山西省晋中市2016届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

1、2015-2016学年山西省晋中市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题包括10个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN，则P的子集共有（）A2个B4个C6个D8个2等差数列an中，a5、a7是函数f（x）=x24x+3的两个零点，则a3+a9等于（）A4B3C3D43 =（）A2iB2+iC2iD2+i4下列命题中正确命题的个数是（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”；“a0”是“a2+a0”的必要不充分条件；若pq为假命题，则p，q均为假命题；命

2、题p：x0R，使得x02+x0+10，则p：xR，都有x2+x+10A1B2C3D45若f（x）=，f（f（1）=1，则a的值是（）A1B2C2D16直线ax2by+1=0（a0，b0）平分圆x2+y2+4x2y1=0的面积，则+的最小值为（）A3+2B4+2C6+4D87已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log5x+x的零点依次为x1、x2、x3，若在如图所示的算法中，另a=x1，b=x2，c=x3，则输出的结果是（）Ax1Bx2Cx3Dx2或x38当时，函数f（x）=Asin（x+）（A0）取得最小值，则函数是（）A奇函数且图象关于点对称B偶函数且图象关于点（

3、，0）对称C奇函数且图象关于直线对称D偶函数且图象关于点对称9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A +B1+C D110表面积为40的球面上有四点S、A、B、C且SAB是等边三角形，球心O到平面SAB的距离为，若平面SAB平面ABC，则三棱锥SABC体积的最大值为（）A2BC6D11双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，Q为右支上一点，P点在直线x=a上，且满足=， =（+）（0），则该双曲线的离心率为（）A +1B +1C2D12已知数列an共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i1，2，8，均有2，1， ，则数列an的个数为（）A729B491C490D243

4、二、填空题：本题包括4个小题，每小题5分，共20分13曲线x在点处切线的倾斜角为14已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z=2x3y的最大值为15ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、，asinAsinB+bcos2A=2a，则角A的取值范围是16函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象交于四个不同的点，交点横坐标从小到大依次记为a，b，c，d，下列说法正确的是（请写出所有正确答案的序号）m（3，4）；abcd0，e4）；a+b+c+de5+2，e6+2）；若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则t=3三、解答题：本题包括6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明

5、过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=（1）求an与bn；（2）若对于nN*，不等式+t恒成立，求实数t的取值范围18如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点（1）求证：PH平面ABCD；（2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值19某省高中男生升高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N，现从该省某高校三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.

6、5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组157.5，162.5，第二组162.5，167.5，第六组182.5，187.5，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）求被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）从被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，记该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为，求的数学期望20已知椭圆E： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上一点，MF

7、1F2的周长为2+2（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过点F2，l与圆O：x2+y2=5相交于P，Q两点，l与椭圆E相交于R，S两点，若|PQ|4，求F1RS的面积的最大值和最小值21已知函数f（x）=x2ax，g（x）=lnx（1）；令F（x）=f（x）g（x），求F（x）的单调区间；（2）设r（x）=f（x）+g（）对任意a（1，2），总存在x，1使不等式r（x）k（1a2）成立，求实数k的取值范围四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，

8、O交直线OB于E、D，连接EC、CD（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若tanCED=，O的半径为3，求OA的长选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直角坐标系中动点P（1+cos，sin）参数0，2，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点Q（，）在曲线C：cos=上（1）在直角坐标系中，求点P的轨迹E的方程和曲线C的方程（2）若动点P的轨迹E和曲线C有两个公共点，求实数a的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=x21，g（x）=a|x1|（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当xR时，不等式f（x）g（x）

9、恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年山西省晋中市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题包括10个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN，则P的子集共有（）A2个B4个C6个D8个【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数【解答】解：M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=MN=1，3P的子集共有22=4故选：B【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的

10、个数是2n2等差数列an中，a5、a7是函数f（x）=x24x+3的两个零点，则a3+a9等于（）A4B3C3D4【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用根与系数的关系求出a5+a7=4，再由等差数列的性质得答案【解答】解：a5、a7是函数f（x）=x24x+3的两个零点，a5、a7是方程x24x+3=0的两根，则a5+a7=4，由等差数列的性质可得：a3+a9=a5+a7=4故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题3 =（）A2iB2+iC2iD2+i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】复数的分子

11、、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：故选C【点评】本题考查复数代数形式的运算，是基础题4下列命题中正确命题的个数是（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”；“a0”是“a2+a0”的必要不充分条件；若pq为假命题，则p，q均为假命题；命题p：x0R，使得x02+x0+10，则p：xR，都有x2+x+10A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑【分析】根据逆否命题的定义进行判断根据充分条件和必要条件的定义进行判断根据复合命题真假关系进行判断根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：命题“若x23x+

12、2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”；故正确，由a2+a0得a1或a0，“a0”是“a2+a0”的必要不充分条件；故正确，若pq为假命题，则p，q质数有一个为假命题；故错误，命题p：x0R，使得x02+x0+10，则p：xR，都有x2+x+10故正确，故正确的是，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系，充分条件和必要条件的判断以及复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，难度不大5若f（x）=，f（f（1）=1，则a的值是（）A1B2C2D1【考点】函数的值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解

