宜昌市初中数学二次函数易错题汇编及答案解析

1、宜昌市初中数学二次函数易错题汇编及答案解析一、选择题1 .如图， ABC为等边三角形，点 P从A出发，沿A B C A作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是()【答案】B【解析】 【分析】根据题意可知点 P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选 项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意.【详解】根据题意得，点 P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项 C 与选项D不合题意；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，选项B符合题意，选项 A不合题意.故选B.

2、【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.2 .二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示，下列结论 b2 4ac,Dabc0,2a b c 0,a b c 0.其中正确的是（）A.【答案】A【解析】【分析】B.C.D. 抛物线与x轴由两个交点，则b2 4ac 0 ,即b2 4ac,所以正确；由二次函数图象可知,0 ,所以abc 0,故错误;对称轴：直线xb2a1, b 2a,所以 2a b c 4a c,2a b c 4a c0,故错误;对称轴为直线x1,抛物线与x轴一个交点3 Xi2,

3、则抛物线与x轴另一个交1时，y a b c 0,故正确.解：抛物线与x轴由两个交点,2 b 4ac 0 ,即 b2 4ac,所以正确； 由二次函数图象可知,a 0, b 0, c 0, abc 0,故错误；对称轴：直线xb2a1,b 2a,2a b c 4a c,a 0, 4a 0,c 0, a 0 ,2a b c 4a c 0,故错误；,对称轴为直线x1 ,抛物线与x轴一个交点3x12,.抛物线与x轴另一个交点0 x2 1 ,当 x 1时，y a b C 0,故正确.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.1 23.如图，抛物线y -x2

4、 1与x轴交于A, B两点，D是以点C 0,4为圆心，1为半径 9的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,BD ,则线段OE的最小值是（）A. 2B, 32-C. 5D. 322【答案】A【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5,利用三1角形中位线性质可知 OE=BD,而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即2可.【详解】,八，12.当 y= 0时，0 x 1,9解得：x= 3,.A点与B点坐标分别为：（3, 0）, （3, 0）,即：AO=BO=3,.O点为AB的中点，又圆心C坐标为（0, 4）, .OC=4,BC 长 =VOB

5、2 0C25，.O点为AB的中点，E点为AD的中点， .OE为3BD的中位线，_ _1即：OE=BD,2 D点是圆上的动点，由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， .BD的最小值为4,1 -OE=- BD=2,2即OE的最小值为2,故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关Ir24.将抛物线y x 4x 3平移，使它平移后图象的顶点为2,4 ,则需将该抛物线()A.先向右平移4个单位，再向上平移 5个单位B.先向右平移4个单位，再向下平移 5个 单位C.先向左平移4个单位，再向上平移 5个单位D.先向左平移4个单位，再向下平移 5个

6、单位【答案】C【解析】【分析】2_先把抛物线y X 4x 3化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可.【详解】22 抛物线y x 4x 3可化为y x 21 其顶点坐标为：(2,-1), 若使其平移后的顶点为(-2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移 5个单位.故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键5.如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象过点A (3, 0),对称轴为直线 x= 1,给出以下结 论： abcv0；3 a+c= 0； ax2+bxQ+b；若 M ( 0.5, y1)、N (2.5,y)为函数 图象上的两点，则 yvy2.其中正确的是(A

7、.B,3C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解：由图象可知：a<0, c>0,b由对称轴可知：>0,2ab >0,.abc<0,故正确；-b 由对称轴可知：=1,2ab = - 2a, 抛物线过点（3, 0）, .0=9a+3b+c,9a - 6a+c=0,.-3a+c=0,故 正确；当x= 1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c,当x取全体实数时，ax2+bx+c < a+b+c即ax2+bx < a+5b故 正确；（-0.5, yi）关于对称轴x= 1的对称点为（2.5, yi）: -yi= y2,故错

8、误；故选：C.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.6 .抛物线yi=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：abcv0;1a+b+c>0;5 a-c=0;当xv.,或x>6时，yi>y2,其中正确的个数有（A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a 0, b 0, c 0,则abc 0,则正确；根据图形可得：当 x=1时函数值为零，则 a+b+c=0,则错误；根据函数对称轴可得：-上-=3,贝U b=-6a,根据a+

9、b+c=0可知：a-6a+c=0, -5a+c=0,贝U 5a-2ac=0,则正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目，如果函数开口向上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与 x轴交于正半轴，则 c大于零，如果函数与 x轴交于负半轴，则 c小于零；对于出现 a+b+c、a- b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个 函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界

