高中数学平面向量知识点总结及常见题型范文

1、一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量，向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与 终点的大写字母表示，如：AB，.几何表示法 aB , a ;坐标表示法a xi yj （x,y）,向 量的大小即向量的模（长度），记作|煽|即向量的大小，记作| a | .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行,零向量a =0 iII a | = 0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的

2、向量：向量a0为单位向量I a0 I = 1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量:任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a / b,由于向量可以进行任意的 平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量、相等向量经过平移后总可以重合， 记为a bXd x9大小相等，方向相同（x1,y1） （x2,y2） yi y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设 AB a, bC b,贝 Ua + b=AB BC=aC.（1） 0 a a 0 a； （2）向量加法满足交换律与结合律；

3、向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：aB bC cD IH pQ qR aR ,但这时必须“首尾相连”.3向量的减法相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的

4、相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i ) ( a)=a； (ii) a+( a)=( a)+a=0;(iii) 若a、b是互为相反向量，则a= b,b= a , a + b =0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法.作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点).4实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：(I)I a | |；(H)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当 0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0,方向是任意

5、的.数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b = a.6平面向量的基本定理：如果062是一个平面内的两个不共线向量， 那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1, 2使：a 1e1 2e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括 共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相

6、对位置有关二.平面向量的坐标表不1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 大j作为基底由平 面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a x, yj,由于a与数对(x,y) 是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量3的坐标，记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上 的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量，(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相 对位置有关.2平面向量的坐标运算:(1)右3xi,yi ,bx2,y2 ，则a bx x?,% y?(2)若 A x1，yi ,B x

7、2, y2 ,则 W h X, V2 Vi(3)若 a=(x,y)，贝Ua=(若3x1,y1 ,bx2，y2(5)若：x/ ,bX2K2x, y),贝Uabx1y2x2y10，则 a bx1 x2y1 yO必X1则JJDJxa若3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质运算类 型几何方法坐标方法运算性质向1 平行四边形法量则的2.三角形法则加法向三角形法则量的减法向 量a个向量，a / b a b的满足：乘 法>0时，a与a同向；<0时，a与a异向；=0时，a = 0*向 量a?b 是一个数2.2 ./ 22a 1a 1 , |a|、x

8、y的 数a 0 或 b 0,量积a?b=0a 0且b 0时，三.平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为，则a . b= a b cos叫做a与b 的数量积（或内积）.规定0 a 02向量的投影：1 b |cos =¥cr,称为向量b在a方向上的投影：投影的绝对值称为射影.3数量积的几何意义：a . b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.24a2Jraa a4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立:a b a b a2 b2 南 132；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：abba i对实数的结合律成立：a b目b a b分配律成立： a b c

9、 a c b c cab特别注意：(i)结合律不成立：a b c ab c；消去律不成立abac不能得到b cIIa b =0不能彳4到3=0或0=0.7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 a (x1,y1),b (x2, y2),则，. b=xx2 y1y28向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OA=a, OB品则/AOB=(0o 180°)叫做向量a与b的夹角.当且仅当两个非零向量a与b同方向时，8=0°,当且仅当a与b反方向时8 =180°,同时 !0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题，9垂直：如果a与"勺夹角为900则称a与b垂直，记

10、作a JI。两个非零向量垂直的充要条件a X b a . b =。 x1x2 y1y2 0*平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量.(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的.(4)四边形ABC比平行四边形的条件是aB CD.(5)若AB Cd,则A、B、C、D四点构成平行四边形(6)因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.Jib 4a则-Tmb 3ma若(9)若 ma na ,贝U m n .iiiia。)若a与b不共线，则a与b都不是零向量.(11)若a b

11、|a| |b|,则 a/b.(12)若 |题型2.向量的加减运算di示 表-Ta设向东走8kmib表示“向北走6kmf ,则|a b|2.化简甫 mB) (bO bC) om3.已知 |OA| 5, |oB| 3,则 |的最大值和最小值分别为4.已知IaD的和向量，且aC a,BD b,则w5.已知点C在线段AB上，且 短 31AB ，则 aC bC , 5-题型3.向量的数乘运算Q 2 !7 2一 aD 一噌.3( 2a 3b2.已知 a (1, 4),b (3,8),贝-b2题型4.作图法球向量的和,已知向量a,b,如下图，请做出向量3a ”和2a -b.22题型5.根据图形由已知向量求未

