高中数学典型例题大全第三章导数函数的单调性

1、高中数学典型例题大全第三章导数函数的单调性例讨论以下函数的单调性：1. /(x) = a-a- a0且aWl)；2. /(x) = logfl(3x2+5x-2) 0且awl)： bx3. f(x) =(-1 xl 时，In40,，+T 0,./(x)0.J函数/W在(-s,+s)上是增函数.当 Ova vl 时，hi 0, /. fx) 0.A函数/(X)在(s,+s)上是减函数.2 .函数的定义域是或x，时，logn e 0,6x + 5 0,(3x-l)(x + 2) 0 , ./(x) 0 , .函数/*)在(；,+ 8 )上是增函数：当xv2时，/(x)vO,.函数/*)在(s,2)

2、上是减函数假设0avl,那么当时，fx) 0, 3.函数/(八-)在上是减函数：当x0,，函数/（x）在（一2）上是增函数3 .函数/（X）是奇函数，只需讨论函数在（0, 1）上的单调性当Ovxvl时,广（外=岳/(x2-i)-x(x2-iyZ773(厂一 1厂b(x2+)一 T_5)CD假设 0,那么/（x）vO,函数/（X）在（0, 1）上是减函数:假设0,函数/（X）在（0, 1）上是增函数.又函数/（刈是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.因此当0时，函数在（- 1, 1）上是减函数，当V。时，函数/（X）在（-L 1）上是增函数.讲明：分类讨论是重要的数学解题方法.它把

3、数学咨询题划分成假设干个局部咨询题, 在每一个局部咨询题中，原先的 不确定因素”不再阻碍咨询题的解决，当这些局部咨询题 都解决完时，整个咨询题也就解决了.在判定含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范畴，而且要结合函数的定义域来确定了（x）的符号，否那么会产生错误判定.分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用， 从而提高简化运算能力.利用导数求函数的单调区间例求以下函数的单调区间：1. f （x） = x4 - 2a 2 + 3 ：2. /（X）= y2x-x2 ;3. f（x） = x + （b0）.X分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函

4、数的单调区间时，也必须先 求出函数的定义域，然后再求导判定符号，以幸免不该显现的失误.解：1.函数制（x）的定义域为 R, /f（x） = x4-4x = 4（x-lXx + lA令/（x）。,得一 1VXV。或 X1.，函数/（X）的单调递增区间为（-1, 0）和（1,+8）：令/(x)v。，得xvl或Ovxvl,.函数/3)的单调递减区间为(8,-1)和(0, 1).2.函数定义域为0x0,得Ovxvl.函数/a)的递增区间为(0, 1)：令一(x)vO,得Ixv2,函数/3)的单调递减区间为(1, 2).3.函数定义域为xH0J(x) = 1- = -(x-yfb)(x + yb).厂

5、厂令广(x)0,得x四或x仿.函数/(A-)的单调递增区间为(f L孤)和(的,2)：令/(幻0,得一北xv、3且XW0,.函数/(A-)的单调递减区间是(一7瓦0)和(0,、万).讲明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，表达了形象思维的直观 性和运动性.解决这类咨询题，假如利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得 繁琐，区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增(或递减)区间写成并集的形式，如将例1函数/(x)的单调递增区间和递减区间分不写成(-l,O)U(l,+s)和(-3-1)11(0,1)的错误结果.那个地点我们能够看出，除函数思想方法在此题中的重要

6、作 用之外，还要注意转化的思想方法的应用.求解析式并依照单调性确定参数例 /(X)= / +C,且 ffM = /(X2 + 1).1 .设 g(x) = /(x)，求 g(x)的解析式；2 .设o(x) = g(x) /(x),试自询：是否存在实数九，使0。)在内为减函 数，且在(-1, 0)内是增函数.分析：依照题设条件能够求出0(幻的表达式，关于探干脆咨询题，一样先对结论做确 信存在的假设，然后由此确信的假设动身，结合条件进行推理论证，由推证结果是否显现矛 盾来作出判定.解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数夕是可导函数，因此选择 好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式

7、，确定适合条件的参数2的取 值范畴，使咨询题获解.解：1.由题意得/(X) = /，+C)=，+C)2+C,/(/ +1) = (x2 +1)2 + c. ff(X) = f(X2 + 1),.(A-2 +c)2 + c = (x2 +1)2 +c,：.x2 +c = x2 +1,.,.(? = 1. /(x) = x2 +1, g(x) = fix2 +l) = (x2+l)2+l.2. (px = gx-Af(x) = x4 +(2-2)x2 +(2-2).假设满足条件的2存在，那么(px) = 4/ + 2(2-A)x 函数9(x)在(一8,1)内是减函数，当xv-l时，(px) 0,即

8、 4.炉 + 2(2-Z)x 4x,x 1,-A-x -4,解得444.又函数夕。)在(一 1, 0)上是增函数，当10即 4x3+ 2(2-，)x 0 关于 x e (-1,0)恒成立，:.2(2 - A) -4x2 / -1 x 0, /. -4 4x2 0.A 2(2-2) -4,解得;IN4.故当 = 4时，夕(x)在(s,1)上是减函数，在-1, 0)上是增函数，即满足条件 的丸存在.讲明：函数思维实际上是辩证思维的一种专门表现形式，它包含着运动、变化，也就 存在着量与量之间的相互依靠、相互制约的关系.因此挖掘题目中的隐含条件那么是打开解 题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生专门

9、大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入 手去沟通与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成咨询题的解决.不善于应用f(x)a 恒成立Q(X)Lnax。恒成立O(X)nnna，究其缘故是对函数的思想方 法明白得不深.利用导数比较大小例“、/，为实数，且ae,其中。为自然对数的底，求证：分析；通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法.依照题目自身的特点, 适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判定导数都比较容易的函数,一样地,证明/(x)g(x),xe(M，能够等价转化为证明尸(x) = /(x) g(x)0,假如Fx) 0 ,那么函数尸(x)在(。4)上是增函数，假如尸(编

10、之0,由增函数的定义可知，当 时.有(x)0, &P f(x) g(x).解：证法一：,要证只要证61naalnb,设O=blna-alnb(be),那么 /(/?) = In a-.b , a e ,，In a 1,且色 0.b函数 f b) = bnaahib 在(e,+s)上是增函数.:.f(b) /(a) = aln a aln a = 0，即:.bn a a In b.:. al ba.证法二：要证只要证。ln4lnZ?(evav)，nn. bi a InZ?、八 ,./、 bixz 、 rZ/ x 1-lnx 八即i止 ，设/(x) = (xe),那么(x) = ,即史 ，.t ah ba.a h讲明： 构造是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要 有明确的方向，即什么缘故目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组 合.解决这种咨询题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出fx) g(x) = f(x) g(x)的错误结论.判定函数在给定区间上的单调性例函数y = log1 1 + L在区间(0,+s)上是() -k X)A.增函数，且y0 B.减函数，且y0C.增函数，且yvO D.减函数，且yl,x那么 y = logi 0 x(l + x)-x（x e （05+oo）