4yxx2yy2kx18 km2 ,xx24k 1m kx2 1即 x1x2y1 y201 4k2/ 24m24k1 2k x1x2km8kmx4 m2x1x24m24k2k2x1x2x2km8 km4k2 1X x22m25m24k4k2225m

6、4k 4 0对任息的m,k均成立将 m2 r2 k2 1 代入可得：5r2 k2 14 k2 122_2 45r2 4 k2 1 0r2 -5存在符合条件的圆,其方程为：x2 y2 45当PQ斜率不存在时,可知切线 PQ为x27550 PQ : x 5/5 符合5假设PQ:x 26那么P迪型,Q脸亚,康OQ 55555假设PQ:x 2而,同理可得也符合条件522例3:椭圆与 4 1 a b 0的左右焦点分别为 GF2, a b短轴两个端点为 A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形(1)求椭圆的方程(2)假设C,D分别是 椭圆长轴的左,右端点,吧 M满足 MD CD ,连接CM ,交椭圆

7、于点P ,证实OM OP是定值(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点 C的定点Q , 使得以MP为直径的圆恒过直线 DP,MQ的交点.假设存在,求出 点Q的坐标；假设不存在,请说明理由解：(1) 7四边形F1AF2B是边长为2的正方形可得：b c .2(2)由椭圆方程可得:22a2 b2 c24, 椭圆方程为上142C 2,0 ,D 2,0 ,由 MDCD 可设 M 2,y0 , P x1,y1kCM 2y0 2 个, CM : y %x 2 ,与椭圆方程联立可得:22x 2y 4y y0 x 24y.1 21 2y0x y040221 2/y04由韦达定理可知：xcX -x11峋

8、82 y2 8 y2 8,代入直线CM可得:y18y0y282P2 yo8 8y0P2I -,Iy08 y08设 Q m,0 , MQ m吊 2 y2 8 24 2J 2y0 8 y0 8,24 y08y02V.8,y； 82,假设以MP为直径的圆恒过直线V.DP,MQ的交点,那么DP MQ少m 2 y*0, y08y0 822例4:设f为椭圆E.与4 1a - a b学m .恒成立,m 0,存在定点Q 0,0y0 8b 0的右焦点,点P 1,W在椭圆E上,直线 2l0：3x 4y 10 .与以原点为圆心,以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆E的方程(2)过点F的直线l与椭圆相交于 A

9、,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另点Q ,问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角线互相平分假设存在,求出 l的方程； 假设不存在,说明理由.10解：(1)0与圆相切,do i 2 r, a 2522将P 1,3代入椭圆方程A 1可得：b向24 b22椭圆方程为：x y 1 43(可以证实,如果两条直线平行且它们截椭圆所得的弦长相等的话,那么这两条直线关于原点对称,即与 x轴交点互为相反数由此易得l的方程)由椭圆方程可得：F 1,0,设直线3l ： y kx1iPQ：y k x 1联立直线l与椭圆方程:2 221 8k 4 4ky k x 1消去y可得: 223x 4y 122

10、24k 12144k1442_224k2 3 x2 8k2x24k2 12 0AB| ：l1 k2 x1 x2-12 k2 14k 3同理：联立直线 PQ与椭圆方程:3x24y23万消去y可得：4k2 3 x2128k212k4k2 12k 38k222212k4 4k2 12k 3 4k23144k2 1-144 1 k k2PQ 1 k2 2 - 小 k2 '44k2 34k2 3由于四边形PABQ的对角线互相平分四边形PABQ为平行四边形AB PQ12 k2 1-7k3存在直线.1k2144 1 k k24例5:椭圆l :3x2_ x任意一点,且4y 32C二上c : 2, 2a

11、 bPF1 PF24k20时,四边形PABQ的对角线互相平分0的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A, P为椭圆C1上的最大值的取值范围是c2,3c2,其中ca2b2(1)求椭圆Ci的离心率e的取值范围(2)设双曲线C2以椭圆Ci的焦点为顶点,顶点为焦点,一点,当e取得最小值时,试问是否存在常数B是双曲线,使得 BAFiC2在第一象限上任意BFiA恒成立假设存在,求出 解：(1)设的值；假设不存在,请说明理由P x, y ,F1c,0 ,F2 c,0空PF12 由x2 aPF1, PF22 y_ b2 pf2x,2xy ,PF2x, y1可得:b2 2口与x2代入可得:a2a,ab22c 2,

