将军饮马问题的11个模型及例题

1、将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点 A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P,使PA+PB勺值最小解：连接AB交直线l于点巳点P即为所求,PA+PB勺最小值即为线段 AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P,连接AP、BP,在AABP 中，AP +BP AB,即 AP +BP AP+BP.P为直线AB与直线l的交点时,PA+PBM小.2.已知：如图，定点 A和定点B在定直线l

2、的同侧1 要求：在直线l上找一点P,使得PA+PB最小（或 ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A,连接A B交l于P,点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA的中垂线,由中垂线的性质得：PA=PA ,要使PA+PBt小，则 需PA +PB值最小，从而车t化为模型 1.已知：如图，定点 A B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P,使I PA-PB |的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P,点P即为所求；理由：此时I PA-PB | =AB,在l上任取异于点P的一点P,连接AP、BP,由三角形的三边关系知| P A-P BI AB

3、,即 | P A-P B | | PA-PB |4.已知：如图，定点 A B分布在定直线l的两侧（A、B两AI点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P,使I PA-PB |的值最大解：作点B关于直线l的对称点B,连接B A并延长交于点巳点P即为所求;x=-6,点A的坐标为CD为乙BAO的中位线,理由：根据对称的性质知 l为线段BB的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB ,要使I PA-PBI最大，则需I PA-PB I值最大，从而转化为模型 3.典型例题1-1如图，直线y=+4与x轴、y轴分别交于点 A和点B,点C、D分 别为线段AB OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD1小时，

4、点P的坐标为,此时PC+PD勺最小值为 .【分析】符合基本模型2的特征，作点 D关于x轴的对称点D,连 接CD交x轴于点P,此时PC+PD直最小，由条件知 CD为 BAO的中位线，OP为 CDD的中位线，易求 OP长，从 而求出P点坐标；PC+PD勺最小值即CD长，可用勾股定理 （或两点之间的距离公式，实质相同）计算 .【解答】连接CD作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P,此时PC+PD直最小.令 y=-x+4中x=0,则y=4,一22，点B坐标（0, 4）;令y=x+4中y=0,贝片x+4=0,解得:（-6, 0）.二.点C、D分别为线段 AR OB的中点,.CD/ x 轴，且 C

5、D=2AO=3点D和点D关于x轴对称，。为DD的中点，D （0,-1）,OP为4CDD 的中位线，OP=1 CD=2 ,.点P的坐标为（-0）.在RtCDD中，CD = CD2 DD 2 = . 32 42 =5,即 PC+PD勺最/、值为 5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标；若题型变化，C、D不是AB和OB中点时，则先求直线 CD的解析 式，再求其与x轴的交点P的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A的坐标为（0, 1）,点B 的坐标为（9, -2）,点P在直线y=-x上运动，当|PA-PB|最 大时点P的坐标为, |PA-PB|的最大值是.【分析】符合基

6、本模型4的特征，作A关于直线y=-x对称点C, 连接BC,可得直线BC的方程；求得BC与直线y=-x的 交点P的坐标；此时|PA - PB|=|PC - PB|二BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值【解答】作A关于直线y=-x对称点C,易得C的坐标为（-1, 0）;连接BC,可得直线BC的方程为y=- 4x- -4，与直线55y= - x联立解得交点坐标 P为（4, - 4）;此时|PA【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4,需作一次对称点，连线得交点-PB|=|PC - PB|二BC取得最大值，最大值 BC=7（| 1）2（ 2）2 =手；变式训练1-1已知菱形OABC&平面

7、直角坐标系的位置如图所示，顶点 A （5, 0）, OB=4/另点P是对角线OB上的一个动点，D （0, 1）,当CP+DP!短 时，点P的坐标为（）i|& blid 占A. （0, 0）B . （1, 2）C. （i，M） D .忖，力变式训练1-2如图，菱形 ABCD43,对角线 AC和BD交于点 Q AC=2 BD=2/5,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB勺 最小值为.如图，已知直线y=x+1与yA、E两点，与x轴交十B、(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点拓展模型J1.铀交于点 A,与x轴交于点 D,抛物线 y=x+bx+c C两点，且B点坐标为

