中考数学常考易错点：《一次函数》

1、第-2 -页共17页一次函数易错清单1. 一次函数y=kx+b的图象的位置与 k,b的符号之间的关系.【例1】（2014 湖南娄底）一次函数y=kx-k （k<0）的图象大致是（）.【解析】首先根据k的取值范围，进而确定-k>0,然后再确定图象所在象限即可.【答案】V k<0,-k>0. 一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限 .故选A.【误区纠错】此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时，向上平移笛<0时，向下平移.2.讨论一次函数性质时漏解.悭【例2】（2014 四川自贡）一次函数y=

2、kx+b,当1 wxw4时,3wyw6,则的值是.【解析】由于k的符号不能确定，故应分k>0和k<0两种进彳T解答.【答案1当时,此南散是增南散.: 当式上工时，3K:* 当r= 1 时.# =必当 r = 4 时.y = I),A -当时.此函散是减函数V 当1«4时小石明；、 节=1 时，了=6日"i = 4 时*了 =*MU解得1.故答案为占或一工【误区纠错】本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解.3. 一次函数与不等式的关系【例3】(2014 湖北孝感)如图，直线y=-x+m与y=nx+4n(nw0)的交点的横坐标为-2,则关于

3、A. -1C. -4x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为().B. -5D. -3【解析】满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴 的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可直线y=-x+m与 y=nx+4n(nw 0)的交点的横坐标为-2,关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4<x<-2.关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为-3.故选D.【误区纠错】本题考查了一次函数的图象和性质以及与次不等式的关系，错解误认为是关于x的不等式-x+m>nx+4

4、n>0的解集为x>-2.4. 一次函数的实际应用.【例4】(2014 山东德州)目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区 推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如卜表：进彳fu元/只)售价(元/只)甲型2530乙型4560如何进货 进货款恰好为46000元？(2)如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元？【解析】(1)设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯(1200-x)只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；(2)设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯(

5、1200-a)只,商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.【答案】设商场购进甲型节能灯 x只，则购进乙型节能灯(1200-x)只,由题意，得25x+45(1200-x )=46000，解得 x=400.： 购进乙型节能灯 1200- 400=800只.故购进甲型节能灯 400只，购进乙型节能灯 800只进货款恰好为46000元.(2)设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由题意，得y=(30-25)a+(60-45)(1200-a),y=-10a+18000.V 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,: -1

6、0a+18000< 25a+45(1200 -a) X30%:a>450.y=-10a+18000,k=-10<0.:y随a的增大而减小.: a=450 时,y 最大=13500 元.： 商场购进甲型节能灯 450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.【误区纠错】本题考查了单价 X数量=总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用一次函数的解析式的运用，解答时求出求出一次函数的解析式是关键.名师点拨1 .掌握一次函数的定义，能利用定义进行判断.2 .正确画出一次函数的图象，并利用图象说出它的变化特点，能利用图象求函数的近似解.第-3 -页共17页3 .会求一次

7、函数解析式4 .会用函数思想解决实际问题.提分策略1. 一次函数图象的平移.直线y=kx+b(kw 0)在平移过程中k值不变.平移的规律是若上下平移，则直接在常数b后加上 或减去平移的单位数；若向左(或向右)平移m个单位，则直线y=kx+b(kw 0)变为y=k(x+m)+b(或 k(x-m)+b),其口诀是上加下减，左加右减.【例1】如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数 y=2x的图象平行且经过点 A(1,-2)，则【解析】y=kx+b的图象与正比例函数 y=2x的图象平行，：k=2. y=kx+b的图象经过点 A(1,-2),1- 2+b=-2，解得 b=-4.kb=2X(-4)=

