北京理工大学数学专业高等代数Ⅱ期末试题(MTH17063)

1、课程编号：17063北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级数学类高等代数期末考试试题A卷班级 学号 姓名 成绩一、(25分)设Mnn(F)表示域F上的所有n阶矩阵构成的F上的线 性空间。取定A Mnn(F),对于任意的X Mnn(F),定义(X) AX XA O(1)证明：为Mnn(F)上的一个线性变换。 证明：对于任意的X,Y Mnn(F)都有(XY) (X)Y X (Y)。(3)当A a b时，求在给定基 c dF110 1尸12 1 0万21 1 1E21 1下的矩阵表示。11110 110(4)当A 1 4时，求Ker()的一组基与维数。0 2二、(15分)设数域K上3维

2、线性空间V的线性变换A在V的一个01 0基1, 2, 3下的矩阵为A 4 4 0 o求线性变换A的标准形。2 1 2三、(20分)设A是域F上n维线性空间V上的一个线性变换，证 明：(1)如果W是A的一维不变子空间，那么 W中任何一个非零向 量都是A的特征向量；反之，如果 是A的一个特征向量，那么 生 成的子空间是A的一维不变子空间。(2) A可以对角化的充分必要条件是V可以分解成A的一维不变子空间的直和。四、(20 分)设 V M2 2(F),在 V 中取一个基 Eii,Ei2,E21,E22。(1)求它的对偶基fn,fi2,f2i,f22 ,要求写出fij的表达式。(2)求V上任意一个线性

3、函数f的表达式。五、(20分)证明：n维酉空间V上的线性变换A是变换A当且仅当 在V的任意一个标准正交基下的矩阵是矩阵。课程编号：17063 北京理工大学2011-2012学年第一学期2010级数学类高等代数期末考试试题A卷班级 学号 姓名 成绩一、(15分)设Mnn(F)为数域F上所有n阶矩阵构成的F上的线性 空间。取定A Mnn(F),对于任意的X Mnn(F),定义(X) AX XA O (1)证明：为Mn n(F)上的一个线性变换。 证明：对于任意的X,Y Mnn(F)都有(XY) (X)Y X (Y)。(3)当A a b时，求在给定基c d14 1 1下的矩阵表示。(15分)设数域F

4、上4维线性空间V的线性变换A在V的一个基1, 2, 3, 4下的矩阵为A34045200300224 o求线性变换A的标准21三、(20分)设A是数域F上n维线性空间V上的一个线性变换，证明：A可以对角化当且仅当V可以分解成A的一维不变子空间的 直和 四、(20 分)设 V M33(?),在 V 中取一个基 Ej(i,j 1,2,3)。(1)求它的对偶基fj(i,j 1,2,3),要求写出fj的表达式。(2)求V上任意一个线性函数f的表达式。五、(15分)证明：n维欧几里得空间V上的线性变换A是斜对称 变换当且仅当A在V的任意一个标准正交基下的矩阵是斜对称矩 阵。六、(15分)设A是数域F上n

5、维线性空间V上的一个线性变换， 试写出你所知道的A可以对角化的充要条件。课程编号：17063北京理工大学2011-2012学年第一学期2010级数学类高等代数期末考试试题B卷班级 学号 姓名 成绩一、(15分)设Mnn(F)为数域F上所有n阶矩阵构成的F上的线性 空间。取定A Mnn(F),对于任意的X Mnn(F),定义(X) AX XA O (1)证明：为Mnn(F)上的一个线性变换。(2)证明：对于任意的X,Y Mnn(F)都有(XY) (X)Y X (Y)。(3)当A a b时，求在给定基c d01101111, 211, 3014 1 0下的矩阵表示。二、(15分)设数域F上4维线性

6、空间V的线性变换A在V的一个3100基1, 2, 3, 4下的矩阵为A 11 00 ,求线性变换A的标准形。30 534131三、(20分)设A是数域F上n维线性空间V上的一个线性变换，证明：A可以对角化当且仅当A的最小多项式m()在F中能分解 成不同的一次因式乘积。四、(20 分)设 V M22(?),在 V 中取一个基 Ej(i,j 1,2)。(1)求它的对偶基fj(i,j 1,2),要求写出fj的表达式。(2)求V上任意一个线性函数f的表达式。五、(15分)证明：n维欧几里得空间V上的线性变换A是对称变 换当且仅当A在V的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。六、(15分)设A是数域F上