8、(1,0).M,使|AM-MC|的值最大，求出点 M的坐标.已知：如图，A为锐角/ MOW卜一定点；2.日M要求：在射线OM找一点 *AP+PQ的值最小.解：过点A作AQL ON于点Q AQ与OMf交于点P,此时，AP+PQt小；巳在射线ON上找一点Q使ap里由：AP+P&AQ当且仅当A、P、Q三点共线时,AP+PQX得最小值AQ根据垂线段最短，当AQL ON时,AQ最小.已知：如图，A为锐角/ MO的一定点;要求：在射线 OMk找一点P,在射线ONLh找一点Q使A,过点 A A AQL ONAP+PQ的值最小.于点Q A Q交OMT点P,此时AP+PQt小；理由：由轴对称的性质知 AP=A巳

9、 要使AP+PQt小,只需A P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角/ MONft 一定点；要求：在射线 OMh找一点P,在射线ON上找一点Q使 APQ的周长最小解：分别作A点关于直线 OM勺对称点Ai,关于ON的对称点A2,连接AiA2交。时点P,交ON点Q,点P和点Q即为所求，此时 APQW长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知 AP=AP, AQ=AQ APQ的周长 AP+PQ+AQ=A+PQ+AQ,当 Ai、P、。忿四点共线时，其值最小.4.已知：如图，A、B为锐角/ MONft两个定点;要求：在 OMk找一点 巳在ONLh找一点Q,使四边形A

10、PQB勺周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A ,作点B关于直ON的对称点B,连接A B交。爪P,交ON于Q则点P、点Q即为所求，此时四边形 APQ明长的AJ理由：AB长为定值，由基本模型将0最小值即为线段 AB和A BQB转化为QB ,当A、P、的长度之和;PA转化为PA ,将Q B四点共线时,PA+PQ+ QB的值最小，即 PA+PQ+ QB勺值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线mil n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在mr n之间求作垂线段 PQ使得AP+PQ+BQM、.分析：PQ为定值，只需AP+BQM小，可通过平移，使P、Q “接头”，转化为基本模

11、型解：如图，将点 A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A,使得 AA =PQ连接A B交直线n于点Q,过点Q作PQL n,交直线m于点P,线段PQ即为所求，此时AP+PQ+B最小.理由：易知四边形 QPAA为平行四边形，则 QA =PA当B、Q A三点共线时， QA +BQ最小，即AP+BQt小，PQ长为定值，此时 AP+PQ+B最小.6.已知：如图，定点 A、B分布于直线l两侧，长度为a（a 为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得 AP+PQ+Q鼠小分析：PQ为定值，只需 AP+QB勺值最小，可通过平移,使P、Q “接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的

12、方向，向右移至 A,使AA =PQ=a,连接A B交直线l于点Q在l上截取PQ=a （P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB最小值为 A B+PQ 即 A B+a理由：易知四边形 APQA为平行四边形，则 PA=QA ,当A、Q B三点共线时，QA +QB最小，即PA+QB最小，又PQK为定彳1此时PA+PQ+QB!最小.7.已知：如图，定点 A、B分布于直线l的同侧，长度a （a为定值）的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得 四边形APQ洞长最小分析：AB长度确定，只需 AP+PQ+Q最小，通过作 A点解：作A点关于l的对称点A ,将点A沿着平行于关于l

13、的对称点，转化为上述模型 3的方向，向右移至A,使A A =PQ=a连接交l于Q,在l上截取 QP=a （P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形 APQBO长的最小值为A B+AB+PQ 即 A B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形 ABCN, AB=10, BC=5若点M N分别是线段 AC AB上的两个动点，则 BM+MINJ最小值为.【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E,再过 点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN勺最小值，借助等面积法和相似可求其长度 .【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作ENL AB于N,贝U BM+MN=EM+MN其最小值即 E

