三角形角度证明与计算教案

1、三角形中角度的证明与计算教案教材分析：本节复习课是在学生学习了三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的全 等等知识后，对所学知识进行系统的整理、归纳、提升。本节课选择三角形中的角度证明与计算作为小专题进行复习，虽然仅是三角形问题的一个侧面，但整个教学设计是以数学思想方法为主线来安排的。数学思想与方法是数学的灵魂，学生一旦拥有它，将长期受益。所以专题虽小，却可以由小及大。同时选择一个侧面来组织教学，不仅使课堂更紧凑， 也有利于现阶段学生的思维发展。我们学过的四边形、平行四边形、多边形，都可以转化为三角形的边、角、线问题，华 师大教材九年级上册中的三角形的相似、解直角三角形等内容，仍然是

2、三角形中的边、角、线问题。有关圆的问题，也仅仅是以圆为载体，最终转化为三角形、四边形问题。因此边、 角、线是整个初中几何体系中的关键因素，角又是由边与线构成的，三者是融合在一起的，所以角度问题虽是一个侧面，却是一个综合问题。可以由点及面。掌握基本的角度证明与计 算，有利于学生顺利进行后续的学习。教学重点：1 1、 三角形知识框架的构建。2 2、 类比、归纳、转化的数学思想和方法。教学难点：1 1、 归纳求证角度相等的主要方法。2 2、 根据角的位置不同选择角度的不同转化方式。教学目标：1 1、 熟练掌握三角形中证明角度相等的主要方法2 2、 熟练掌握三角形中求角度的主要方法3 3、 通过操作、

3、讨论、合作等解决问题的数学活动，探索灵活应用各种数学思想方法的技巧、 培养学生探索、归纳、转化的数学思想。教学流程1 自主预习，交流提升(1 1 )引导学生构建三角形知识框架教师展示如下框图此示意图展示了三角形由一般到特殊的演变过程，每一次进化都有新的“基因产生，在这一演变过程中， 可以让学生试着从边、角、线角度写出每一进化阶段的所有特征。可采取学生互相口述、补充、合作交流，然后学生口答，师生共同完善。对等腰三角形可以加入 底边上的高，直角三角形可添加斜边上的高以及中线后让学生继续添加结论。同时让学生整理两个三角形的特殊关系一一全等的判定及性质。复习课不同于新授课，教师应把复习的步子迈大一点。

4、把问题的范围提的大一些，留给学生一个比较广阔的探究空间，充分发挥自己的聪明才智。（这一图表改变了对三角形进行分类的传统做法，更清晰、形象的反映了一般三角形与特殊三角形的关系一一每一次进化都保留了原有图形的一切性质，同时又有新的特殊性质产生）（2 2）引导学生整理有关角的概念因为涉及角的概念比较多， 可以在个人整理的基础上安排小组合作整理，充分调动每位学生的主动性与积极性， 发挥集体的智慧。学生列举角的概念并不困难，经过互相补充可以列举出内角、外角、对顶角、底角、同位角、内错角、同旁内角、全等三角形的对应角、余 角、补角、直角、周角、平角等概念。教师要引导学生对这些不同的角进行分类：一类是根 据

5、位置或位置关系命名的，比如内角、同位角等。另一类是根据数量关系命名的，比如余角、周角等。准确说出这些角的概念及其含义，有助于学生顺利利用这些角进行转化。本过程要求学生将学过的旧知不断提取而再现，这是学生独立联想的有利时机，应尽 最大可能让他们独立完成。回忆既是提取旧知的过程，同时也是进一步强化记忆的过程，还是互相启发获得联想结果的过程。如果学生的回忆整理不完整，这时可让其他学生或由教师补充。在这一环节中要让学生自主的选择一定的角度梳理知识的内在联系，教师加以指导。 梳理，就是将旧知识点按一定标准分类、汇总、联系。梳理要完成两项任务：一是将知识点 联接起来（求同），二是把各知识点分化开来 （求异

6、）。梳理过程，实质上是将知识条理化、 系统化的思考过程，其间应用的思考方法主要是“分类”，即根据一定的标准将知识分化。2、精讲点拨，归纳总结。此阶段学生先独立完成典型例题，然后分组交流体验和收获，最后师生共同剖析典型例题，真正弄懂、弄通典型例题。通过对精选典型例题体验和剖析，能进一步巩固复习内容， 提高学生分析问题、 解决问题的能力。 为此设计如下两组题目， 分别是角度的证明与角度的 计算。第一组： 1 1 如图，ABC中，AB=ACAB=AC，两底角平分线 BDBD、CECE 相交于点 0 0。（1 1）/ 0BC0BC 与/ 0CB0CB 相等吗？（2 2） 若把“两底角平分线”改为“两条

7、腰上的高” ，其他条件不变，问/ 0BC0BC 与/ 0CB0CB 还相 等吗？请说明你的理由；（3 3） 若把“两底角平分线”改为“两条腰上的中线”， 其他条件不变， 问/ 0BC0BC 与/ 0CB0CB 还 相等吗？请说明你的理由(3(3)图(4) 若把“两底角平分线”改为“两条腰的垂直平分线”，其他条件不变，问/OBCOBC 与/ OCBOCB 还相等吗？请说明你的理由；若把“ AB=ACAB=AC ”去掉呢？第二组2 2、如图，ABC中，AB=ACAB=AC，两底角平分线 BDBD、CECE 相交于点 O O,/ A=50oA=50o , ,求/ BOCBOC 的 度数。若把条件“A

