(浙江专用)高考数学总复习第六章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

1、第 2 讲 二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的线性规划问题最新考纲 1. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； 2. 了解二元一次不等式的几何意 义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决知识梳理1. 二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域(1) 一般地，二元一次不等式 Ax ByC>0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC 0 某一 侧的所有点组成的平面区域 (半平面 )不含边界直线 . 不等式 Ax By C0所表示的平面区域 ( 半平面 ) 包括边界直线 .(2) 对于直线 AxByC0 同一侧的所有点 (x，

2、y)，使得 AxByC 的值符号相同，也就是 位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax By C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式 AxBy C<0.(3) 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 .2. 线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组，是对 x，y 的约束条件目标函数关于 x，y 的解析式线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解 (x， y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性

3、目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊断自测1.判断正误 ( 在括号内打“”或“×” )(1) 不等式 AxByC>0表示的平面区域一定在直线 AxByC0的上方 .()(2) 线性目标函数的最优解可能是不唯一的 .()(3) 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4) 在目标函数 z ax by( b0) 中， z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截 距 .()(5) 不等式 x2 y2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成 的含有 y 轴的两块区域 .( ) 解析 (1) 不等式 xy1>

4、0表示的平面区域在直线 xy 10的下方 .(4) 直线 axbyz0在 y 轴上的截距是 zb. 答案 (1) × (2) (3) (4) × (5) 2. 下列各点中，不在 x y10表示的平面区域内的是 ( )B. ( 1，1)A.(0 ， 0)D.(2 ，3)C.( 1，3)解析 把各点的坐标代入可得 ( 1，3)不适合，故选 C.答案 C x3y 6 0，3. ( 必修 5P86T3) 不等式组表示的平面区域是 ( )xy2<0解析 x3y60 表示直线 x 3y60 及其右下方部分， x y 2<0 表示直线 xy 2 0 左上方部分，故不等式表示的

5、平面区域为选项 B.答案 Bxy10，4. (2016 ·全国卷)若 x，y满足约束条件 xy30，则 zx2y的最小值为 x30，解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x 3 与直线 xy10 的交点 (3 ，4) 处取得，代入目标函数 zx2y 得到 5.答案 5yx，5.(2017 · 舟山统考 ) 已知整数 x，y 满足不等式 xy>4，则 2xx2y 8>0，- 7 - / 8 y 的最大值是x2y2 的最小值是yx，解析 满足不等式组 xy>4， 的可行域如图所示，由 z 2x x2y8>0y，得 y 2xz，由图可知，当直

6、线 y 2xz过 A时，x y ，x 8，可得即 A 点x2y80y 8，坐标为 (8，8)，z 最大值等于 2×8824.x2y2 的最小值是可行域的直线在 y 轴上的截距最大，由B 到原点距离的平6.若变量 x，y 满足约束条件解析 作出不等式组表示的平面区域，xy4，方，由可得 B(2 ，yxyx，xy4，且 z 2xy 的最小值为yk，如图中阴影部分所示，2) ，可得 22228.答案 24 86，则 kz2xy，则 y 2xz. 易知当直线 y 2x z 过点 A(k，k) 时， z 2xy 取得最小值，即 3k 6，所以 k 2.答案 2考点一 二元一次不等式 ( 组 )

7、 表示的平面区域xy20，例 1】 (2015 · 重庆卷 ) 若不等式组 x2y20， 表示的平面区域为三角形，且其面积等xy2m0于 34，则 m的值为 ()B.1A.3D.34C.43解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m< 2，则 m> 1，x1m，y1m，解得由 x y 20，xy2m0，即 A（1 m，1 m）.x2y20，由xy2m0，解得24x33m，22y33m，2 4 2 2 1 1 即 B33m，33m ，所围成的区域为 ABC，则 SABC SADCSBDC2（2 2m）（1 m） 2（2 2 1 2 42m）·3（1m）

8、3（1m）23，解得 m 3（舍去）或 m1. 故选 B.答案 B 规律方法 二元一次不等式 （ 组 ） 表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不 等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线 . 测试点可以选一 个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点 .ykx34分为面积相等的两部x0，训练 1】 若不等式组 x3y4，所表示的平面区域被直线3xy4分，则 k 的值是 （ ）3B.373D.347A.734C.43不等式组表示的平面区域如图所示由于直线 ykx34过定点 0，43 . 因此只有直线过 AB中点时，直线 ykx43能平分平面区域.因

