离心率的五种求法

1、离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率 e 1，抛物线的离心率 e 1.一、直接求出a, c，求解e已知标准方程或a c易求时，可利用离心率公式q c来求解。e -a例1.过双曲线C: x22 y b71（b 0）的左顶点A作斜率为1的直线|，若|与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且 |AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（C.A. J0分析：这里的a1,c、b21，故关键是求出2b，即可利用定义求解。解：易知A （-1 ,0）,则直线l的方程为1。直线与两条渐近线 ybx 和 y bx的交点分别为B（制、

2、76;（占1），又 |AB|=|BC|，可解得 b29，则c J0故有ex10，从而选Ao、变用公式（双曲线），caca1-b2（椭圆），整体求出例2.已知双曲线2x2ab21(a0,b40）的一条渐近线方程为y -x，贝U双曲3线的离心率为B.-分析：本题已知-a3 ，不能直接求出a、c,可用整体代入套用公式。3解：因为双曲线的一条渐近线方程为 y 4x，所以34，则31 (4)221.设双曲线笃a5，从而选A。3心率等于(C)A. J3B.2解：由题双曲线程整理得ax2.422.过双曲线与a2 y b2C.1 (a> 0,b > 0)的渐近线与抛物线,5 D. .6x2相切，则

3、该双曲线的离2ya>0, b>0的一条渐近线方程为y 直，代入抛物线方abx a因渐近线与抛物线相切，所以b24a21(a 0,b 0)的右顶点A作斜率为 1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为b,c 若abt1BC，则双曲线的离心率是2A.2 B3 c . ,5.、10答案：C【解析】对于Aa,0，则直线方程为0 ,直线与两渐近线的交点为B,C,2a1 baab,C(咒),uurBC(a22a2b聲),ABbb2，a2aba baba b '因此uur 2ABuunBC,4a24，23.过椭圆笃ab2b 0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点F2为右焦点,F1P

4、F260o,则椭圆的离心率为()_22b2【解析】因为P（ c,），再由F1PF2a60。有够2a,即匕 2从而可得a23厶3，故选B3三、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。2xa例3.已知椭圆2占1（a b 0）的左焦点为c的关系（特别是齐二次式），进而右顶点为A，点B在椭圆上，且BF x 轴,直线AB交y轴于点P .uurAPuur2PB，则椭圆的离心率是（）2uur【解析】对于椭圆，因为 APuur2PB,则OA2OF, a 2c, e21.设F1和F2为双曲线笃a,则双曲线的离心率为三角形的三个顶点【解析】

5、由tan 6c2b0,b0）的两个焦点,若F2 , P(0,2b)是正于有3c24b24( c2a2),则 ec-2 ,故选B.a2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为Fi、F 2 ,f1mf21200则双曲线的离心率为（）23解：如图所示,不妨设0,b , F1c,0 ,F2 c,0 ,MFIMF2c2b2，又 F1F22c,1,7¥ .在 F1MF2 中,由余弦定理，得cosf1mf2|mf；2MF；22F1F222MF1MF2122222c b c b 4c2 2 ，2 c b.22bc722bc2 222. a-b c a ，一22c1 , 3a22c2 , e2-,2 2

6、 e今，故选3.设 ABC是等腰三角形,ABC 120°，则以A, B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（B ）B.D. 134.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A. 2 B. 3 C. 3 1 D.2解析：选D.不妨设双曲线的焦点在 x轴上,设其方程为:2? 1(a 0，b 0)，则一个焦点为 F（c,0）, B（0,b）一条渐近线斜率为：b ,a直线FB的斜率为:b)c1, b2 acc2 a2 ac 0，解得 e5.设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若F1PF2为等

7、腰直角三角形,则椭圆的离心率是（V2 1B.2C. 2、2D. 2 1解：由PF2b22c2 2a c 2aca化为齐次式2 26.双曲线X2占 1 （aa b线交双曲线右支于 M点,2e 10 e0,b0）的左、若mf2垂直于右焦点分别是F1, F2，过F1作倾斜角为30°的直X轴，则双曲线的离心率为（B ）22x v7.设F1, F2分别是双曲线 2的左、右焦点，若双曲线上存在点a bA,F1AF2 90°且AF1 3 AF2 ，则双曲线的离心率为（BA.2D. 53AF| - AF2 = 2AF2 = 2a解?(AFJ2+(AF2)2= (2c)2? a爲?228 如

8、图，F1和F2分别是双曲线笃每a b1 （ a 0,b0）的两个焦点，A和D 3则双曲线的离心率为（）6.解析：连接 AFi,ZAF2Fi=30°|AF1|=c，|AF2|= . 3 c，.°. 2a1)c ,B是以O为圆心，以OFi为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形,双曲线的离心率为13，选Do0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c （ c为半焦距）的点,F1F2F2P，则椭圆的离心率是A .31A2210.设双曲线与aB 122占1( 0 b2C2D2b）的半焦距为c，直线L过a,0 ，0,b两点.已知原点到直线的距离为丄3。,4则双曲线的

9、离心率为（）A. 2CV2解：由已知，直线L的方程为bx ay ab 0 ,由点到直线的距离公式，得aba2 b23e4216e160，2 2.2 .2得e24或e24一，又 0 a b，2 ca b. be22122，a e24，3aaa又 c2 a2 b2, a 4ab . 3c2,两边平方，得 16a2 c2 a23c4，整理得a e 2，故选A2令1形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（c. Q d. V3 1211.知F1、F2是双曲线A. 4 2.3 B. 31解：如图，设MR的中点为Q OF,P 600,PF1 c,Xp把P点坐标代人双曲线方程，有(a 0

10、,b的两焦点,以线段F1F2为边作正三角c2,yp2c4 a2乎,即P（却化简得e4 8e2 4 0解得e 1 .3或e 1-.（舍），故选D四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率 e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题2 2例4:设椭圆务 占1 （ a 0,b 0）的右焦点为F1，右准线a b为11，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到h的距离，则椭L圆的离心率是1解：如图所示，AB是过Fi且垂直于x轴的弦,-ABAFiAD |.2，焦点到相应准线的距离为 i，则该T AD li于D，二AD为Fi到准线li的距离，根据椭圆的第二

11、定义,椭圆的离心率为()A运B运i C -D壬224解：eaf2|柩2ADi2-ADi.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2. 在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为'2，焦点到相应准线的距离为丄，则该双曲线的离心率为（）2A B2C .2D2- 22五、构建关于e的不等式，求e的取值范围2 2i .已知双曲线 务 £ i （ a 0,b 0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 a b600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A i,2 B i,2C 2,D 2,2 22.椭圆务 葺i （ a b 0 ）的焦点为Fi、F?，两条准线与x

12、轴的交点分 a b别为M、N，若MN2FiF2，则该椭圆离心率的取值范围是（）A.ofB.C.D.2 21双曲线笃 爲1(a 0,b 0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线 a b与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线2 2 2的斜率-，二-A 3，离心率e2=C2 红上 > 4，二e2,选Ca aa a2 22椭圆X2爲1(a b 0)的焦点为Fl，F2，两条准线与x轴的交点分别为a b22M，N，若| MN | 2,厅人| 2c， MN <F1F2，则2c，该椭圆离心cc-率e丄，选D2umu uuuir3. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 MF1 MF2 0的点M总在椭圆内部，则 椭圆离心率