8、-8.【答案】-82. 一次函数与一次方程(组)，一元一次不等式(组)相结合问题.【例2】 一次函数y=kx+b(k,b为常数，且kw 0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为.【解析】V 一次函数y=kx+b过点(2,3),(0,1),:一次函数的解析式为 y=x+1.当 y=0 时,x+1=0,x=-1.： 一次函数y=x+1的图象与x轴交于点(-1,0).关于x的方程kx+b=0的解为x=-1.【答案】x=-13. 一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积问题这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或一次函数图象的前提下，求图象与坐标轴围成的三角形的面积.在这类问

9、题中，如果三角形的一边与一坐标轴重合，那么可直接应用三角形及坐标求面积，如果三角形的任何一边均不与坐标轴重合，那么一般来说，我们可以利用“割补法”化不规则的三角形为规则的三角形，从而求得三角形的面积.【例3】 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形 ，叫做此一次函数的 坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x,y轴分别交于点 AB,则 OA的此函数的坐标三门）求函数y =的坐标三角形的三条边长；*（2）若函数V十工十为常数）的堂标三倒形周长为16,求此三角形面Si ）【答案】: 直线, 与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3）,二 画数卫= ；+3的坐标-角

10、时的三条边长分别为3.4.5.O谶1y = +4与1轴的交点坐标为停F.0）.与y 轴交点建标为当心忙J一-+'- 一、一iii苛”一：,此角面积为上*当必（时,一5 一 -今6 = 16,得& = 4,此时，堂标： JV用形面积为踪上.当函数y =9工+b的型稀三角形周长为1B时，面4.用一次函数解决相关问题.(1)利用一次函数进行方案选择.一次函数的方案决策题，一般都是利用自变量的取值不同，得出不同方案，并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.【例4】某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择.方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收 4

11、元；方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收 2元；请分别写出邮车、火车运输的总费用 yi(元)、产(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？【答案】(1)由题意，得yi=4x+400, y2=2x+820.(2)令 4X+400=2X+820，解得 x=210,所以当运输路程小于210 km时,yi<y2,选择邮车运输较好；当运输路程等于 210 km时,yi=y2,选择两种方式一样；当运输路程大于210 km时,y>y2,选择火车运输较好.(2)利用一次函数解决资源收费问题.此类问题多以分段函数的形式出现，正确

12、理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方 面入手：(1)寻找分段函数的分段点；(2)针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；(3)利用条件求未知问题.【例5】 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(千瓦时)间的函数关系式.(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：档次 第一档 第二档 第三档每月用电量0<x<x(千瓦时) 140(2)小明家某月用电120千瓦时，需要交电费 元；(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数关系式；(4)在每月用电量超过 230千瓦时时，每

13、多用1千瓦时电要比第二档多付电费爪，小刚家某月用电290千瓦时，交电费153元，求m的值.2小因电量旺几时(2)54(1)第二档 140<xw 230,第三档 x>230.（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式为 y=ax+c.将(140,63),(230,108)代入，得第-18 -页共17页则第二档每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式为（4）根据图象，得用电230千瓦时，需要付费108元，用电140千瓦时，需要付费 63元，故 108-63=45（元）,230- 140=90（千瓦时）,45 + 90=0. 5（元），则第二档电费为

14、0.5元/千瓦时.V 小刚家某月用电 290 千瓦时，交电费 153 元,290-230=60（千瓦时）,153-108=45（元）,45+ 60=0. 9（元）,m=0. 9-0. 5=0. 4,故m的值为0. 4.（3）利用一次函数解决其他生活实际问题.结合函数图象及性质，弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用，寻找解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思路.“图形信息”题是近几年的中考热点考题，解此类问题 应做到三个方面：（1）看图找点，（2）见形想式，（3）建模求解.【例6】周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地.小明

15、离家1小日20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程【答案】（1）小明骑车速度为 段= 2Ch'，在甲地游玩的时间是1-0. 5=0. 5（h）.（2）妈妈驾车速度为 20X 3=60（km/h）,设直线BC军析式为y=20x+b1.把点口*0）代人.得如=一时二 y=60r80.:、, 解得. 1¥ = 60001y=2t.工 交点

