第3章例题和习题

1、红河学院自动化系第第3章章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.1 时域分析法概述时域分析法概述3.2 一阶系统的时间响应及动态性能一阶系统的时间响应及动态性能3.3 二阶系统的时间响应及动态性能二阶系统的时间响应及动态性能3.4 高阶系统的时间响应及动态性能高阶系统的时间响应及动态性能3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差分析线性系统的稳态误差分析 3.7 用时域法分析系统性能举例用时域法分析系统性能举例红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 4拉氏反变换拉氏反变换象函数的一般表达式：象函数的一般表达式：F(s) =b0 sm + b1 sm-1

2、+ + bm-1 s + bma0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an分解为分解为K(s z1 )(s z2 )(s zm )(s p1 )(s p2 )(s pn )=零点零点极点极点转换为转换为=s-p1A1+s-p2A2+s-pnAn则则p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+待定系数待定系数红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 (1) 不相等实数极点不相等实数极点Ai= F(s)(s-pi ) s=pi解：解：例例 求拉氏变换求拉氏变换 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 F(s)=1+s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1 ) s=p

3、1(s+1)(s+3) (s2+4s+3)+(s+2) s=-1=(s+1)(s+3) (s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2 ) s=p2s=-3=(s+1)(s+3) (s+2)(s+3)21=21+f(t)=(t)(t)+ +e-t21e-3t(s+1)(s+3) s+2=1+红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 (2) 复复数极点数极点A(s)(s p1 )(s p2 )(s pn )F(s)=p1 ,p2 共轭共轭复数复数极点极点分解为分解为=(s-p1 )(s-p2 )A1 s+A2+s-p3A3+s-pnAn F(s)(s-p1 )(s-p2 ) s=p1=A1s

4、+A2 s=p1根据根据求待定系数求待定系数A1 ,A2 . 例例 求拉氏变换求拉氏变换 s(s2+9) F(s)= s+1解：解：A1s+A2 +s (s2+9) F(s)=A3 =A1s+A2 s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1 19A1= - 19A3= -s/9+1 +s(s2+9) =1/9 s/9 -s(s2+9) F(s)=1/9 1 +(s2+9) 1391-f(t)=Sin3t91Cos3t +红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 (3) 重极点重极点A(s)(s p1 )r(s pr+1 )(s pn )F(s)=有有r个重个重极点极点分解为分解为=(s-p1

5、 )rA1 +s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1 )r-1A2 +s-p1Ar dr-1F(s)(s-p1 )rAr= s=p11 ( (r-1)! dsr-1)红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 -1.25tk(t)= 0.0125e(s) 1(s)= L k(t) = 0.0125(s+ 1.25)3-1 已知系统脉冲响应已知系统脉冲响应试求系统闭环传递函数试求系统闭环传递函数 。解解 指数函数指数函数-atef(t)t00F(s)= e e dt -at -st=1s+a红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 T c(t )c(t )r(t )r(t ) 0(T)1

6、dTt0.693lnTT rt2.2T sTt3ln() TT 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述，设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述，试证系统的动态性能指标为：试证系统的动态性能指标为： 其中，其中，延迟延迟上升上升调节调节1R( s )s C(s )s1R(s )Ts1 ABss11TC( s )Ts1sTs1ss11T -1-1t / T1TTC(t)= LC(s) = L= 1esTsh t1(T) 解解 设单位阶跃输入设单位阶跃输入; 当初始条件为当初始条件为0时有：时有： 111s=0s=0sAC(s)s(Tsss) 其中：其中：11111111s=-s=-TT

7、sTBC(s)(T)s(Ts)(Ts)(Ts)T 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 dt / tT1h(t )0.5eT dt / T1Te2T dtTln2lnTT dTtT ln2lnT dtt 1) 当当 时时 即：即： 2t / TTh(t )0.91eT 2TtTln()ln0.1T 1t / TTh(t )0.11eT1TtTln()ln0.9Tr210.9tttT ln2.2T0.1rtc(t )0.10.92) 求求（即（即从从到到所需时间所需时间) ; 当当 ; 当当则则（两边取对数）（两边取对数）ststs/ TT1h(t )0.eT95sTTTtTlnln0.05