12、2-2 xbamaxb2b23c2222a c 3c2c24 c22 a2 a(2)可得：a 2c,b3c2双曲线方程为与 c当AB x轴时,x0B X0,y0 , xo 0,y02匕 1 , A 2c,0 ,F1c,0 ,设3c2G v. 3ctan BF1 A3c i3cBAFi 2 BFiA所以 2,下面证实BFiA 由于 BAFi 422对任意B点均使得 BAFiBF1A成立考虑 tan BAFikABy0, tan BFiAX0 2ckBFiThtan 2 BFiA2tan BFiA-27i tan BFiA2上X0c2y0X0c2 y0 X0 c.222y03x03c22X0c y

13、0X0223x2 3c2222x0 2cx0 4c 2 x0 c 2c x0tan 2 BFiA2y0 X0 c2 x0 c 2c x0, tan BAFi 2c X022由双曲线方程a & i,可得:c 3c石.0的离心率是 * ,过点P 0,i的动直线l与椭圆相2BAFi 2 BFiA2时, BAFiBFiA恒成立22例6:如图,椭圆e： yy i a ba b交于A, B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2双(i)求椭圆E的方程(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点 P不同的定点Q ,使得对于任意直线 l ,QAQBPA t -升_ r -屈恒成立假设

14、存在,求出点Q的坐标；假设不存在,请说明理由解：(i) e椭圆方程为c _|a 222x y222b ba: b: c 2 :i:ii由直线l被椭圆E截得的线段长为2 J2及椭圆的对称性可得：点J2,i在椭圆上2 i22.211b 2 a 42b b22椭圆方程为-上142(2)当l与x轴平行时,由对称性可得：|PA |PB慝翳1即QA QBQ在AB的中垂线上,即 Q位于y轴上,设Q 040当l与x轴垂直时,那么A 0,J2 ,B 0, 我PA 2 1,PB| J 2 1 |QA v. 2,QB| |y02QA PAQB PB；P,Q不重合Q 0,2卜面判断Q 0,2能否对任意直线均成立假设直

15、线l的斜率存在,设l :y kx 1 , A x1, y1 ,B x2, y22 9w2联立万程可得：V 1 2k x 4kx 2 0y kx 1由 qa paqb PB可想到角平分线公式,即只需证实QP平分 BQA只需证实kQAkQBkQAkQB 0A Xi,yi ,B X2,y27 kQBXiy2 2X2由于AkQByi2Xiy22X2X2 yi2x1y2 2X2WXiy22 XiX2(IXlX2Xi, yi,b X2,y2在直线y kx 1上,yiV2kx1kx2X1X21, 一 r代入可得:1x2 kx11x1 kx212 x1X22kxix2XiX2XiX2XX22联立方程可得： x

16、y4k2y2 kxXiX21 2k2 ,XiX22k2-1 2k2222kkQAkQB0成立QP平分BQA例7:椭圆2C：X2a2 y b2圆经过椭圆C的右焦点4221 2 k2 x221 2k24kZ2"1 2k20由角平分线公式可得:4kx 2QAQBi a b 0的上顶点为A ,PAPB4,-是C上的一点,以AP为直径的3 3(i)求椭圆C的方程(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问：在 线l的距离之积等于i?假设存在,求出这两个定点的坐标;X轴上是否存在两个定点,它们到直解：由椭圆可知：A 0,b ,F c,0 ,*：AP为直径的圆经过 F,如果不存在,请说明理FP f

17、A fPiFA4b4c,b , FP 一 c, 一 , c 一 333b- 0c23由P3b在椭圆上,代入椭圆方程可得: 3116 1b4一 c32FA3b24 -c32c椭圆方程为22 x2(2)假设存在x轴上两定点 M1 1,0 ,M2 2,0 , 设直线l : y kx mdM1 lk2 1|k 1 l 由于直线l与椭圆相切,所以依题意:2k 1 2 km 1k2 1联立方程:kxm222k2 12y2 224kmx 2 m由直线l与椭圆相切可知24 km 4222k2 1 2m2化简可得：m22k 1 2 km 12k2 1,代入可得:k2k2121km所以存在两定点:例8:椭圆原点,

18、2 km 1_ 222k 1 k 10 ,依题意可得：无论k,m为何值,等式均成立M121.04y2,M2 1,01的左右焦点分别为C1 : xOQ吊封,设点Q的轨迹为CF1,F2,点P是C1上任意(D求点Q的轨迹CJ方程(2)假设点 T 满足：OT MN 2oM oNM,N是C2上的点,且直线率之积等于 1 ,是否存在两定点,使得 TA |TB为定值假设存在, 4求出定点O是坐标OM ,ON的斜A, B的坐标；假设不存在,请说明理由(1)设点Q的坐标为点P的坐标为2 一 2,那么 X0 4y0由椭圆方程可得:, T T -H卜 OQ' PF1 PF2X0,y0,PF2%, V.Q 2