14、N0）的图象与边长是 6的正方形OABC的两边AB, BC分别相交于M, N两点. OMN勺面积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（A D/8V Cc第9版A. 6亚B. 1012.如图， ABC中，AC=BC=2 AB=1,第IQ版第1赠C 2D 2/29将它沿AB翻折得到 ABD则四边形ADBC厂的形状是形，P、E、的最小值是.13.如图，已知抛物线 y=i-x：连接AG BC,已知A (0,(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l上找一 大值；1 *F分别为线段 AR AD DB上的任意点，则 PE+PF ;4 V 押V 力+bx+c与直线y=x+3交于A, B两点

15、，交x轴于C D两点， 3), C ( - 3, 0).1/点M,使|MB-MD的值最大，并求出这个最,/A(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 于点Q,问：是否存在点 巳使彳导以A 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 明理由.PA过点P作PQL PA交y轴P, Q为顶点的三角形与 ABCP的坐标；若小存在，请说14 .如图，在四边形 ABCD, / B=/C=90 , ABC口 AD=AB+CD(1)用尺规作/ ADC勺平分线DE,交BC于点E,连接AE (保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，证明：AE DE，若CD=2 AB=4,点 M N分别是 AE, AB上的动点，求

16、 BM+MN1最小值.15 .如图，抛物线 y=ax2+bx+c (aw 0)经过点 A(-1, 0), B (3, 0), C (0, 3)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点 M的坐标；(2)连接AG BC, N为抛物线上的点且在第四象限，当&nbc=Saabc时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点 C作直线l /x轴，动点P (m, 3)在直线l上，动点Q (日0)在x轴上，连接 PM PQ NQ当m为何值时，PM+PQ+QN和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值.16 .如图，直线 y=5x+5交x轴于点 A,交y轴于点C,过A, C两点的二次函数 y=ax2+4x+c

17、的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC,点N是线段BC上的动点，作 NDLx轴交二次函数的图象于点 D,求线段ND 长度的最大值；(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点 M (4, m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F, E,使四边形HEFM勺周长最小，求出点 F, E的坐标.17 .如图1,已知抛物线 y (x-2) (x+a) (a0)与x轴从左至右交于 A, B两点，与y a轴交于点C.(1)若抛物线过点T (1,-旦)，求抛物线的解析式；4(2)在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使彳#以A、曰D三点为顶点的三角形与ABC相似

18、？若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由.(3)如图2,在(1)的条件下，点 P的坐标为(-1, 1),点Q (6, t)是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有 ML N两点，且MN=2问MN& x轴上移动到何处时， 四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标.图11*12备用固18 .如图，对称轴为直线 x=2的抛物线经过 A(- 1, 0), C (0, 5)两点，与x轴另一交点 为B.已知M (0, 1), E (a, 0), F(a+1, 0), P是第一象限内抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当a=1时，求四边形 MEFP勺面积的最大值，并求此时点P的坐标

19、；(3)若 PC娓以点P为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PMEF周长最小？请说 明理由.P119 .探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点角形利用图1得到结论：(X1 , y1 ) ,P2 ( X2 , y2 ),可通过构造直角BP2斗(工厂空产十。2寸1产他还利用图2证明了线段P1P2的中点P (x, y) P的坐标公式：x=忤II图2图3(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;运用：(2)已知点M (2, -1), N(- 3, 5),则线段MN度为;直接写出以点 A (2, 2), B(-2, 0), C (3, -1), D为顶点的平行四边形顶点 D的坐标：;拓展：(3)如图3,点P (2, n)在函数y=*x (x0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平3分线上，请在 OL、x轴上分别找出点 E、F,使 PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.20 .如图，直线y=kx+b (k、b为常数)分别与 x轴、y轴交于点A (-4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- x2+2x+1与y轴交于点 C.(1)求直线y=kx+b的函数解析式；(2)若点P (x, y)是抛物线y