2018年高考数学专题02函数与方程及其应用教学案理

1、专题2函数与方程及函数的应用【2018 年咼考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1) 确定函数零点；2确定函数零点的个数；3根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围.函数简单性质的综合考查函数的实际应用问题.(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查.利用函数性质解决相关的最值题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法.【重点、难点剖析】1 函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(X)，我们把使f(x) = 0 的实数x叫做函数f(x

2、)的零点.(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) =f(x) g(x)的零点就是方程f(x) =g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(3) 零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) f(b)1 的x的取值范围是2x,XA0,2【答案】-,：I 4，丿【解析】(1试题分析：令gx) = f(x) = f 当注0时,(x) = /(x) + /x-l = 2x+|,5函数gx在区间：,0, O*冷三段区间内均单调递增,据此x的取值范围是：一1.I 4丿【答案】D【解析】函数 f(x)=2x2- e|x|在

3、-2,2上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为f(2) =8-e2,0：8-e2：1,所以排除 A、B 选项；当x 1.0,21时，f (x) = 4x -ex有一零点，设为x0，当x (0, x0)时，f (x)为减函数，当x，(x,2)时，f (x)为增函数.故选Dox3,xa,个零点，贝 U a 的取值范围是 _ .答案：(汽 0)U(1 ,+)解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x) b= 0 有两个不等实根，则函数y=f(x)和y=b的图象有两个公共点.1若a0,则当xa时，f(x) =x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图实线部分所示，其图象与直线y=b可能有两个公共

4、点.2若 0waw1,则a3wa2,函数f(x)在 R 上单调递增，f(x)的图象如图实线部分所示，其图象与直线y=且:-4心。21迈1严1的图像大致为b至多有一个公共点3若a 1 则a3a2,函数f(x)在 R 上不单调，f(x)的图象如图实线部分所示，其图象与直线y=b可能有两个公共点.实数m的取值范围是_【答案】2, +)【解析】作出函数xw0,x0【变式探究】已知直线y=mx与函数f(x)=122X+ 1,x0的图象恰好有 3 个不同的公共点，则f(x)=的图象,3，x-0，2-7如图所示.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率nwo时，直线y=mx与函数f(x)的图象只有

5、一个公共点；当m0 时，直线y=mx始终与函数y= 2Q：(xw0)的图象有一个公共点，故要使直线一 一 一 12一 - =mx与函数f(x)的图象有二个公共点，必须有直线y=mx与函数y=x+ 1(x0)的图象有两个公共点，即、 12方程mx=+ 1,在x0 时有两个不相等的实数根，即方程x2 2m灶 2= 0 的判别式= 4 卅一 4X20,且m0,解得m2.故所求实数m的 取值范围是(2,).【特别提醒】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.题型二函数的零点例 2、【2017 课标 3,理 11】已知函数f

6、 (x) = x2-2x+ a(ex，有唯一零点，则a=111A.1B1C.1D.1232【答案】C【解析】函数的雲点满足云2“中尸+“)， 2(1-1) _1设g(对二才+eI+1，贝怙心)=才一诃=、当0(兀)=。时工=1当瓦1.时， 1B寸，g(兀)=0函数(工)单调递増丿当兀=1.时，函数取得最小值g=2,设hx)-2x、当*1时，函数取得最小值-1 ,若-a0 ,函数应(兀)与函数ag(jc)没有交点当-0时，一绘(1)时，此时函数風力和您(力有一个交点，即-ax2=1解得a = 故选C.9【变式探究】(1)(2015 海南)已知函数f(x) = Inx Q 厂2的零点为xo,则xo

7、所在的区间是()A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3) D. (3,4)(2)x表示不超过x的最大整数，例如2.9 = 2, 4.1 = 5.已知f(x)=x x(x R),g(x) = log4(x1)，则函数h(x) =f(x) g(x)的零点个数是()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4(1)答案：C解析：If(x)=lnxQ)2在(0,+s)上是增函数，又f(1) = ln 1 = ln 1 20,(1 f(2) = ln 2 0,x (2,3)，故选 C.答案：B解析：函数h(x)=f(x) g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，作出函数