10、线，然后进行分情况讨论27 .如图，二次函数 y ax bx c 0 a 0的图象与x轴正半轴相父于 A、B两点，与y轴相交于点C ,对称轴为直线 x 2 ,且OA OC ,则下列结论：2abc 0;9a 3b c 0;c 1；关于x的万程ax bx c 0 a 0有1一个根为 一，其中正确的结论个数有（）aA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y轴的交点可判断出 a、b、c的符号，从而可判断 ；由1 .一图像可知当x=3时，y<0,可判断；由OA= OC,且OAV 1,可判断；把-代入 a方程整理得ac2-bc+c=0,结合可判断

11、；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知 a<0,与y轴的交点在x轴的下方，可知cv0,又对称轴方程为 x=2,->0, b>0, abc>0,故正确；由图像可知当 x=3 时，y>0,，9a +2a3b+c> 0,故 错误；由图像可知 OAv 1, OA= OC,OCv 1 ,即-cv 1,故正确；假设方程的一个根为 x= - 1 ,把-1代入方程，整理得 ac2-bc+c=0,即方程有一 a a个根为x=- c,由知-c= OA,而当x=OA是方程的根，x= - c是方程的根，即假设成立，故正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二

12、次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.8 .若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点 M叫做 整点”.例如:P （1 , 0）、Q （2, - 2）都是 整点”.抛物线 y=mx2-4mx+4m-2 （m>0）与 x 轴交于 点A、B两点，若该抛物线在 A、B之间的部分与线段 AB所围成的区域（包括边界）恰有 七个整点，则 m的取值范围是（）A 1 <m< 1B < m< 1C. 1< m<2D. 1vmv222【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围【详解】y= mx2 - 4mx+

13、4m - 2= m （x 2） 22 且 m>0,该抛物线开口向上，顶点坐标为（2, - 2）,对称轴是直线 x= 2.由此可知点（2, 0）、点（2, - 1）、顶点（2, - 2）符合题意.当该抛物线经过点（1, - 1）和（3, - 1）时（如答案图1）,这两个点符合题意.将（1, - 1）代入 y= mx2 - 4mx+4m - 2 得到-1 = m - 4m +4m - 2,解得 m= 1.此时抛物线解析式为 y= x2 - 4x+2.由 y=0 得 x2-4x+2=0.解得 x1 2 1 0.6, x2 2 V2 3.4. 2，x轴上的点（1,0）、（ 2, 0）、（3, 0

14、）符合题意.则当 m = 1 时，恰好有（1,0）、 （2,0）、 （3,0）、 （1, 1）、 （3, 1）、 （2, -1）、（2, - 2）这7个整点符合题意. .m<l.【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1 （m = 1时）答案图2 （ m=工时）2当该抛物线经过点（0, 0）和点（4, 0）时（如答案图2）,这两个点符合题意.此时x轴上的点（1, 0）、（2, 0）、（3, 0）也符合题意.将（0, 0）代入 y= mx2- 4mx+4m - 2 得到 0= 0- 4m+0- 2.解得 m =.2一，,1c此时抛物线解析式为 y= -x2-

15、2x.，.一13当 x=1时，得y-1 2 1322.一13当 x=3时，得y9 2 322综上可知：当m =时，点（0, 0）、2（1, 1）、 （ 3, 1）、 （2, -2）21 .，点（1, - 1）符合题意.1.，点（3, - 1）符合题意.（1,0）、 （ 2, 0） 、 （ 3, 0） 、 （ 4, 0）、（2, - 1）都符合题意，共有 9个整点符合题1m m =一不符合题.2.m> 1 .21综合 可得：当一vmwi时，该函数的图象与 x轴所围成的区域（含边界）内有七个2整点，故选：B.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的

16、关Ir29.如图，抛物线 y ax bx c与x轴交于点A （ - 1, 0）,顶点坐标（1, n）,与y轴的交点在（0, 3） , （0, 4）之间（包含端点），则下列结论：abc>0;3 a+bv4220；- QW- 1 ；a+b制m2+bm （m为任意实数）； 一兀二次方程ax bx c n3有两个不相等的实数根，其中正确的有(A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】b解：.抛物线开口向下， a<0,二顶点坐标(1, n),，对称轴为直线 x=1,2a=1, b=- 2a>0,二与y轴的交点在(0, 3) , (0, 4)之间(包含端点)，.二 3&#

17、171;4 abcv0,故错误；3a+b=3a+ (- 2a) =a<0,故 正确；.与 x 轴交于点 A( - 1 , 0) ,a-b+c=0,a- (-2a) +c=0,，c= 3a, . 3w-4一 八3awq - -qw 1,故正确；3;顶点坐标为(1, n) ,当x=1时，函数有最大值 n,a+b+c刁m2+bm+c,a+b主m2+bm,故 正确；一元二次方程ax2 bx c n有两个相等的实数根 x1=x2=1,故错误.综上所述，结论正确的是 共3个.故选B.点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上