12、知向量1 .已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量2 .在平行四边形ABCD中，已知aBC 表示 AD .7C题型6.向量的坐标运算1.已知AB (4,5) , A(2,3),则点B的坐标是2.已知;Q(3, 5), P(3,7),则点Q的坐标是3 .若物体受三个力f1 (1,2), F2 ( 2,3), F3 ( 1, 4),则合力的坐标为 . .jIjI4 .已知 a ( 3,4), b(5,2)，求 ab, ab, 3a 2b.5 .已知A(1,2), B(3,2)，向量a (x 2,x 3y 2)与点相等，求x, y的值.6.已知(2,3) , bC(m,n), CD7.已知O是坐

13、标原点,(1,4),则 dAA(2, 1),B( 4,8),且的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知je2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:e2 B. 3e 2e2 和 4e2 6e1a. ec. e2 3e d.2.已知a (3,4),能与a构成基底的是(A. (3,4) B. (4,当 C. ( 3,与 D. 5 55 555题型8.结合三角函数求向量坐标(1, 3)1 .已知。是坐标原点，点A在第二象限，2 .已知O是原点，点A在第一象限，|OA|OA| 2 , xOA 150；,求的坐标.| 4曲，xOA 60；,求OA的坐标.题型9.求数量积1 .

14、已知由3,|b| 4,且a与b的夹角为60,求(1)a b,(2)a d b,(目")b , (4) (2a b) (a 3b). 22 .已知 a (2, 6),b ( 8,10)，求(1) |a|,|b|, (2) a b , (3) a (2 b),(4) (2a b) (a 3b).题型10.求向量的夹角1 .已知1a 8,|b| 3, a b 12,求a与b的夹角.IIII2 .已知a (e,1),b (2百2),求a与b的夹角.3 .已知 A(1,0) , B(0,1) , C(2,5),求 cos BAC .题型11.求向量的模 "II!II1 .已知1a1

15、3,|b| 4,且a与b的夹角为60,求(1)1a b|, |2a 3b1.2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10)，求(1) |目|,|0|, (5) |a b|, (6) |目 ”|.2 III3 .已知 |a| 1,|b| 2, 13a 2b | 3,求 13a b|.题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：i i|a|1 .与a (12,5)平行的单位向量是2 .与m ( 1,：)平行的单位向量是题型13.向量的平行与垂直1 .已知 a (6,2) , b ( 3,m),当 m为何值时，(1);/忠(2) a b ?I2 .已知a (1,2), b ( 3,2), (1) k

16、为何值时,向量ka b与才3b垂直?k为何值时,向量ka b与a 3b平行?3 .已知a是非零向量，ab ac,且b c,求证：a (b C).题型14.三点共线问题1.已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求证:A,B,C 三点共线.b),求证:A B、D三点共线2t ,则一定共线的三点是4 .已知A(1, 3), B(8, 1),若点C(2a 1,a 2)在直线AB上，求a的值.5 .已知四个点的坐标O(0,0) , A(3,4) , B( 1,2), C(1,1),是否存在常数t,使OA tOB oC 成立？题型15.判断多吵的形状1 .若AB 3e, CD 5：,且|N

17、D| |BC|,则四边形的形状是 .2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD 是梯形.3 .已知A( 2,1), B(6, 3), C(0,5),求证：ABC是直角三角形.4 .在平面直角坐标系内，oA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求证：ABC是等腰直角三 角形.题型16.平面向量的综合应用1 .已知a (i,o), b (2,1),当k为何值时，向量kt b与a 3b平行？2 .已知a(v3,质，且a b, ib 12,求b的坐标.3 .已知工b同向，b az,则ab 10,求a的坐标. I4 .已知a(1,2)

18、, b (3,1), c(5,4),则c a b.5 .已知a (5,10) , b ( 3, 4), C (5,0),请将用向量a,b表示向量里.6 .已知a (m,3) , b (2, 1), (1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围.7 .已知a (6,2) , b ( 3,m),当m为何值时，(1)冒与b的夹角为钝角？( 2) 2与b 的夹角为锐角？8 .已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A( 1,2) , B(3,4) , D(2,1),且AB/DC ,AB 2CD ,求点C的坐标.9 .已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(2,1), B( 1,3), C(3,4),求第四 个顶点D的坐标.10 一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30；角，求水流速度与船的实际速度.11 .已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(3,4) , B(0,0) , C(c,0),(1)若AB AC 0,求c的值；(2)若c 5,求sin A的值.【备用】1.已知 |：| 3,|b| 4,|a|和向量的夹角.Jy JJD a Jrx知 已Jla, 1b ,求x