19、x0,2y02x02y°y0x2代入到y2x2 4y2 1 可得:(2)1设点 T x, y , 'oT mN 20MIx1, y1 , NONX2,y22x2 Xi2 y2 y1设直线OM,ON的斜率分别为k°M,koN,由可得:kONV2VlX2Xx1x2考虑x24y1y204y22x2I M ,N是C2上的点4 2y22/2Xi4y122X24 y2x2 4y；4 x；4y24x1x216yy222x 4y 4442即T的轨迹方程为20A, B为椭圆的焦点 所以存在定点A,B2021,52例9:椭圆E: a2 y b7抛物线G : y2 2px p2X由定义可

20、知,T到椭圆一2015,0 ,B 15,01焦点的距离和为定值0的焦点到直线x 3y 0的距离为叵,离心率为正, 55的焦点与椭圆E的焦点重合,斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A, B ,与G交于C,D(1)求椭圆E及抛物线G的方程(2)是否存在常数 ,使得1, ,二1一为常数假设存在,求出AB CD的值;假设不存在,请说明理由解：(1)设E,G的公共焦点为Fc,0dFc 10a2 x E : 一102 5558xy2 1(2)设直线l: yx"山,B x2,y2 ,C x3,y3 ,D 人.与椭圆联立方程:20k2k x25y20 k222_25k 1 x 20k x20k2X1

21、 X2 2, X1X21 5k1 5kAB 1 k2 . X1直线与抛物线联立方程:24k 8X3 X4 -kx24x1x22 5 k25k8xcd是焦点弦5k2AB CD 2 , 5 k22 22k x 4kCDX3X44 k208 k2k218 k2 14 20k2 、 5 k28 5 k2 12058.5 k2 1升1右AB；一为常数,那么20 J54CD16 55例10 :2C；a如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆4 1ab 0的离心率为,直线l与x轴交 b3于点E ,与椭圆C交于A,B两点,当直线点E为椭圆C的右焦点时,弦 AB的长为(1)求椭圆C的方程l垂直于x轴且2.63(2)

22、是否存在点E ,使得11 一2为定值假设存在,请求出点E的坐标,并求出该定值; EA EB假设不存在,请说明理由 解：(1)依题意可得:AB9号 a 322邑L 1当l与x轴垂直且E为右焦点时, AB为通径62(2)思路：此题假设直接用用字母表示A,E,B坐标并表示| EA , EB ,那么所求式子较为复杂,不易于计算定值与 E的坐标.由于E要满足所有直线,所以考虑先利用特殊情况求出E点及定值,再取判定(或证实)该点在其它直线中能否使得1EA71 Er2为正值.解：(2)假设存在点E ,设E x0,0假设直线AB与x轴重合,那么A至0 ,B瓜02x02 1222X06EA x0 6 , EB|

23、 |x)61_1_11EApEB, 而2 X0 V62假设直线| AB与x轴垂直,那么A,B关于x轴对称设 A x0,y ,B22x0 y621,y ,其中y 0 ,代入椭圆方程可得:EB2EAEB23EA22x21222Xo622应3J 2X02X0EA2 EB266 xo那么 E 3,02X02X0E 3,0,设 A x , B X2,y2设AB : x my 用,与椭圆C联立方程可得:3y2my6,消去y可得:3my23y2 63 y22. 3myyiV22 3m2 ,y1y2m 312y13-2-m31-222m y1 y121 y1122m 1 y212EA1EB代入yiy22m2

24、.3im21 yi122m 1 y222y1y2222m 1 y1 y2y1y222y1y222 2m 1 y1 y21IT所以1；72EA1；72EB假设 E 3,0m, y1y232为定值,3m2 32定值为_2212m6 m22m 318m2二 29 m1一2为定值EB综上所述：存在点 E J§,0 ,使得二EA1,、一2为定值2EB三、历年好题精选1、中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆22E:七 LE ： 22a b过点P心率为-,过直线l: x 4上一点M引椭圆2(1)求椭圆E的方程E的两条切线,切点分别是A,B22(2)假设在椭圆 冬与 1 a b 0上的任一点N x0,y