8、Tlnln20T3lnTTT3) 求求 阶跃响应第一次达到终阶跃响应第一次达到终值的值的5050所需的时间所需的时间阶跃响应到达并保阶跃响应到达并保持在终值持在终值 5误差带误差带内所需的最短时间内所需的最短时间红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或或63.2%所需的时所需的时间，利用转速时间曲线（如图间，利用转速时间曲线

9、（如图3-47）和所测数据）和所测数据,并假设传并假设传递函数为递函数为(s)KG(s)V(s)s(sa )Ka可求得可求得和和的值。的值。r min若实测结果是：加若实测结果是：加10V电压可得电压可得1200的稳态转速，的稳态转速，而达到该值而达到该值50%的时间为的时间为1.2s，试求电机传递函数。，试求电机传递函数。(s )KV(s )sad(t )dtrad s 提示：提示：注意注意其中其中，单位是，单位是红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 稳定转速稳定转速v(t) 10 12002()4060( 1.2 )0.5()20（伏）（伏）解解 依题意有：依题意有：弧度弧度/秒秒弧度

10、弧度/秒秒0( s )KG ( s )V( s )sa设系统传递函数设系统传递函数 应有应有 111at010K10K1110K(t )LG (s) V(s)LL1es(sa)assaa1.2s达到稳定转达到稳定转速速50% 0s0s010K10K()lim sG (s) V(s)lim s40ssaa（2）（3）由由（2）（）（3）得）得 1.2a1.2a10K(1.2)1e401e20a1.2a1e0.5ln0.5a0.57761.2K4 a7.2586解出解出将（将（4）代（）代（3）得）得（4）红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 3-7 设角速度指示随动系统结构图如图设角速度指示

11、随动系统结构图如图3-48所示。若要求系统所示。若要求系统单位阶跃响应单位阶跃响应无超调无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益，且调节时间尽可能短，问开环增益Kst应取何值，调节时间应取何值，调节时间是多少？是多少？ 11,20s1 T 210K( s )s10s10K2222000121D( s )s10s10KsssTTT解解 依题意应取依题意应取 ，这时可，这时可设闭环极点为设闭环极点为写出系统闭环传递函数写出系统闭环传递函数闭环特征多项式闭环特征多项式比较系数有比较系数有 020210T110KT联立求解得联立求解得0T0.2K2.5因此有因此有 s0t4.75T0.951红河学院自动

12、化系自动控制原理自动控制原理 0.5K3-9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题电子心脏起博器心律控制系统结构图如题3-49图所示，其中模仿心脏的传递函图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。数相当于一纯积分环节。 1.若若对应最佳响应，问起博器增益对应最佳响应，问起博器增益应取多大？应取多大？2、若期望心速为若期望心速为60次次/min，并突然接通起博器，并突然接通起博器，问问1s钟后钟后实际心速为多实际心速为多少？瞬时最大心速多大？少？瞬时最大心速多大？解解 依题，系统传递函数为依题，系统传递函数为2n222nnK0.05(s )1Ks2sss0.050.05nnK0.0510

13、.052 nK2020 0.5令令 可解出可解出 t1s将将 代入二阶系统阶跃响应公式代入二阶系统阶跃响应公式 nt2n2eh(t )1sin1t11.000024s60.00145h(1i)m n次次次次可得可得 0.5时，系统超调量时，系统超调量 %16.3%，最大心速为，最大心速为p10.1631.163s69.78h(mtin次次）次次21oo(e)红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 12K ,Kpt0.5 %2% 3-10 机器人控制系统结构图如图机器人控制系统结构图如图3-50所示。试确定参数所示。试确定参数值，使系统阶跃响应的峰值时间值，使系统阶跃响应的峰值时间s，超调量，

14、超调量。112121212n22nnKKs(s1)(s)K ( K s1)s(1K K )sK1s(s1)Ks2s 21oop2ne0.02t0.51 n0.7810 ( s ) 21nn21K10021K0.146K 解解 依题，系统传递函数为依题，系统传递函数为 由由 联立求解得联立求解得 比较比较分母系数得分母系数得 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 K(s1)G(s )s(Ts1)(2s1) T0, K1 TKT K3-18 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为试在满足试在满足 的条件下，确定使系统稳定的的条件下，确定使系统稳定的和和的取值范围，并以的取值范