16、 FCL 75.25）.故小明出发L 75小时f I。月分钟，被妈妈道上.此时高家 25 knL（3】设从妈妈追上小明的地点到乙隗的路程为出km 由翱直,呜导品二4工二 从家到乙地的题程- - -：W km）.专项训练一、 选择题1. （2014 安徽安庆外国语学校模拟 ）已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形 的面积是12,则k的值为（）.A. 1 或-2B. 2 或-1C. 3D. 42. （2014 安徽淮北五校联考）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2X+4的交点在 第二象限，则m的取值范围是（）.A. mRB. m<-5C. - 5Vm&

17、lt;D. m<3. （2014 安徽铜陵模拟）能表示图中一次函数图象的一组函数对应值列表的是（）.xy- 450-1Axy- 42- 2-2Bxy- 102-2Cxy-320-1D4. （2013 上海静安二模）函数y=kx-k- 1（常数k>0）的图象不经过的象限是（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. （2013 重庆一中一模）如图反映的过程是：妈妈带小米从家去附近的动物园玩，他们先去鳄 鱼馆看鳄鱼，又去熊猫馆看熊猫，然后回家.如果鳄鱼馆和熊猫馆的距离为m千米，小米在熊猫馆比在鳄鱼馆多用了 n分钟，则mn的值分别为（）.0 >1+杓（第5题）A. 1

18、,8B. 0.5,12C. 1,12D. 0.5,8二、填空题6. （2014 江苏苏州高新区一模）已知函数y1=x,y2=2x+3,y3=-x+4,若无论x取何值，y总取中坐乎 中的最小值，则y的最大值为 .7. （2014 湖北宜昌一模）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m=.x 10 2y 3 m 54-8. （2014 湖南吉首三模）如图，已知直线y=_T '与x轴,y轴分别交于点A和点B,M是 OB上的一点，若将ABMgAM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处,则直线AM的函数解析式是.（第8题）9. （2013 上海静安二模）如果点A（-1,2）在一个正比

19、例函数 y=f（x）的图象上，那么y随着x的 增大而（填“增大”或“减小”）.10. （2013 江西饶鹰中考模拟）一次函数y=kx+b（kb<0）图象一定经过第 象限.11. （2013 湖北武汉中考全真模拟 ）有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进 了技术，提高了工作效率.图（1）表示甲、乙合作完成的工作量 y（件）与工作时间t（时）的函数图 象.图（2）分别表示甲完成的工作量 y甲（件）、乙完成的工作量 y乙（件）与工作时间t （时）的函数图象，则甲每小时完成 件，乙提高工作效率后，再工作 个小时与甲完成的工作量相等.(1) （第11题）三、解答题12. （2014

20、湖北襄阳模拟）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，于2014年4月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费，新按月分段收费标准如下：标准一：每月用水不超过 20吨（包才20吨）的水量，每吨收费2. 45元；标准二：每月用水超过20吨但不超过30吨的水量，按每吨a元收费；标准三：超过30吨的部分，按每吨（a+1.62）元收费.（说明：a>2. 45）居民甲4月份用水25吨,交水费65. 4元，求a的值；（2）若居民甲2014年4月以后，每月用水x（吨），应交水费y（元），求y与x之间的函数关系式，并 注明自变量x的取值范围；（3）随着夏天的到来，各家的用水量在不但增加.为了节省开支，居

21、民甲计划自家 6月份的水费 不能超过家庭月收入的2%（居民甲家的月收入为6540元），则居民甲家六月份最多能用水多少吨？13. （2014 广西南宁五模）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)(1)直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式(2)求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离30海里?(3)在渔政

22、船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距(第13题)14. (2014 广东模拟)甲和乙进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶，再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍.设两人出发xmin后距出发点的距离为ym.图中折线表示甲在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上川点坐标为(2,0).点所表示的实际意义是察=s(2)求出AB所在直线的函数关系式；(3)如果乙上坡平均速度是甲上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？(第14题)15. (2013 河北三模)两辆校车分别从甲、乙两

