九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结

1、人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结1 / 18二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：21二次函数的概念：一般地，形如yxbx c(a,b ,c是常数，a = 0)的函 数，叫做二次函数。这里需要强调：a 工 0最高次数为 2代数式一定是整式2.二次函数y=亦2Ex 弋的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是 2.a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.例题：例 1、已知函数 y=(m1)xm2 +1+5x 3 是二次函数，求 m 的值。练习、若函数 y=(m2+2m- 7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，贝

2、U m 的取值范围为_ 。二、二次函数的基本形式21.二次函数基本形式：yx的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结2 / 18a的符号开口方 向 顶点坐 标 对称 轴性质a 0向上（0，0）y轴x0时，y随x的增大而增大；x；0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.a 0时，y随x的增大而减小；xc0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0.2.y =ax2c的性质:上加下减。a的符号开口方 向 顶点坐 标 对称 轴性质a =0向上（0，c）y轴x0时，y随x的增大而增大；xc0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值

3、c.a 0时，y随x的增大而减小；xc0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c.3.y二a x -h2的性质:左加右减。人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结3 / 18a的符号开口方 向 顶点坐 标 对称 轴性质aA0向上（h，0）X=hxh时，y随x的增大而增大；xch时，人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结4 / 18y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0.a c0向下(h, 0)X=hxh时，y随x的增大而减小；xch时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0.4.y =a x -h亠k的性质:a的符号开口方 向 顶点坐 标 对称 轴性质a丸向

4、上(h, k)X=hxh时，y随x的增大而增大；xch时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.a c0向下(h, k)X=hxh时，y随x的增大而减小；xch时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式 y=a（x -h）2+k,贝愎值为 k;如果解析式为一般式4ac_b2y=ax2+bx+c 贝 U 最值为一石 ）1 .抛物线 y=2x2+4x+mim 经过坐标原点，则 m 的值为_ 。2 .抛物 y=x2+bx+c 线的顶点坐标为（1, 3）,则 b=_, c=_.3 .抛物线 y=x2+ 3x 的顶点在（）A.第一象限B.

5、第二象限 C.第三象限D.第四象限4.若抛物线 y= ax2 6x 经过点（2 , 0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）A.13B.10C.15D.14人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结5 / 185 .若直线 y= ax + b 不经过二、四象限，则抛物线 y = ax2+ bx + c()A.开口向上，对称轴是 y 轴 B. 开口向下，对称轴是 y 轴C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴6._ 已知二次函数y=mX+(m 1)x+m 1 有最小值为 0，贝 U m=_ 0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或向下向右(h0)【

6、或左(*0)平移|k|个单位向右(h0)【或左(hb 4ac b-，-(2a 4a丿当舟时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时,2ay有最大值4ac -b24a2ay随x的增大而增大；当人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结8 / 1812试说明函数 尸。(x 3)2的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)。3.二次函数 y=a(x h)2的图象如图：已知 a =1,OA OC试求该抛物线的解 析式。二次函数的增减性1. 二次函数 y=3x2 6x+5，当 x1 时，y 随 x 的增大而_ ;当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x 1 时，

7、y 随 x 的增大而增大，则 m 的取 值范围是一1254.已知二次函数 y 二一 2 x +3x+2 的图象上有三点A(X1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3X1X2X3，贝qy1,y2,y3的大小关系为 _._人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结9 / 18七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2bxy(a,b,c为常数，a =0);2. 顶点式：y=a(x_h)2k(a，h，k为常数，a严0)；3. 两根式：y =a(x _xi)(x _X2)(a = 0,Xi，x?是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式

8、，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac兰0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y=ax2bx，c中，a作为二次项系数，显然a=0. 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a：0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大， 开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，

9、当b 0时，0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b =0时，-0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b：0时，0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，-2a0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结10 / 18当b=0时，一2=0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b：:0时，一 0，即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定：对称轴xb在 y 轴左边则 ab 0，在 y 轴的右侧则2aab 0,b0,c0C.a0,b0,b0,c=0D.a0

10、,b0,c 0B. b -2aC. a-b+c 0D. c 04.当 bbc,且 a+ b+ c= 0,则它的图象可能 是图所示的（）a + b+c 四个代数式中，值为正数的有（）3.抛物线 y=ax2+bx+c 中,b = 4a,它的图象如图 3,有以下结论:c0；a+b+c 0a-b+c 0b2-4ac0abc 0;其中正确的为A.BC. D.6.二次函数 y= ax2+ bx+ c 的图象如图5 所示，那么 abc, b2 4ac,2a + b,人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结12 / 18c7.在同一坐标系中，函数yax2+c 与 y= - （a 0 时，y 随 x