15、围，并以为坐标画出使系统稳定的参数区域图。为坐标画出使系统稳定的参数区域图。32D(s)2Ts(2T )s(1K )sK0 2T1K T0 2T KT2 2TK1K2T 4T2K1 KK0 解解 特征方程为：特征方程为： Routh ： S3 S2 S S0 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 N( s )M ( s ) 3-20 图图3-56是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。只的阻尼。(1)求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数；2K1 13K ,K(3)取取时，确定满

16、足（时，确定满足（2）中指标的）中指标的值。值。 NM 为单位阶跃时倾斜角为单位阶跃时倾斜角的值不超过的值不超过0.1，且系统的阻尼比，且系统的阻尼比(2)为保证为保证213K ,K ,K为为0.5，求，求应满足的方程；应满足的方程；红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 22231aN2312220.5(s)0.5s0.2s10.5K K s0.5K KM (s)s(0.20.5K K )s(10.5K K )1s0.2s1s0.2s1 Ns0s0NN120.( s )1( s )0.5()lim s M ( s )lim sM ( s )s M ( s )10.15K K 23120.2

17、0.25K K10.5K K 解解 (1) （2）令：）令： 12K K8 N( s )M ( s ) n1323n10.5K K0.20.5K K0.52 得得 。 由由 有：有： ， 可得可得2K1 1K8 30.20.25K53K4.072 （3） 时，时，可解出，可解出 。红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 1Ts1 1(s )Ts1 h(4T )98% 4T1 min T0.25 min 3-21 温度计的传递函数为温度计的传递函数为出该温度的出该温度的98%的数值的数值。若加热容器使水温按。若加热容器使水温按10C/min的速度匀速上升，的速度匀速上升，问温问温 度计的稳态指

18、示误差有多大？度计的稳态指示误差有多大？由一阶系统阶跃响应特性可知：由一阶系统阶跃响应特性可知：，因此有，因此有 ，得出，得出 。视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为。视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为，用其测量容器内的水温，用其测量容器内的水温，1min才能显示才能显示(s )1G(s )1(s )Ts K1 Tv1 用静态误差系数法，当用静态误差系数法，当r(t )10 tss10e10T2.5 CK 时，时，e(t )r(t )c(t ) eE(s)C(s)1Ts(s)11R(s)R(s)Ts1Ts1 sse2s0s0Ts10elim s(s) R(s)lim s10T2.5

19、CTs1 s 解法二解法二 依题意，系统误差定义为依题意，系统误差定义为 ，应有，应有 解法一解法一 依题意，温度计闭环传递函数依题意，温度计闭环传递函数红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 27(s1)G(s )s(s4 )(s2s2 ) 2r(t )1(t ), t,t e(t )r(t )c(t )227( s1)7( s1)G( s )s( s)( s2s)s. (s11114). (ss42)242 K7 8v1 ssr(t )1(t )e0 sse3-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为试分别求出当输入信号试分别求出当输入信号时系统的稳态误差时

20、系统的稳态误差解解: 化成尾化成尾1式式 ;由静态误差系数法由静态误差系数法ssA8r(t )te1.14K72ssr(t )te 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 r(t )0K , 3-25 系统结构图如图系统结构图如图3-59所示，要使系统对所示，要使系统对而言而言是是II型的型的，试确定参数，试确定参数的值。的值。11102220K( s1K( s1)(T s1)(T s1)K( s1)G(s)(T s1)(T s1)K K( s1)(T s1)(T s1)K1 1202120(TTK K)(1K KK(s1s)T T s 解：解：开环传开环传 递函数递函数 01201K K0

21、TTK K0 012K1 KTT II型系统型系统应有：应有： 联立求解得联立求解得 21221212K(TT )sKG(s)TT sK( s1)TT s 此时系统开环传递函数为此时系统开环传递函数为 21212D(s)TT sK(TT )sK0 考虑系统的稳定性，根据系统考虑系统的稳定性，根据系统闭环特征方程闭环特征方程12T ,T ,K0 当当 时，系统稳定。时，系统稳定。2122121221211222C(s)K(s1)R(s)K(s1)1K(K(TT )sKTT sK(TT )ss1)TT sK( s1)TT sTT sK （闭环传递函数）（闭环传递函数）红河学院自动化系自动控制原理自