7、n维线性空间V上的一个线性变换， 试写出你所知道的A可以对角化的充要条件。课程编号：17063 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级数学类高等代数期末考试试题A卷班级 学号 姓名 成绩一、(25分)设Mnn(F)为数域F上所有n阶矩阵构成的F上线性空 间。取定可逆矩阵A Mnn(F),对于任意的X Mnn(F),定义(X) AXA o(1)证明：为Mnn(F)上的一个线性变换，而且是一个同构映射。 证明：对于任意的X,Y Mnn(F)都有(XY) (X) (Y)当n 2,取定A 0 0时，求在给定基1 10 11410下的矩阵表示。二、(20 分)设 V M22(?),在 V

8、中取一个基 Ej(i,j 1,2)(1)求它的对偶基fj(i,j 1,2),要求写出fj的表达式(2)求V上任意一个线性函数f的表达式。三、(20分)设f是实数域？上的3维线性空间V的一个双线性函数，1 t 1且f在V的基1, 2, 3下的度量矩阵为A t 1 s1 2 5(1)问s,t取何值时，f是内积？ ( 2)当f是内积时，求V的一个 标准正交基。四、(15分)设U是欧几里得空间V的一个子空间，P表示U在V上 的正交投影，试证明：P是对称变换。五、(20分)已知矩阵A M5 5(£M最小多项式为mA( ) (x 3)2(x 2)。(1)求矩阵A的全部互不相同的特征值。(2)矩阵

9、A的标准形是否唯一确定？如果唯一，请说明原因。如果不唯一，请写出其所 有可能的标准形。课程编号：17063 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级数学类高等代数期末考试试题B卷班级 学号 姓名 成绩一、(25分)设Mnn(F)为数域F上所有n阶矩阵构成的F上线性空间。取定可逆矩阵A Mnn(F),对于任意的X Mnn(F),定义1(X) AXA 1。(1)证明： 为Mnn(F)上的一个线性变换，而且是一个同构映射。(2)证明：对于任意的X,Y Mnn(F)都有(XY) (X) (Y)。（3）特别地，当n 2A 101时，求在给定基1 1 0 , 2 0 1 , 3 0 0,4 0

10、 0下的矩阵表示。 0 00 01 00 1二、（20分）设f是实数域？上的3维线性空间V的一个双线性函数，1 t 1且f在V的基1, 2, 3下的度量矩阵为A t 4 s1 0 2（1）问s,t取何值时，f是内积？ （ 2）当f是内积时，求V的一个 标准正交基。三、（15分）设A是数域F上n维线性空间V上的一个线性变换， 证明：A可以对角化当且仅当V可以分解成A的一维不变子空间的 直和。四、（20分）对于任意的矩阵A Mnn（以，如果满足AH A,我们称A 是一个矩阵。（1）证明：矩阵A Mnn（£）是一个矩阵当且仅当其关 于主对角线对称位置的元素有如下特点，aj看。（2）证明：酉

11、空间V上的线性变换A是变换当且仅当A在V的任意一个标准正交基 下的矩阵是矩阵。五、（20分）已知矩阵A M3 3（£*q最小多项式为mA（ ） （x 6）（x 7）。（1）求矩阵A的全部互不相同的特征值。（2）矩阵A的标准形是 否唯一确定？如果唯一，请说明原因。如果不唯一，请写出其所 有可能的标准形。课程编号：17168北京理工大学2012-2013学年第二学期2012级数学类、物理类高等代数期末考试试题A卷班级 学号 姓名 成绩一、（12分）已知多项式f（x） x16 x15 LL x 1,证明：f（x）在有 理数域。上不可约。、（18分）在线性空间M2 2（?）上定义映射M22（