8、f(x) =xx+1, 1wx0,x=x,0wx1,x1,1wx2,3 的函数，当x 0,3)时，f(x) =x2 2x+.与函数g(x) = log4(x 1)的大致图象，如图，由图知，两函数图象的交若函数y=f(x) a在区间3,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是【答案】0,111【解析】函数y=f(x) a在区间3,4上有互不相同的 10 个零点，即函数y=f(x) ,x 3,4与y=a1 确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，若方程易求解时用此法.零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识.(3)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时

9、，当从正面求解难以入手，可以转化为某 一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常 转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.2 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构 建关于参数的方程或不等式求解，常用方法为：(1) 利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解.(2) 分离参数后转化为求某函数的值域或最值.(3) 转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解.题型三、函数模型及应用【例 1】【2017 课标 1,理 21】已知函数f (x) = ae2x (a 2)exx.(1)

10、讨论f (x)的单调性;(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)0,1.【解析】(1)f x的定义域为-二，=,f x = 2ae2xa-2 ex-1二aex-1 2ex1,可知当 0vav1 时满足题意.f(x)在一个周期内的图象如图,C.pqD. p+1q+11(i)若a空0，则f x：0,所以f x在：，：单调递减.13（ii）若a 0，则由x ?=0得x - -Ina.当x三：, I na时，f x : 0；当i：In a, :时，f x 0，所以f x在 -：,-1na单调递 减，在-Ina, :单调递增（2） i）若必0,由（1知，/）至多肓一个零

11、点-（ii）?由1）知，当一皿时，/（兀）取得最小值，最小值为/（-檢）=1一丄十血.a1当抚=1时，由T/（-1M）=0,故/（力只有一个零点；2当兀亿乂0）时，由于1丄+1MAS即/（1M）A0,故/G）没有雲点；a寸，L-+1M0,即/（-1M）-22+ 20,故/（力在（7,-站）有一个雲点.设正整数啣满足玛： 斗三一1），则/ （怜） =由 （於+日一2）%亠占小A0一 由于inf-1-1IKJJ因此/（兀）在（-lnn.Mo）有一零点.I口i综上，a的取值范围为0,1.【变式探究】【2015 高考四川，理 13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度 x （单位：C）满足C.p

12、qD. p+1q+11函数关系_ kx -by乂 （e= 2.718为自然对数的底数,k、b为常数）。若该食品在 0C的保鲜时间设计 192小时，在22C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33C的保鲜时间是小时。【答24【解由题意得：$e19222 k48111k11ie22k-48，192 4，2，所以 乂虫3时，戸%)e_1924【变式探究】（2014 湖南）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为P,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A.岀 B.215【命题意图】本题以实际应用为载体，主要考查增长率问题，结合方程思想和转化思想求年平均增长率，2关键是得

13、出方程(1 +p)(1 +q)a=a(1 +x).【答案】D【解析】设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1 +p)(1 +q)a=a(1 +x)2,解得x=+p1，故选 D.【方法技巧】1 .应用函数知识解应用题的步骤(1) 正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与 抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类.(2) 用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解.把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答.2 对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法.【变式探

14、究】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10 万元，每生产 1 千件需另投入 2.7该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且(1) 写出年利润W万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2) 年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注：年利润=年销售收入一年总成本)【解析】(1)当 0vx 10 时，1 000W xR(x) (10 + 2.7x) = 98 2.7x,3x3x万元.设R(x)=10.8-30，108 1 000T 3x2，0vxw10,x10.C.pqD. p+1q+118.1x3010,0vxw10, W1 000982.7x,x10. 0;当x (9,10时，Wv0,当x= 9 时，W取得最大值，即Wax=8.1X9丄X9310=38.6.30当x10时， 片98 -2. 7(W98 - 2当且仅当 罟=2