18、点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表 示出a、b的关系.-210.已知二次函数y ax 2ax 3a(a 0),关于此函数的图象及性质，下列结论中不 一定成立的是()A.该图象的顶点坐标为 1, 4aB.该图象与x轴的交点为 1,0 , 3,0C.若该图象经过点2,5 ,则一定经过点4,5D.当x 1时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解：y=a (x2-2x-3)=a (x-3) (x+1)令 y=0,，x=3 或 x=-1,，抛物线与x轴的交点坐标为（3, 0）与（-1, 0）,故B成立；，抛物线的对称轴为：x=1,令 x=1 代

19、入 y=ax2-2ax-3a, y=a-2a-3a=-4a,，顶点坐标为（1, -4a）,故A成立；由于点（-2, 5）与（4, 5）关于直线x=1对称，若该图象经过点（-2, 5）,则一定经过点（4, 5）,故C成立；当x>1, a>0时，y随着x的增大而增大，当 x> 1, a<0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型.11.已知抛物线y=x2+2x-m - 1与x轴没有交点，则函数 y=的大致图象是由题意可求 m< - 2,即可求解.【详解】,抛物线y = x2

20、+2x- m-1与x轴没有交点, .=44 （ m 1） < 0函数y ="的图象在第二、第四象限, X故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键.12.如图，四边形 ABCD是正方形，AB 8, 上的动点，点P的运动路径是AB BC,点AC BD交于点。，点P、Q分别是AB、BDQ的运动路径是BD,两点的运动速度相同并且同时结束.若点P的行程为x, APBQ的面积为v,则y关于x的函数图象大致为（）区A.【答案】A【解析】【分析】分点P在AB边和BC边上两种情况画出图形，分别求出y关于x的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即

21、可 .【详解】解：当点P在AB边上，即X 8 时，如图 1,由题意得：AP=BQ=% /ABD=45。，.BP=8-x,过点Q作QFLAB于点F,QF=BQ x,22x2 2J2x,此段抛物线的开口向下;4至1P在BC边上，即8过点Q作QELBC于点E,则8J2时，如图 2,由题意得：BQ=x, BP=x-8, /CBD=45。,QE=匹 BQ 叵 x, 22故选1二(x 8)2A.x2 2%/2x ,此段抛物线的开口向上【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键13.二次函数

22、y=ax2+bx+c （aw。的部分图象如图所示，图象过点（-1,0）,对称轴为直线 x=2,下列结论：（1） 4a+b=0; （2） 9a+c> -3b; （3） 7a -3b+2c>0; （4）若点 A（3，yi）、点 B （ L , y2）、点 C （7, y3）在该函数图象上，则 yivy3y2； （5）若 2方程a （x+1） （ x- 5） =- 3的两根为xi和x2,且xi<X2,则xi< - 1 < 5<x2,其中正确的C. 4个D. 5个根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=- =2,即b=-4a,变形为2a4a+b=0,所以（

23、1）正确；由 x=-3 时，y >0,可得 9a+3b+c>0,可得 9a+c>-3c,故（2）正确；因为抛物线与x轴的一个交点为（-1,0）可知a-b+c=0,而由对称轴知 b=-4a,可得a+4a+c=0, 即c=-5a.代入可得7a-3b+2c=7a+12a-5a=14a,由函数的图像开口向下，可知a<0,因此7a- 3b+2c<0,故（3）不正确；根据图像可知当xv2时，y随x增大而增大，当x>2时，y随x增大而减小，可知若点 A （-3，y1）、点B （-1，y2）、点C （7, y3）在该函数图象上，则y1=y3V y2,故（4）2不正确；根据函

24、数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5, 0）,所以若方程a （x+1） （x-5） = - 3的两根为x1和x2,且x1 < x2,则x1 V - 1 V x2 ,故（5）正确.正确的共有3个.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c （awp ,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当 a<0时，抛物线向下开口； 一次项系数 b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛 物线与y轴交点.抛

25、物线与y轴交于（0, c）；抛物线与x轴交点个数由决定，A=b2 - 4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；=/-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；A=b2 -4acv 0时，抛物线与x轴没有交点.14.如图，已知 A 4, 1 ,线段AB与X轴平行，且 AB 2,抛物线y x2 mx n经过点C 0,3和D 3,0 ,若线段AB以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t (秒).若抛物线与线段 AB有公共点，则t的取值范围是()A. 0 t 10 B. 2 t 10C. 2 t 8D. 2 t 10【答案】B【解析】【分析】直接利用待定系数法求出二次函数，得出B点坐标，分别