12、 ）M22（）（1）证明： 是M22（?）到其自身的一个同构映射。 证明：对任意的X,Y M2 2（?）,都有（XY） （X） （丫）。（3）求 在基E11,E12,E21, E22下的矩阵表7Ko三、（15分）设V是数域K上的线性空间，是V上的一个窑等线性变换（即2=）。证明：Ker Im V。340 0四、（16分）（1）已知矩阵A 4 -5 0 0求A的标准形Ja。0-23224-2-1（2）问以Ja为标准形的矩阵只有矩阵 A吗？如果不是，你能再构 造一个以Ja为标准形的矩阵吗？五、（15分）对于任意的矩阵A Mnn（£）,如果满足AH -A,我们称 A是一个反矩阵。证明：酉空

13、间 V上的线性变换 是反变换当且仅 当 在V的任意一个标准正交基下的矩阵是反矩阵。六、（24分）（1）证明：相似矩阵具有相同的最小多项式。（2）试举反例说明，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。(3)证明：具有相同的特征多项式和最小多项式的矩阵一定相似。(3)为错题，试举反例!课程编号：17168 北京理工大学2012-2013学年第二学期2012级数学类、物理类高等代数期末考试试题B卷班级 学号 姓名 成绩一、(12分)已知多项式f(x)x19 19x2 1,证明:f(x)在有理数域o15 / 15上不可约。、(18分)在线性空间M2 2(?)上定义映射M22（ ） M22（）1 0X a

14、X-X1 1(1)证明：是M2 2(?)上的一个线性变换。 证明：对任意的X,Y M22，都有(XY) (X)Y+X (Y)。(3)求 在基En,E12,E21,E22下的矩阵表示。三、(15分)在线性空间Mnn中，我们用M0n(?)表示迹为零的矩阵组成的集合。证明：Mnn( )= I； M：n()四、(16分)(1)已知矩阵A3-10011003 40 -15 3-3 -1求A的标准形JA。(2)问以Ja为标准形的矩阵只有矩阵A吗？如果不是，你能再构造一个以Ja为标准形的矩阵吗?五、(20分)对于任意的矩阵A Mnn(以，如果满足AH A,我们称A是一个矩阵。证明：酉空间V上的线性变换 是变

15、换当且仅当 在V的任意一个标准正交基下的矩阵是矩阵。六、(24分)(1)证明：相似矩阵具有相同的最小多项式。(2)试举反例说明，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。(3)证明：具有相同的特征多项式和最小多项式的矩阵一定相似。(3)为错题，试举反例！课程编号：17168 北京理工大学2013-2014学年第二学期2013级数学类高等代数期末考试试题A卷班级 学号 姓名 成绩2013级考试时使用的试卷一、填空题(每空3分，共计39分)(1)设K是数域，0 f(x) Kx, p(x)为Kx中不可约多项式，如 果存在复数c使得f(c) p(c) 0 ,那么p(x)与f(x)的关系 为。思考：如果没有本

16、题红色部分，结果如何？(2)已知多项式 f(x) x4 x3 3x2 4x 1,g(x) x3 x2 x 1 ,那么 (f (x), g(x)为。(3)在实数域？上的线性空间？中函数1,cosx,cos2x,cos3x生成的 子空间维数为。(4)设V与W分别是四元齐次线性方程组x1 2x2 3x3 4x4 0与x1 2x2 3x3 4羽的解空间，则V W的维数是。(5)已知数域K上的线性空间M33(K),令V A M3 3(K) AT A , 则V的维数是, 丫的一组基为 c(6)在实数域？上的线性空间？2中如下定义一个线性变换：22,(a,b) a b,a b,则在基0,1T,1,1T 的矩

17、阵是。(7)设三维线性空间V上的线性变换在基1, 2, 3下的矩阵为A aij3 3,则 在基 2, 3, 1下的矩阵为 o(8 )已知实数域？上线性空间？二、(16分)设 是数域K上n维线性空间V上的线性变换，证明： Iv当且仅当rank(IV) rank(IV2) n,这里Iv表示V上的恒等变换。三、(21分)设 是n维欧几里得空间V的一个线性变换且满足条 件中三个向量e 0,1,1, e2 1,0,1, e31,1,0,6$, f3与 即团备互为对偶基，则对于XX,x2,x3 ?3有 f3(X) 。(9)已知四阶方矩阵A的特征多项式为f( ) (3)2(6)2,其最小多项式为m( ) (