25、0 a b处的切线方程是驾a证：直线 AB恒过定点C,并求出定点 C的坐标(3)是否存在实数,使得AC |BC|AC| |BC|恒成立假设存在,求出的值；假设不存在,请说明理由22.一 x y22、椭圆C : 2-2 1a b 0的一个焦点与抛物线 y a b圆C上的一点(1)求椭圆C的方程(2)设A,B分别是椭圆C的左右顶点,P,Q是椭圆C上异于(点C为直线AB恒过的定点),3 .4x的焦点重合,D 1,-是椭A, B的两个动点,直线AP, AQ的斜率之积为 1 ,设APQ与BPQ的面积分别为S,S2 ,请问：是否存在常数使得S &恒成立假设存在,求出 的值,假设不存在,请说明理由3

26、、椭圆23 1ab 0经过点0j3,离心率为1,左,右焦点分别为 F1 c,02和 F2 c,0(1)求椭圆(2)设椭圆 于B,D两点 证实：kC的方程C与X轴负半轴交点为 A,过点M (B在M,D之间),N为BD中点, ki为定值4,0作斜率为k k 0的直线l ,交椭圆C 并设直线ON的斜率为k1 是否存在实数k ,使得FiN AD ?如果存在,求直线l的方程；如果不存在,请说明理 I4、圆M : x 5点G在MP上,且满足22y 36,定,点N J5,0,点P为圆M上的动点,点Q在NP上, nP 2NQ,GQ nP 0(1)求点G的轨迹C的方程(2)过点2,0作直线l ,与曲线C交于A,

27、B两点,O是坐标原点,设 OS OA OB,是否存在这样的直线l ,使得四边形 的方程；假设不存在,试说明理由OASB的对角线相等(即|OS | AB ) ?假设存在,求出直线l5、(2021,福建)双曲线2 X E:a2y-Y 1 a 0,b 0的两条渐近线分别为Ii : y 2x ,b2l2: y 2x(1)求双曲线E的离心率(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线Ii,I2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且&OAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E ?假设存在,求出双曲线 E的方程；假设不存在请说明理由习题答案：c 11、解析：1

28、e 一 一 a:b:c 2: v3:1a 2:椭圆过点P .5332a 4b椭圆方程为:再由a :b : c22士 L 1432:有:1可解得:a 2,b32设切点坐标为 两条切线方程为：A X1,y1,B X2,y2 ,直线上一点 M 4,t ,依题意可得:X1X4X2X4yy,由切线均过M可得:xX2yt3y2t3A X1,y1 ,B X2,y2 均在直线 x - y 1 ±3由于两点唯一确定一条直线AB : x -y 1 ,即过定点 31,0 ,即点C的坐标为1,0(3) AC BC AC BCAC I |BC 11AC| |BC AC BC、工x电1联立方程： 33x2 4y

29、26ty1 y2-2 ,yy212 t:ac v'X1 12 y12113AC BC . 9-t239-1222t2 12 y2 6ty 27 02 ,不妨设y1 0, y212 t9 t22y1, BCX2 13113y2 y1y1 y29 t2V1V20-9 t2y2y233y2y1 2.9 t2y1 y26t 2108；12 t212 t21144t2 9 144了_27_9T924,使得I AC |bc| AC I I BC恒成立322、解析：1抛物线y4x的焦点为1,0 c 1依题意可知:椭圆方程为:1了2a2x21.22b c22a2 4,b2 34(2)由(1)可得: 设

30、 PQ: y kx m ,2L i3A 2,0 ,B2,0假设直线PQ斜率存在Xi, yi ,Q X2, V2A到直线PQ的距离diI 2k m,1 k2B到直线PQ的距离d22k m1S 2 PQdS22 PQd1 did222k m2k联立方程:y kx m 3x2 4y2124k222x 8kmx 4m 12XiX28 kmkAP24kyiX, 2-,XiX23y2X2/ 2 4m24k1 41234y1y2*)yiy2kxim kx22k x1x2kmXix2 2x1x2XiX2216k 16km3m24k24 m212k2324k 3,代入到(*)可得:16m2_ 216km 32k

31、4k2 32k或m2k时,kPQ: ykm22kkX 2k,交点与A重合,不符题意k,代入到显可得:S2SS23k k3、解：(i)依题意可知:1 可得：a :b: c 2 : . 3 :i2椭圆方程为:椭圆方程为:2x24c2x(2)证实:2 y 3c22L 13xi,yi,代入0,73可得：c 1,D X2N2 ,线段BD的中点N X),y0设直线l的方程为:,联立方程:y23xx 42 化为:4y 124k22232k2x 64k2i2 00解得:X021k416k24k2 3且Xi32k2X224ky.X0 4_, X1X2 - 312k24k 32-64k1224k 3,yo3k1xo4