11、的增大而增大，则二次函数 y = kx +2kx 的图象大致为图中的（）A.4 个 B.3 个 C.2个 D.1ABCD人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结13 / 18AB CD二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点， 选择适当的形式，才能使解题简便.一 般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.例题：函数解析

12、式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1.已知二次函数的图象经过 A （0，3）、B （1，3）、C （- 1,1）三点，求该二次函数的解析式。2 .已知抛物线过 A （1, 0）和 B （4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BO 5,求该二次函数的解析式或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点 y=a（x h）2+k 求解。3.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1， 6），且经过点（2， 8），求该二二、已知抛物线的顶点坐标,时，通常设解析式为顶点式人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结14 / 18次函数的解析式4

13、.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1, 3),且经过点 P (2, 0)点，求二次函数的解析式三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x xi)(x X2)o5.二次函数的图象经过 A ( 1, 0), B (3, 0),函数有最小值一 8,求该二次 函数的解析式。九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称y =ax2bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y - -ax2-bx-c;22y =a x -hk关于x轴对称后，得到的解析式是y = -ax-hk；人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结15 /

14、182. 关于y轴对称y =ax2- bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y =ax2bx c；22y=ax_h k关于y轴对称后，得到的解析式是y =a x h k；3. 关于原点对称y =ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是2 , 2y =a X h i亠k关于原点对称后，得到的解析式是y - -a X h k；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）2_ 2y =a x -h k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax-h k.5.关于点m, n对称2y=a（x-h）+k关于点 （m ,n）对称后， 得到的解析式是2y - -a x亠h -2m i亠2n - k根据

15、对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便 运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物 线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：y = _ax2亠bxc ；y二ax2bx c关于顶点对称后，得到的解析式是2y二-ax -bx c2a；人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结16 / 18一元二次方程ax2bx 0是二次函

16、数y =ax2 bx c当函数值y = 0时的特殊 情况图象与x轴的交点个数:当厶=b2_4ac . 0时，图象与x轴交于两点A Xi,0,B x?,0（洛：必）,其中的 人,X?是一元二次方程ax25x9=0 8=0的两根.这两点间的距离AB丸-Xi=厂4.a2当厶=0时，图象与x轴只有一个交点；3当.：0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y.0;2当 a：0 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y：0 .2. 抛物线y二ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）;3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x

17、轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式；根据图象的位置判断二次函数y=ax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结17 / 18A0抛物

18、线与x轴 有两个交点二次三项式的值可 正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实 根心=0抛物线与x轴 只有一个交点二次三项式的值为 非负一元二次方程有两个相等的实 数根人教版九上数学二次函数知识点复习总结和题型复习总结18 / 18A0抛物线与 x 轴 无交点二次三项式的值恒 为正一元二次方程无实数根.例题：二次函数与 x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1.如果二次函数 y = x2+ 4x+ c 图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c=（写一个即可）2.二次函数 y =X2-2X-3图象与 x 轴交点之间的距离为 _3.抛物线 y = 3x2+ 2x 1 的图象与

19、 x 轴交点的个数是（）A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4.如图所示，二次函数 y= x2 4x+ 3 的图象交 x 轴于AB两点，交 y 轴于A.6B.4C.3D.15 65已知抛物线 y= 5x2+ （m 1）x + m 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧，它们的距离49平方等于为 25，则 m 的值为（）A. 2B.12C.24D.486已知抛物线 y=X2-2X-8，（1） 求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2） 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,且它的顶点为卩，求厶 ABP 的 面积。点 C,则厶 ABC 勺面积为（）人教版九上数学二次函

20、数知识点复习总结和题型复习总结19 / 18卜一、函数的应用 二次函数应用何时获离最大利润最大面积是多少二次函数图像与性质口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶 点和交点，它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与丫轴来相见,b 的符号较特 别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，丫轴作为参考线，左同右异中为 0，牢 记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函 数最值见。若求对称轴位置，符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的 符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图 象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。例题：二次函数应用（一）经济策略性1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利 润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20 元的价格销售时，每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时， 每月能卖 210 件。 假定每月销售件数 y （件）是价格 X 的一次函数.（1）试求 y 与 x 的之间的关系式.（2）在商品不积压，且不考虑其