18、3)(6)2,则A的标准型为,特征值6的特征子空间维数为,rank (A 3I) o(10)设V是数域K上的二维线性空间，是V上的一个线性变换，在基1, 2下的矩阵为2 4 ,则的全部不变子空间3 9(),)(,(),(1)若 是 的一个特征值，证明： 0。(2)证明：V中存在一组标准正交基，使得2在此基下的矩阵为对角矩阵。(3)设 在V的某组标准正交基下的矩阵为 A,证明：将A看作复 数域£上的矩阵，其特征值必为零或者纯虚数。四、(18分)已知复数域£上的线性空间M22(£),令V A M22(£)Tr(A) 0,且 AH A(1)证明：V对于矩阵的加

19、法，以及实数与矩阵的数量乘法成为实数域？上的线性空间，弁且说明V中元素均具有如下形式a1a2ia3a2ia3a1，其中&e2e3?,i2(2)对于V中的任意两个矩阵& a2 ia3Aa2ia3&,Bbib2 bb2ib3bi如下定义双线性函数(A,B) a1bl a2b2证明：如上定义的双线性函数是V上的一个内积，从而V成为欧几里得空间；弁且求出V的一个标准正交基.(3)设U是一个酉矩阵，对任意的A V ,规定gu(A) UAU 1,证明: gu是V上的正交变换。五、(6分)设K是数域，A Mnn(K)且rank(A) 1时，求A I的最小 多项式。课程编号：17168

20、北京理工大学2013-2014学年第二学期2013级数学类高等代数期末考试试题B卷班级 学号 姓名 成绩题 号一二三四五总 分得 分签 名一、填空题(每空3分，共计39分)(1)设f(x), g(x)是有理数域。上的多项式，且f(x), g(x)在复数域 内无公共根，则f(x), g(x)在有理数域。上的最大公因式 为。(2)已知多项式 f(x) x3 2x2 6x 5, g(x) x3 3x 2 ,那么(f (x), g(x) 为。(3)在实数域？上的线性空间 ？x4中，多项式x2 2x 3在基 x3,x3 x,x2 1, x 1下的坐标是 o(4 )设V与W分别是三元齐次线性方程组x1 3

21、x2 5x3 0与x1 2x2 3x3的解空间，则V W的维数是 o(5)已知数域K上的线性空间M33(K),令VA M33(K)Tr(A) 0 ,则V的维数是 , 丫的一组基为 o(6)在实数域？上的线性空间？ 2中如下定义一个线性变换22,(a,b) 2a b,2b a,贝U在基 1,0T,1,1的矩阵(7)设三维线性空间V上的线性变换在基1, 2, 3下的矩阵为A 冉33, 则 在基 3, 1, 2下的矩阵为 。(8 )已知实数域？上线性空间？3中三个向量 e 1,0,2,e2 1,2,1,e 0,2,1, fi,f2,f3 与 O,e2,e3 互为对偶基,则对于 X 不., ?3有 f

22、2(X) 。(9)已知四阶方矩阵A的特征多项式为f( ) (5)2(2)2,其最小多项式为m( ) ( 5)2( 2),则A的标准型为 , 特征值5的特征子空间维数为,rank (A 2I) o(10)设V是数域K上的二维线性空间，为V上的一个线性变换，在基1, 2下的矩阵为二、(16分)设 是数域K上n维线性空间V上的线性变换，证明： 41V当且仅当rank( 2Iv) rank ( 2Iv) n,这里Iv表7KV上的恒 等变换。三、(21分)设 是n维欧几里得空间V的一个线性变换且满足条 件(),)(,(),V(1)若 是 的一个特征值，证明： 0。(2)证明：V中存在一 组标准正交基，使得 2在此基下的矩阵为对角矩阵。(3)设 在V 的某组标准正交基下的矩阵为 A,证明：将A看作复数域£上的矩 阵，其特征值必为零或者纯虚数。 4 ,则的全部不变子空间3 9四、（18分）已知实数域？上的线性空间M22（?）, M2 2（?）中所有形如b c的矩阵构成集合记为W,定义映射:W W ?1(A,B) det(A B) det(A) det(B) 2（1）证明： 是一个对称双线性函数；（2）求在基下的度量矩阵M ； （3）对于上述矩阵M ,求f（x） 0MX的最大值与最小值X X五、（6分）设K是