专项训练3巧用勾股定理判定直角的五种方法

1、（第2题）D专项训练3巧用勾股定理判定直角的五种方法方法指导:证垂直的方法：（1）在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线：（2）等腰三角形中 “三线合一” ：（3）勾股定理的逆定理.在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性 质来解各相关问题.方法1：利用三边的数量关系说明直角1 .如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=：BC.你能说明NAFE是直角吗？（第1题）方法2：利用转化为三角形法构造直角三角形2 .如图，在四边形 ABCD 中，NB = 90。，AB = 3, BC=4, CD=13, AD=12 ,求 S3彩ABCD方法3：利用倍长中线法构造直角三

2、角形3 .如图，在4ABC中，D为边BC的中点，AB=5, AD=6, AC=13,试说明：AB1AD.（第3题）方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形4 .如图，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M, N,使NMCN=45。，设AM=a, MN=x, BN=b,判断以x, a, b为边长的三角形的形状.父（第4题）M利用“三线合一”法构造直角三角形5 .如图，在aABC中，CA=CB, NACB = 90。，D为AB的中点，M, N分别为AC,BC上的点，且DMLDN.试说明：AB2=2(CM4-CN)2.(第5题)参考答案L解：设CE=a,则BC=4a, BE=3a,因为四边形ABCD

3、为正方形，且F为DC的 中点，所以 AB=AD = CD = BC=4a, DF=CF=2a.再由勾股定理得 AF2 = AD?+DF = (4a)2 +(2a)2=20a2 , EF2=CE2+CF2=a2+(2a)2=5a2> AE2=AB2+BE2=(4a)2+(3a)2=25a?,因为 AP+EP=20a2+5a25a2,所以AP+EP=AE2,由勾股定理的逆定理得NAFE=90。，即 ZAFE是直角.2 .解:连接AC.在MZXACB中，AB2+BC2=AC2,所以 AC = 5,所以 AC2+AD2 = 52+1213CD2.所以4ACD为直角三角形，且NCAD=90。.所以

4、 S 词边影 abcd=5 X 3 X 4+5 X 5 X 12 = 36.3 .解:如图，延长AD至点E,使ED=AD,连接CE, BE.因为D为BC的中点，所以CD=BD.又因为 AD=ED, ZADC=ZEDB>所以ADC0ZiEDB.所以EB=AC=13.在4ABE 中，AE=2AD=12,所以 AE2+AB2=122+52=169.又因为 EB2=132=169,所以 AE2+AB?=EBL所以4ABE是直角三角形，且NBAE=90。， 即 ABXAD.T(第3题)4 .解：因为AC = BC, NACB=90。,所以将aACM绕点C逆时针旋转90%可得ABCD, 连接ND,如

5、图所示.则NA=NCBD, CM=CD, BD=AM=a, ZMCD=90°.又因为NMCN=45。，所以NDCN=NMCN=45。.又因为 CN=CN,所以MCN乌ZkDCN,所以 DN = MN=x.又易知 NA=NCBA=45。，所以 NNBD=NCBA+NCBD=90。.所以4NBD为直角三角形，即以x, a, b为边长的三角形是直角三角形.5解：如图，连接CD,因为DMJ»DN,所以NMDC+NCDN=90。.因为NACB=90。，AC=BC, D 为 AB 的中点，所以 CD_LAB. ZACD= ZBCD=45% ZA= NB=45。.所以 NCDN+ NNDB=90。.所以 NMDC= NNDB ,因为 NBCD= NB=45。，所以CD=BD,在CMD和ABND中，因为NMDC=NNDB, CD = BD, NMCD= NNBD=4