必修5数列知识点总结及题型归纳

1、百度文库-让每个人平等地提升自我数列一、数列的概念/(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,分 111112 3 4 5(3)数列的函数特征与图象表示：4 5 6 7 8 9序号：1234 56/ 项：4567 89(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2

2、, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系:(n 1)Sn Sm(n>2) 例：已知数列an的前n项和Sn 2n2 3,求数列an的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例：等差数列an 2n X , an an 1

3、/题型二、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ；等差数列(通常可称为 AP数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a1 1,公差d 3的等差数列，如果an 2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 67011百度文库-让每个人平等地提升自我题型三、等差中项的概念:定义：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 Aa ba, A, b成等差数列A - 即：2an12

4、an 2(2anan m an m)例：1.设an是公差为正数的等差数列,若a1 a?a315 , a1a2a3a11a2a13A. 120. 105C.90. 752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）A. 1题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列an中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;(3)在等差数列an中,对任意 m , n N , an am (n m)d , d(4)在等差数列an中,题型五、等差数列的前n和的求和公式：Snn(a an)na1(Sn An2 Bn

5、(A,B为常数)an是等差数列22递推公式：Sn(a an)n例：1.如果等差数列(A) 142.设Sn是等差数列A. 13 B3.设等差数列anan中,(am an (m 1) ) n2a3 a4 a512,(B) 21(C) 28那么a1a的前n项和，已知a23,的前n项和为4.若一个等差数列前3项的和为5.设等差数列 an的前n项和为6.已知an数列是等差数列,2A. 一3Sn,若 S9 72 ,则34,最后3项的和为项a6a2390,则这个数列有（d2an a paq ；an am /(m n)；n mn(n 1)da2a7(D)3511 ,则S7等于（63a4a9 二146,且所有项

6、的和为项Ci S9Sn,若% 5a3 则S5a10C.10,其前10项的和Sio70,则其公差d等于（）2D. 3百度文库-让每个人平等地提升自我7.设 an为等差数歹U,&为数列 an的前n项和，已知 S = 7, S5=75, Tn为数列Sn的前n项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，Sn , S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前、3m项和为（）2. 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为3.设Sn为等差数列an的前n项和，S414,S10S730,则S9=4./ （06全国II

7、）设&是等差数列 an的前n项和，若S3 = 1 ,则S63S6S12A 130题型七.判断或证明一个数列是等差数列的方法:D i定义法:an 1an d（常数）（an是等差数列中项法:1 an an 2(n N )an是等差数列通项公式法:前n项和公式法:ankn b(k,b 为常数)an是等差数列例：1.已知一个数列A.等差数列2.已知一个数列A.等差数列Sn An2an的前n项和SnB.等比数列 C.an的前n项和SnB.等比数列 C.Bn (A, B为常数) an2n2 4,则数列an为（既不是等差数列也不是等比数列22n ,则数列an为（）既不是等差数列也不是等比数列3.数列

8、 an 满足 a1=8, a42,且 an2 2an 1an是等差数列D.无法判断求数列an的通项公式;D.无法判断题型八.数列最值(1)40, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时,Sn有最小值;Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数Sn2an bn的最值;33可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即:百度文库-让每个人平等地提升自我若已知an,则Sn最值时n的值(nan0 - an0N )可如下确定或。an 10an 10例:1.等差数列an中，a10, S9&2,则前项的和最大。设等差数列 an的前n项和为Sna3 12, S12

9、0, S303.求出公差d的范围,指出Si, S2, , S12中哪一个值最大,并说明理由。已知an是等差数列，其中a131,公差d 8。(1)数列an从哪一项开始小于0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.题型九.利用anSi(n1)求通项.Sn Sni (n 2)1 .已知数列 an的前n项和Sn n2 4n 1,则22.设数列an的前n项和为Sn=2n ,求数列an的通项公式;13.已知数列 an 中，a13,刖 n和 Sn(n 1)(an1) 12求证：数列 an是等差数列求数列an的通项公式4.设数列an的前n项和Sn n2,则a8的值为(A) 15等比数列44(D

10、) 64(C)(B) 1649anq等比数列定义：一、递推关系与通项公式a qn m推广：anam通项公式：an递推关系：an1q1.在等比数列an中，a12.在等比数列 an中，a?4,q 2,则 an百度文库-让每个人平等地提升自我3.在各项都为正数的等比数列an中，首项ai 3 ,前三项和为21,则a3 a4 a5()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 bJOB,注：b2 ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2 、,3和2 、, 3的等比中项为()(A)1(B) 1(C) 1(D)2三、等比数列

11、的基本性质，(1) <1)若m n p q,则 am anap aq (其中 m,n,p,q N )(2) qn m 包，an2 an m an m (n N )am(3) an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例：1 .在等比数列an中，a1和a10是方程2x25x 10的两个根，则a4a7()(5) 2_11(A) -(B)(C)(D)-22222 .在等比数列 an 中，a1 a6 33, a3a4 32, an an 1求an若 Tn lg a1 Ig a2lg an,求Tn3 .等比数列an的各项为正数

12、，且 a5a6 a4a7 18,则 Iog3a log3a2 log3a10()A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+Iog35na(q 1)四、等比数列的前 n项和，Sn &(1 qn) a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比数列an的首相a15,公比X 2,则其前n项和Sn 2 .设等比数列 an的前n项和为Sn ,已a2 6, 6al a3 30 ,求an和Sn55百度文库-让每个人平等地提升自我3 .设 f(n) 2 24 27 21023n10(n N),则 f(n)等于()2n2 n 12 n 32 n 4A. - (81)B. -(81) C .