23、站出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时中巴比大巴多行驶 40千米，设行驶的时间为 x(小时)，两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至中巴到达乙站这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息，解答下列问题：请你说明点B,C的实际意义；(2)求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两站的距离；(3)求两车速度及中巴从甲站到乙站所需的时间t;(4)若中巴到达乙站后立刻返回甲站，大巴到达甲站后停止行驶，请你在图中补全这一过程中y关于x的函数的大致图象.参考答案与解析1. A 解析先求出直线y=kx-3与y=-i以及y=3的交点坐标，要注意这两个交点可能在一、四象限(k

24、>0),也可能在二、三象限(k<0).再根据所围成的四边形是梯形，根据梯形的面积公式根据第二象限内点具有 x<0,y>0,确定m的取值范围是-5<m<.显然该图象经过(-3,2),(0,-1)二点.3. D 解析直接根据图象经过的点进行判断4. B 解析:k>0,-k<0.：-k- 1 <0.:y=kx-k- 1(常数k>0)的图象经过一、三、四象限.5. D 解析根据图象，此函数大致可分以下几个阶段：012分钟，从家走到鳄鱼馆：猿27分钟，在鳄鱼馆看鳄鱼：？733分钟，从鳄鱼馆走到熊猫馆；3356分钟，在熊猫馆看熊猫;5674分钟，

25、从熊猫馆回家；综合上面的分析，由的过程知，m=1.5-1=0. 5(千米);由的 过程知 n=(56-33)-(27-12)=8(分钟).6. 2 解析-x+4=x，解得 x=2, y=x=2.7. 1 解析设一次函数的解析式是y=kx+b,将(1,3),(2,5)代入求出解析式即可.18 5'解析由题，知点A和点B的坐标分别是A(6,0), B(0,8)，所以AB=0,由题意，得点B'的坐标是(-4,0)，再利用相似可求得OM生所以过A(6,0),M0,3)的直线的解析式是T一一. -9 .减小解析设正比例函数解析式为y=kx(kw。),过点(-1,2),:2=kX(-1)，

26、解得 k=-2.故正比例函数解析式为y=-2x.k=-2<0,y随着x的增大而减小10. 一、四解析:kb<0,: k,b异号.当k>0时,b<0,此时一次函数 y=kx+b(kb<0)图象经过第一、三、四象限 ；当k<0,b>0时,此时一次函数y=kx+b(kb<0)图象经过第一、二、四象限；综上所述，一次函数y=kx+b(kb<0)图象一定经过第一、四象限1L 34)等 集析逡甲原来每小酸做工件,乙每小时做 件,乙捉高(件鼓掌后每小时比昂来号做。件.2(j + y)»100,尸力十笈y+。)三说山a 40.则甲每小时完成30件

27、.设乙提高工作效率后再工作m小时与甲完成的工作量相等，由题意，得2X 20+(20+40)m=2X 30+30m2 懈得一.12 .由题意，得 20X2. 45+5a=65. 4,解得 a=3. 28.(2)由题意，得当 0WxW20 时,y=2.45x；当 20<x< 30 时,y=20 X 2. 45+3. 28(x- 20)=3. 28x-16. 6;当x>30时，y=20 X 2. 45+10 X 3. 28+(x- 30) X (3.28+1. 62) =4. 9x- 65. 2.2.括上SCvt加量也 了一卜.28-lfi.6(20<xC30).$5.2(r>30>.(3)6540 X2%=130. 8.20 X 2. 45=49,49 +10X 3. 28=81.8,而 49<81.8<130. 8,： 居民甲家6月份用水超过30吨.设他家6月用水x吨，故 4. 9x- 65. 2< 130.8,解得x< 40.故居民甲家计划6月份最多用水40吨.13 . (1)当 0wt W5 时,s=30t;当 5<t w 8 时,s=150；当 8&l