8、B=ACAB=AC ”去掉，其他条件不变，/ BOCBOC 的度数还能求出吗？请说明理由。(1(1)如图，把“两底角平分线”改为“两条腰上的高线”，其他条件不变。试问上述题目还能解决吗?(2(2)图(1(1)图(2(2)如图，把“两底角平分线”改为“两边 ABAB、ACAC 的垂直平分线”，其他条件不变。试问上述题目还能解决吗?AAO两组题目均从等腰三角形过渡到一般三角形，体现由特殊到一般的设计理念，培养学生从特殊到一般的归纳能力和探究问题的能力。同时穿插“线”的各种变化，通过这种“线” 的不断变化，引导学生体会类比、转化、整体代入的数学思想与方法。上述题组选择时遵循了以下原则：1题目类型要有

9、代表性， 题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容， 具有一定的综合性。 要让学生归纳出此类题目的主要解决方式。比如第一组题目，每一种变形都代表一种证明角度相等的方法。但重要的是如何对这几种方法进行选择，由归纳到应用，即让学生学会什么情况下使用什么方法才是最重要的。2要选择能体现“通性通法”，即包含最基本的数学思想方法的题目，不要追求偏、怪、难，最好是“一题多解，一题多变”式的训练。第一组题目的几种变形，恰好可以让学生归纳出求证两角度相等的主要方法：1 1、利用全等 2 2、利用等量代换 3 3、利用互余或互补 4 4、利用等边对等角。以后还会继续丰富求证角度相等的方法，比如利用相似或者利用与圆有

10、关的角等。对于第二组题目，学生可以通过题目中角度求法的多样性，深刻体会求角度时转化的数学思想，同时归纳出角度转化的几种主要途径 作为外角转化、作为内角转化、作为对顶角转化、作为周角或平角的一部分进行转化、作为同位角转化等。3题目的编排要按逻辑顺序排列， 以便学生由浅入深地学习。 本节课两组题目中最后一种变 形均与中垂线有关，需要添加辅助线，利用整体代换的方法， 这对学生来说是有一定难度的。 所以按照这一原则编排在最后。4题目设计不要贪多，别指望一节课解决所有的问题。其次，要考虑本班的学情，所选的题目应有不同的层次与梯度。使基础好的学生能解高档题，基础差的学生能解低档题，争取中档题，使知识发生发

11、展的规律与学生的认识规律有机结合起来，使教学目标指向每个学生的“最近发展区”。此环节具体操作时应先由学生独立完成例题的求解，再由师生共同交流总结，交流时要注意分析过程要强化，“轻结果，重过程”。注意引导学生如何“审题”，思考题目特点， 掌握解题思路，重视过程分析。在交流时还要注意解题规律的总结，例题解答之后，要引导 学生交流反思解题过程，总结解题经验。3、有效训练，课堂总结。课内练习的设计要与复习课的内容密切相关，紧扣教学主题，以使学生进行相关迁移和 巩固，将本节课所学知识与方法进行内化。因此我设计了两道题目，题目一涉及到角度的证明，学生可以从所学的方法中选择一种进行解决。题目二涉及角度的求法

12、，考察学生整体代换以及转化的数学思想方法。题目如下： 练习一：如图所示，在 ABCABC 中，/ BAC=90BAC=90 , ADAD 丄 BCBC 于 D,D,/ ACBACB 的平分线交 ADAD 于 E E, ? ?交 ABAB 于 F F, 请猜测/ AEAEF F与/ AFEAFE 之间有怎样的数量关系，并说明理由.D练习二:（1 1）在厶 ABCABC 中，AB=ACAB=AC / BAC=1O0BAC=1O0 , MEME 和 NFNF 分别垂直平分 ABAB 和 AC,AC,求/ MAN?MAN?勺度数.（2 2 ）在（1 1）中，若无 AB=ACAB=AC 的条件，你还能求

13、出/ MANMAN 的度数吗？若能，请求出；？若不能,请说明理由.本环节是对复习的数学知识和思想方法的运用，是培养学生解题能力的又一次升华。期间要求学生迅速完成巩固练习，然后对学习和练习结果进行评价、反馈，对其中暴露的缺陷和不足应及时矫正、补偿，同时规范解题过程。专题训练结束后要及时进行课堂总结，课堂总结是整节课系统的概括，是全部教学活动的落足点和归宿。应该包括：（1 1 ）站在整个中学数学体系的高度，完整地归纳概括复习内 容。（2 2）概括总结数学思想方法，说明适应范围和应注意的问题。（3 3）对复习过程中暴露出的问题，要进行强调，同时选配一些有针对性的课外练习等。4.课后延伸课后作业安排如下两题：第一题目的是让学生继续巩固本节所学。第二题与本节课所学内容并不吻合，作为探究性作业，可以让学生继续总结求角度的另一重要方法一一方程法。第一题：如图，在 ABCABC 中，/ ABCABC 的角平分线 BEBE 和 /ACDACD 的角平分线 CECE