22、动控制原理 2K2I25kg mr(t )t3Ksse1cm; 3K21, KK%10%. 3-26 宇航员机动控制系统结构图如图宇航员机动控制系统结构图如图3-60所示。其中控制器可以用增益所示。其中控制器可以用增益来表示；宇航员及其装备的总转动惯量来表示；宇航员及其装备的总转动惯量。（。（1）当输入为斜坡信号）当输入为斜坡信号m时，试确定时，试确定的取值，使系统稳态误差的取值，使系统稳态误差（2） 采用（采用（1）中的）中的值，试确定值，试确定的取值，使系统超调量的取值，使系统超调量r(t )t ss31eK0.01K 3K0.01时，令时，令 可取可取 1212123123K KK KC

23、( s )IG( s )K K KE( s )s( I sK K K )s( s)I 31K;v1K 解解 （1）系统开环传递函数为）系统开环传递函数为 3I25;K0.01 312KK K0.62 I 12K K360000 代入代入表达式，可得表达式，可得:将将21ooooe10 0.592 0.6 由由 ，可解出，可解出 。取。取 进行设计。进行设计。12212312K KC(s )I(s )K K KK KR(s )ssII12n312K KIKK K2 I（2）系统闭环传递函数为）系统闭环传递函数为 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 n0.07,15,0.15s n(t )1

24、0 1(t ) r(t )0 aKr(t )0 3-27 大型天线伺服系统结构图如图大型天线伺服系统结构图如图3-61所示，其中所示，其中（1）当干扰）当干扰，输入，输入时，为保证系统的稳态误差小于时，为保证系统的稳态误差小于0.01，的取值；（的取值；（2）当系统开环工作）当系统开环工作且输入且输入时，时，引起的系统响应稳态值。引起的系统响应稳态值。试确定试确定a( K0 ), 确定由干扰确定由干扰n(t )10 1(t ) 2nen222nnan( s1)E( s )( s )N( s )s( s1)( s2s)K ssnenens0s0a1010elim s N(s)(s)lim s(s

25、)0.01sK aK1000 解解 （1）干扰作用下系统的误差）干扰作用下系统的误差传递函数为传递函数为 时，时， 令令 得：得： n(t )10 1(t ) 22nn22222nnnn10E(s )C(s )N(s )s(s2s)s (s2s) sss0ee()lim sE( s ) （2）此时有）此时有红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 12K ;K0;0. s( %,t ) r(t )at 3-30 控制系统结构图如图控制系统结构图如图3-62所示。其中所示。其中试分析：试分析：（1）值变化值变化(增大增大)对系统稳定性的影响；对系统稳定性的影响；值变化值变化(增大增大)对动态性能

26、对动态性能的影响的影响;值变化值变化(增大增大)对对作用下稳态误差的影响。作用下稳态误差的影响。 （2） （3）21212221KK K1G(s)K1sKss(sK )s (s1)KK 1KKv1 122212K KsG(s )(s )1G(s )K sK K n1222112K KKK2K2 K K 2212D( s )sK sK K 解解 系统开环传递函数为系统开环传递函数为系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为系统特征方程为系统特征方程为D( s )0 0 21K12K oosn23.57tK ( 01 ) ss1aaeKK （1）由）由 可知，可知，时系统不稳定，时系统不稳定，时系统总是

27、稳定的。时系统总是稳定的。（2）由）由 可知，可知， （3）红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 n(s) n(t )1(t ) n(t )c(t )3-32 已知控制系统结构图如图已知控制系统结构图如图3-64所示，试求：所示，试求：(1)按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数(2)当干扰当干扰时，系统的稳态输出；时，系统的稳态输出；对输出对输出稳态值影响最小的适合稳态值影响最小的适合 K值。值。系统在干扰作用下的传递函数，并求系统在干扰作用下的传递函数，并求(3)若加入虚线所画的顺馈控制时，若加入虚线所画的顺馈控制时，n2C( s )s5s5( s )N( s )( s1)( s5 )20s6s25 nnns0s0c ()lims(s) N(s)lims(s)s5 n2120K1C(s )s520Ks1s25(s )20N(s )s6s251(s1)(s5 ) nnns0s0520Kc ()lims(s) N(s)lims(s)s25 K0.25 解解 （1）无顺馈时，系统误差传递函数为）无顺馈时，系统误差传递函数为 （2）（3）有顺馈时，系统误差传递函数为）有顺馈时，系统误差传递函数为令令 =0 得得: 红河学院自动化系自动控制原理自动控制原理 K;