13、 -(81) D . -(81)五.等比数列的前n项和的性质 /若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N* ,那么Sk , S2k Sk，S3k S2k成等比数列例：1.一个等比数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为()A. 83 B . 108 C . 75 D . 632.已知数列an是等比数列，且 Sm 10, S2m30,则S3m 6 .等比数列的判定法/ a(1)定乂法：q (常数)an为等比数列；an2 中项法：an 1 an an 2 (an 0)an为等比数列；(3)通项公式法：an k qn (k, q为常数)an为等比数列；(4)前n项和y

14、t： Sn k(1 qn) (k,q为常数)an为等比数列。Sn k kqn (k,q为常数)an为等比数列。t § (n 1)7 .利用an求通项.& S 1 (n 2)1例：1.数列an的刖n项和为Sn,且a1=1,an1- Sn,n=1, 2, 3,求a2,用a4的值及数列3an的通项公式、/*2.已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1Snn 5(n N ),证明数列a。1是等比数列.66百度文库-让每个人平等地提升自我求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26求an；2

15、.已知数列an满足a12,an an 11(n 1),求数列an的通项公式;3 . 数列 an 满足 a1=8, a42,且 an 2 2an 1 an 0n N ),求数列an的通项公式;114 .已知数列an满足a1 2, 2,求数列 an的通项公式;an 1a n115 .设数列an满足a1 0且 1,求an的通项公式1 a n 11 an6 .已知数列an满足a12, an 3an 1(n 1),求数列an的通项公式;7 .已知数列an满足a12, a24且an 2 an an 1n N),求数列an的通项公式;n 18 .已知数列an满足a1 2,且an1 52(an9 .已知数列a

16、n满足a12,且an1 5 2n 1 2项公式；5n) (n N),求数列an的通项公式；3(an 5 2n 2) ( n N ),求数列 an 的通(2)累加法1、累加法 适用于：an 1 an f(n)a2 3f (1)右 an1 anf (n) (n 2),则a3 a2f Hl gan 1 an f (n)77百度文库-让每个人平等地提升自我n两边分别相加得 an 1 aif(n)k 11例：1.已知数列an满足a1,21一2,求数列an的通项公式。4n 12.已知数列an满足an1an 2n 1, a11,求数列an的通项公式。3 .已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a13

17、 ,求数列an的通项公式。4 .设数列an满足a12n 1-.-2, an 1 an 3 2,求数列an的通项公式(3)累乘法适用于：an 1 f(n)an若如1 f(n),则型 f(1),也 f(2)，ma_1 f(n)anaa21 an例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5n an, a1 3,求数列an的通项公式。2n 小2 .已知数列 an满足a1- , an 1an,求an。3n 13 .已知 a13, an 13n 1an (n 1),求 an。3n 2(4)待定系数法适用于 an 1 qan f(n)解题基本步骤:1、确定f(n)2、设等比数列 an1f (n),公比为3

18、、列出关系式an 11 f (n 1)2an2 f (n)88百度文库-让每个人平等地提升自我4、比较系数求1,25、解得数列an1f (n)的通项公式6、解得数列an的通项公式例：1.已知数列an中，a_1a2an1 1(n 2),求数列an的通项公式。2 .在数列 an中，若a1 1,烝1 2街 3(n 1),则该数列的通项 an 3 .已知数列an满足an12an35n,a16 ,求数列a。的通项公式。/ 解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)一,51,1、n14 .已知数列an 中，a1 一，an1 -an(-),求 an632n 15.已知数列an满足an12an4 3

19、 ,a11,求数列an的通项公式。(5)递推公式中既有 Sn又有an. 一.S1,n 1把已知关系通过an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。Sn Sn 1，n 211 .数歹Uan的刖 n 项和为 4,且a1=1,an1- Sn, n=1, 2, 3, ,求a2,a3,a4的值及数列an3的通项公式.12 .已知数列 an 中，a1 3,刖 n和 Sn -(n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数列 an的通项公式/13.已知数列an的各项均为正数人 且前n项和Sn满足Sn (an 1)(小2),且a2,a4,a9成等比数列，6求数列an的通项公式。/(

20、6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项/2a例：1.已知数列an满足an 1 ,酬1 '求数列an的通项公式。an 299百度文库-让每个人平等地提升自我数列求和1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。Snn(aan)2na1 S)d2Snna(q 1)a1(1 qn) 二 八 公比含字母时一定要讨论一 (q 1)1 q例：1。已知等差数列an满足a11, a22.已知等比数列an满足a11, a23 ,求前n项和Sn3 ,求前n项和Sn3.设 f(n) 2 24III23n10一.(n N),则f(n)等于(a 2 nA. (81) B.72 n 17(81) C.7(8n3 1)2 n 4D. (81)72.错位相减法求和：如:an等差，bn等比，求a1bla2b2anbn的和.2