第二章 第二讲 无穷小与极限的运算

1、一、一、 无穷小的概念与性质无穷小的概念与性质第二讲无穷小与极限的运算三、极限的运算三、极限的运算二、无穷大二、无穷大四、极限的性质四、极限的性质一、一、 无穷小的概念与性质无穷小的概念与性质定义定义1 若若0 xx 时时 , ,0)(xf则称函数则称函数)(xf0 xx 例如：例如：,0)1(lim)1(1 xx函数函数 x1是是 的无穷小的无穷小;时时1x,01lim)2( xx函数函数 x1时时当当 x是是 的无穷小的无穷小;) x(或为为时的时的无穷小无穷小 .) x或或(1. 无穷小的概念无穷小的概念时时 , ,0)(xf时的时的无穷小无穷小 .,011lim)3( xx，nx称为称

2、为当当时时 n的的无穷小无穷小 .(4) 以零为极限的数列以零为极限的数列nn32,1都是都是 n时的无穷小时的无穷小 .函数函数 x 11时时当当x的无穷小的无穷小.是是时时, 有有 ,min21 2. 无穷小的性质无穷小的性质定理定理1 证证 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设设,0lim0 xx,0lim0 xx,0 ,01 当当100 xx时时 , 有有2 ,02 当当200 xx时时 , 有有2 取取则当则当 00 xx 22 因此因此.0)(lim0 xx这说明当这说明当0 xx 时时, 为无穷小为无穷小 .注注 1 上述结论对于自变量的任一极限过程上述结论对于自变量的任

3、一极限过程 (如：如：x )均成立；均成立；例如，例如，3 无穷多个无穷多个无穷小之和无穷小之和不一定不一定是无穷小是无穷小 !222121lim()2nnnnn2 任意任意有限个有限个无穷小之和一定是无穷小；无穷小之和一定是无穷小；定理定理2 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 . 证证 设设),(10时时当当 xUx Mxu )(又设又设,0lim0 xx即即,0 ,02 当当),(20 xUx 时时, 有有M 取取 ,min21 则当则当就有就有 u u MM故故,0lim0 uxx即即 u是是0 xx 时的无穷小时的无穷小 .时时),(0 xUx 无穷小与

4、常数的乘积是无穷小无穷小与常数的乘积是无穷小 .推论推论 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小 .推论推论3 无穷小除以具有非零极限的函数无穷小除以具有非零极限的函数 所得的商仍为无穷小所得的商仍为无穷小 . 解解利用利用性质性质2, 可知可知例例1推论推论 1.sinlimxxx 求求,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 其中其中 为为0 xx 时的无穷小时的无穷小 . 3. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系Axfxx )(lim0 Axf)(, 证证Axfxx )(lim0,0,0

5、 当当 00 xx时时, ,有有 Axf)(Axf )( 0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证 .定理定理 3定义定义2 2 在某一变化过程中，函数的绝对值无限增在某一变化过程中，函数的绝对值无限增大的变量称为大的变量称为无穷大无穷大. .0大大函数值的绝对值无限增函数值的绝对值无限增时时当当x.0111)(时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxxxxfxoy1.)(lim0 xfx记作：记作：二、二、 无穷大无穷大1. 无穷大的概念无穷大的概念铅直渐近线铅直渐近线例例2 2xxysin 证证明明是无界函数是无界函数,但但 不是不是无穷大无穷

6、大.因为取因为取,22时时 nxn)22(sin)22( nn而取而取时时 nxn2 )( n当当所以所以,时时 xf (x)不是无穷大不是无穷大! !y=xsinx在在(，)内无界内无界，但不是但不是无穷大无穷大.,时时当当 x22 n)2(sin)2( nn0,0 证证所以所以y=xsinx在在(，)内内无界无界.)( n当当在在(，)内内3. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若若)(xf为无穷大为无穷大,)(1xf为无穷小为无穷小 ;若若)(xf为无穷小为无穷小, 且且,0)( xf则则)(1xf为无穷大为无穷大.则则据此定理据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问

7、题都可转化为 定理定理3 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,注注无穷小来讨论无穷小来讨论.为无穷小，为无穷小，时，时，例如当例如当1)(1 xxfx为无穷大为无穷大11)(1 xxf则设 ,)(lim ,)(lim BxgAxf.)(lim)(lim )()(lim . 1BAxgxfxgxf3. lim( ) ( ) lim( ) lim ( ).f x g xf xg xAB),( 为为常常数数c2. lim( )lim( )cf xcf xcA( )lim( )4. lim( ) lim ( )f xf xAg xg xB)0( B三、极限的四则运算法则三、极限的四则运算

8、法则例例5 求求).23(lim21 xxx解解)23(lim21 xxx2lim3limlim1121 xxxxx2lim3)lim(121 xxxx0231 例例6 求求.41lim23 xxx解解41lim23 xxx4lim1lim323 xxxx4319 .10 例例7 求求39lim23 xxx解解 39lim23 xxx3) 3)(3(lim3 xxxx) 3(lim3 xx. 633 例例8 求求.1332lim22 xxx解解 1332lim22 xxx221332limxxx )13(lim)32(lim22xxxx .32 例例9 求求.32423lim32 xxxxx解

9、解 )324(lim)213(lim3232xxxxxxx 32423lim32 xxxxx. 040 2323312lim234xxxxxx 例例10 求求32423lim.32xxxxx解解 32423lim32 xxxxx. 040 因为因为由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得 32423lim32xxxxx一般地，有结论一般地，有结论10111011( ) limlim( )kkkkkmmxxmmmPxb xb xbxbQxa xa xaxa , 0,00mkmkabmk其中，其中，k、m为非负整数，为非负整数， 都不为都不为0.00,ba 解解21lim(23) xxx

10、, 0 商的法则不能用商的法则不能用1lim(41) xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例1010.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx3113lim()11 xxx23113lim1 xxxx21(1)(2)lim(1)(1) xxxxxx21(2)lim1(1) xxxx性质性质1 （有极限函数的（有极限函数的局部局部保号保号性）性）若若,)(lim0Axfxx 因为因为,)(lim0Axfxx 存在存在, 0 ,)( Axf0)( xf0 x那么在点那么在点 的某一去心邻域内，有的某一去

11、心邻域内，有所以所以. 0)( Axf,0A 故对故对即即 AxfA)()0( A).0)( xf且且, 0 A证证 00 xx时时,有有使得当使得当 四、极限的性质四、极限的性质对收敛数列有如下保号性质对收敛数列有如下保号性质:若若 ，且，且 ，axnn lim0 a0 nx)0( a)0( nx则存在则存在, 0 N当当Nn 时，时，推论推论:0)( xf0 x若在点若在点 的某一去心邻域内，有的某一去心邻域内，有)0)( xf,)(lim0Axfxx 且且则则0 A).0( A有有证证,limbxnn 取取,2ab ,1N 当当 时时,有有1Nn 2abaxn ,2N 当当 时时,有有2Nn 2abbxn 取取 21,maxNNN 性质性质2若函数或数列的极限存在，则极限值唯一若函数或数列的极限存在，则极限值唯一。,limaxnn 设设ba 且且则由则由axnn lim知知由由axnn lim知知(极限唯一性极限唯一性)Nn 则当则当 时时,有有,2abaxn 2ab