9、为 A（1 ，1），B（0，4），所以AB中点 D 21， 25 .当 ykx 34过点 12，时，5k4，223- 11 - / 8所以 k73.答案 A考点二 线性规划相关问题（ 多维探究 ）命题角度求目标函数的最值例 21】 （1）（2016 ·全国卷）设 x，y 满足约束条件2xy10， x2y10， x1，则 z 2x3y 5 的最小值为x10，（2）（2015 · 全国 卷） 若 x，y 满足约束条件 xy0， xy40，则yx的最大值为解析 （1） 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示题意可知，当直线 y 23x35 z3过点 A（ 1， 1）时， z

10、 取得最小值，即 zmin2×（1）3×（ 1） 5 10.（2） 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1 ， 3） 与原点连线的斜率最.由yx是可行命题角度二求参数的值或范围答案 (1) 10 (2)3大，故 yx的最大值为 3.xy0，例 22】 （2015·福建卷）变量 x，y 满足约束条件x2y20，若 z2x y 的最大值 mxy0.为 2，则实数 m等于 （）D.2C. 1B. 1A.2解析 如图所示，目标函数 z 2x y 取最大值 2，即xy0，2 时，画出 x2y20表示的区域，由于 mxy0过

11、定点(0，0)，要使 z2xy 取最大值 2，则目标函数必过两直线 x2y20 与 y2x2 的交点 A(2 ， 2) ，因此直线 mxy 0 过点 A(2 ， 2) ，故有 2m20，解得 m1.答案 C 规律方法 线性规划两类问题的解决方法(1) 求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有： 截距型：形如 z ax by； 距离型：形如 z (xa)2(yb)2. 斜率型： yb 形如 z .xa(2) 求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中 . 求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域里

12、，寻求 最优解 .xy a，【训练 2】 (1) 设 x，y 满足约束条件且 zxay 的最小值为 7，则 a()xy1，B.3A. 5D. 5 或 3C. 5 或 32xy0，a 1 a1A 2 ， 2 .由 zxay 得(2)(2017 · 诸暨市 统考 )已知变量 x，y 满足 x2y30，则 z( 2)2xy 的最大值为 x0，解析 (1) 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中1z x .aa1 由图可知当 1 1时， z 可取得最小值，此时 a1或 a 1.a1 za 1a 1又直线 y axa过 A 点时， z 取得最小值，因此 2 a× 2 7，化简得

13、 a 2a15 0，解得 a3 或 a 5，当 a 3 时，经检验知满足题意；当 a 5 时，目标函数 z xay 过点 A 时取得最大值， 不满足题意，故选 B.解得 yx 12，y2，2xy0，由x2y30，即 A(1 ，2). 代入目标函数 z( 2) 得， z ( 2)4.答案 (1)B (2)4考点三 实际生活中的线性规划问题【例 3】 (2016 ·全国卷 ) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 . 生 产一件产品 A需要甲材料 1.5 kg ，乙材料 1 kg，用 5个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg ，乙材料 0.3 kg ，

14、用 3 个工时，生产一件产品 A的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg ，乙材料 90 kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元.解析 设生产 A产品 x件，B产品 y件，根据所耗费的材料要求、工， 0.5y 1501.5x，0.3y 90 x，3y6005x，xN*，x0，yN*，y0时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数 z 2 100 x 900y.作出可行域为图中的阴影部分 ( 包括边界 )内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60 ， 100） ， （0 ， 2

15、00） ， （0 ， 0） ， （90 ， 0） ，在 （60 ， 100） 处取得最大值， zmax 2 100 ×60 900×100 216 000（ 元 ）.答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤：(1) 分析题意，设出未知量； (2) 列出线性约束条件和目标函数；(3) 作出可行域并利用数形结合求解；(4) 作答 . 训练 3】 (2015·陕西卷 ) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A， B 两种原料，已知生产 11 吨甲、乙产品可获利润分吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产A.12 万元别为 3 万元、 4 万元

16、，则该企业每天可获得最大利润为 ( )甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128B.16 万元C.17 万元 D.18 万元解析 设每天 生产甲、乙产品 分别为 x 吨 、y 吨 ，每天所 获利润为 z 万元，则有3x2y12，x2y8， 目标函数 z 3x 4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示： x0，y0，可得目标函数在点 A 处取到最大值 . x2y8，由 得 A（2 ，3）. 则 zmax 3×2 4×318（ 万元）. 3x2y12，答案 D 思想方法 1. 求最值：求二元一次目标函数 z ax by（ ab0）的最值，将 zaxby 转化为直线的斜截 a zz式：y x ，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值 .最优解在顶点或边界取得 . b bb2. 解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变