函数与方程教案

1、第四章：函数应用1：函数与方程教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们

2、先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：ax+b=0(a0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=.ax+bx+c=0(a0) 这是一个一元二次方程，在对一元二次方程求解时我们会先用判别式=b4ac来判断方程是否有实解。当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，xx;当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x=x;当0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=。x+4x+3x+2x+1=0 我们知道这是一个一元五次方程，对于这样一个高次方程大家会不

3、会求解？能不能知道这个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题？（写标题）1.1利用函数性质判定方程解的存在一、 例1：给出三个方程：x-2x-3=0； x-2x+1=0 ；x-2x+3=0分析：这三个都是简单的一元二次方程，我们可以通过判别式来判断方程是否有解，若有解，也能很容易的求出。解：0 x=3，x=-1；对应函数：f(x) = x-2x-3=0 x= x=1；对应函数：f(x) = x-2x+10 无实解；对应函数：f(x) = x-2x+3图像：提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系？总结： 一元二次方程的根就是对应函数图像与x轴交点的横

4、坐标。一元二次方程根的个数与对应函数图像与x轴交点的个数相等。对于函数图像与x轴的交点，我们来学习一个新的数学名词函数零点。二、 函数零点1 概念：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个 函数的零点。说明：零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。零点是一个实数，并不是一个点。函数的零点就是相应方程的根。函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。2 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零

5、点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？观察例1中第一个方程的对应图像：f(x) = x-2x-3从图像上看，我们知道函数f(x) = x-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间-2,0使零点-1在-2,0内，区间2,4使零点3在2,4内。且有f(-2)=50,f(0)=-30, f(-2)f(0)0; f(2)=-30, f(4)=50, f(2)f(4)0.可以发现f(-2)f(0)0，函数f(x) = x-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x-2x-3=

6、0的一个根；同样地，f(2)f(4)0，函数f(x) = x-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间a,b的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解。零点存在性定理是用来判断一个方程是否存在解的，因此，现在我们可以来判断上课开始的那个一元五次方程是否存在解了？ x+4x+3x+2x+1=0解：考虑f(x) = x+4x+3x+2x+1试探：当x=0时，f(

7、0)=10；当x=1时，f(1)=1+4+3+2+1=110；当x=-1时，f(-1)=-1-4+3-2+1=-30 f(0)f(-1)0则函数f(x) = x+4x+3x+2x+1在区间（-1,0）内至少有一个零点，即方程在（-1,0）内至少有一个实数解。三、 举例：例2：已知函数f(x) =3-x，问：方程f(x)=0在区间-1,0内有没有实数解？分析：问方程在区间内有没有实数解，意味着什么?即要判断相应函数在这个区间-1,0内有没有零点，由零点存在性定理，我们只需验证f(0)f(-1)是否小于0。解：f(-1)=3-（- 1）=-1=-0, f(0)= 3-（0）=10，f(0)f(-1

8、)0而函数f(x) =3-x的图像是连续曲线，f(x) 在区间-1,0内有零点，即方程f(x)=0在区间-1,0内有实数解。例3：判定方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。分析：转化判断函数f(x) =（x-2）（x-5）-1在区间（-，2）和(5, +) 内各有一个零点。解：考虑函数f(x) =（x-2）（x-5）-1，有f(2) =（2-2）（2-5）-1=-10，f(5) =（5-2）（5-5）-1=-10，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-，2）内存在一点a，使f(a)0；在(5, +)内存在一点b，使f(b)0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。四、 零点存在性定理说：“若f(a)f(b)0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a