26、得出当抛物线 l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；【详解】解：(1)把点C (0, 3)和D (3, 0)的坐标代入y=-x2+mx+n中,n 3得， 232 3m n 0解得 ，抛物线l解析式为y=-x2+2x+3,设点B的坐标为(-2, -1-2t),点A的坐标为(-4, -1-2t),当抛物线l经过点B时，有y=- (-2) 2+2 X (-2) +3=-5,当抛物线l经过点A时，有y=- (-4) 2+2 X (-4) +3=-21,当抛物线l与线段AB总有公共点时，有-21W1-2tV5,解得：2<t<10故应选B【点睛】此题主要考查了二

27、次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关 于t的不等式是解题关键.215 .已知抛物线y 2x 4x c与直线y 2有两个不同的交点.下列结论： c 4；当x 1时，y有最小值c 2;方程2x2 4x c 2 0有两个不等实根；若连接5这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角二角形，则c 一 ；其中正确的结论的2个数是()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据 抛物线y 2x2 4x c与直线y 2有两个不同的交点”即可判断；根据抛物线的对称轴为直线 x=1即可判断；根据等腰直角三角形的性质，用c表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断.【

28、详解】2斛：抛物线y 2x 4x c与直线y 2有两个不同的交点，2x2 4x c 2有两个不相等的实数根，即2x2 4x c 2 0有两个不相等的实数根，故正确，16 4 2 （c 2） 0,解得：c 4,故正确； 抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上， 当x=1时，y c 2为最小值，故 正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1, c-2）至ij直线y=2的距离等于两交点距离的一半， 顶点（1, c-2）到直线y=2的距离为2- （c-2） =4-c,，两交点的横坐标分别为1- （4-c） =c-3与1+ （4-c） =5-c，两交点坐标为（c-3

29、,2）与（5-c,2）,将（c-3,2）代入 y 2x2 4x c 中得：2（c 3）2 4（c 3） c 2解得：c 7或c 4 2c 4,c 7,故错误，2 正确的有，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握 函数与方程之间的联系.2，一 . .116.抛物线y ax bx c （ a,b,c是吊数），a 0 ,顶点坐标为（一，m）.给出下列结23 _1-论：右点（n, y1）与点（一2n, y）在该抛物线上，当 n 一时，则y 於;关于x 22的一元二次方程ax2 bx c m 1 0无实数解，那么（）A.正确，正确B.正确，错误

30、C.错误，正确 D.错误，错误 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的增减性进行判断便可；先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得 m ,再把m代入一元二次方程 ax2-bx+c-m+1=0 的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误.【详解】，11解：:顶点坐标为一，m,n22点(n, yi)关于抛物线的对称轴x=1的对称点为(1-n, yi)2-3.点(1-n, yi)与 -2n, y 在该抛物线的对称轴的右侧图像上-31Q (1n)-2n n-0221 n 3 2n2,.a>0,.当x> 1时，y随x的增大而增大,2-yK y2,故此小题结论正确；11-a -b c,422b

31、c，、2-4a (a b) 4a 012,把 ,m 代入y=ax2+bx+c中，得元二次方程 ax2-bx+c-m+1=0 中,A , 221 一=b2-4ac+4am-4a b 4ac 4a a4 一元二次方程 ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确;故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第 小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第 小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负.17.下列函数(1) y=x (2) y=2x- 1 (3) y=- (4) y=2 - 3x (5) y=x2- 1 中

32、，是一次函数的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可.【详解】解：(1) y=x是一次函数，符合题意；(2) y=2x - 1是一次函数，符合题意；11 r(3) y=-是反比例函数，不符合题意； x(4) y=2 - 3x是一次函数，符合题意；(5) y=x2- 1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有 3个.故选：B.【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键.18.在同一平面直角坐标系中，函数2y 3x a与y ax +3x的图象可能是()A.C【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质,【详解】逐一进行判断.解：A.由一次函数图像可知 a>0,因此二次函数图像开口向上，但对称轴3- 0应在y2a轴左侧，故此选项错误;B.由一次函数图像可知a< 0,而由二次函数图像开口方向可知a>0,C.由一次函数图像可知a< 0,因此二次函数图像开口向下，且对称轴故此选项错误；3 人 0在y轴右2a侧，故此选项正确;D.由一次函数图像可知 故选：C.a> 0,而由二次函数图像开口方向可知av 0,故此选项错误;【点睛】本题考查