13、：f（x）=，f（f（1）=1，f（1）=lg1=0，f（f（1）=f（0）=0+=a3=1，解得a=1故选：D【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用6直线ax2by+1=0（a0，b0）平分圆x2+y2+4x2y1=0的面积，则+的最小值为（）A3+2B4+2C6+4D8【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】根据已知条件得到a+b=，将其代入+，结合基本不等式的性质计算即可【解答】解：直线ax2by+1=0（a0，b0）平分圆x2+y2+4x2y1=0的面积，圆x2+y2+4x2y1=0的圆心（2，1）

14、在直线上，可得2a2b+1=0，即a+b=，因此2（+）（a+b）=2（3+）6+4，当且仅当： =时“=”成立，故选：C【点评】本题考查了圆的方程，考查基本不等式的性质，是一道基础题7已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log5x+x的零点依次为x1、x2、x3，若在如图所示的算法中，另a=x1，b=x2，c=x3，则输出的结果是（）Ax1Bx2Cx3Dx2或x3【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；转化思想；函数的性质及应用；算法和程序框图【分析】根据零点存在定理，分别求三个函数的零点，判断零点的范围，由程序算法的功能即可得解【解答】解：函数f（x）=2x+x

15、，f（1）=1=0，f（0）=10，可知函数的零点x10；函数g（x）=log2x+x=0，g（）=1+=0，g（1）=10，可得函数的零点满足：x21，函数h（x）=log5x+x=0，h（）=1+=0，h（）=log5+=0，可得函数的零点满足：x3，则x1x3x2，模拟执行程序算法，可得程序算法的功能是输出三个数中最大的数，由题意可得：x2故选：B【点评】本题考查的重点是函数的零点及个数的判断，基本初等函数的单调性的应用，解题的关键是利用零点存在定理，确定零点的值或范围8当时，函数f（x）=Asin（x+）（A0）取得最小值，则函数是（）A奇函数且图象关于点对称B偶函数且图象关于点（，0

16、）对称C奇函数且图象关于直线对称D偶函数且图象关于点对称【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】由f（）=sin（+）=1可求得=2k（kZ），从而可求得y=f（x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可【解答】解：f（）=sin（+）=1，+=2k，=2k（kZ），y=f（x）=Asin（x+2k）=Asinx，令y=g（x）=Asinx，则g（x）=Asin（x）=Asinx=g（x），y=g（x）是奇函数，可排除B，D；其对称轴为x=k+，kZ，对称中心为（k，0）kZ，可排除A；令k=0，x=为一条对称轴，故选C【点评】本题考查由y=Asin（

17、x+）的部分图象确定其解析式，求是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A +B1+C D1【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为： =，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，故选：B【

18、点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键10表面积为40的球面上有四点S、A、B、C且SAB是等边三角形，球心O到平面SAB的距离为，若平面SAB平面ABC，则三棱锥SABC体积的最大值为（）A2BC6D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【分析】作出直观图，根据球和等边三角形的性质计算SAB的面积和棱锥的最大高度，代入体积公式计算【解答】解：过O作OF平面SAB，则F为SAB的中心，过F作FESA于E点，则E为SA中点，取AB中点D，连结SD，则ASD=30°，设球O半径为r，则4r2=40，解得r=连

19、结OS，则OS=r=，OF=，SF=2DF=EF=，SE=SA=2SE=2，SSAB=SA2=6过O作OM平面ABC，则当C，M，D三点共线时，C到平面SAB的距离最大，即三棱锥SABC体积最大连结OC，平面SAB平面ABC，四边形OMDF是矩形，MD=OF=，OM=DF=CM=2CD=CM+DM=3三棱锥SABC体积V=SSABCD=6故选C【点评】本题考查了棱锥的体积计算，空间几何体的作图能力，准确画出直观图找到棱锥的最大高度是解题关键11双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，Q为右支上一点，P点在直线x=a上，且满足=， =（+）（0），则该双曲线的离心率为（）A +1B

20、+1C2D【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由=， =（+）（0），可知OQ垂直平分PF2，求出P的坐标，可得Q的坐标，代入双曲线=1（a0，b0），可得出a，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率【解答】解： =， =（+）（0），OQ垂直平分PF2，|OP|=c，P（a，b），Q（，），代入双曲线=1（a0，b0），可得=1，ca=a，c=（+1）a，e=+1，故选：A【点评】本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12已知数列an共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i1，2，8，均有2，1

21、， ，则数列an的个数为（）A729B491C490D243【考点】数列的应用【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】令bi=，则对每个符合条件的数列an，满足=1，且bi2，1， ，1i8反之，由符合上述条件的八项数列bn可唯一确定一个符合题设条件的九项数列an由此能求出结果【解答】解：令bi=（1i8），则对每个符合条件的数列an，满足=1，且bi2，1， ，1i8反之，由符合上述条件的八项数列bn可唯一确定一个符合题设条件的九项数列an记符合条件的数列bn的个数为N，由题意知bi（1i8）中有2k个，2k个2，84k个1，且k的所有可能取值为0，1，2共有1+C82C

22、62+C84C44=491个，故选：B【点评】本题考查数列的相邻两项比值之和的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用二、填空题：本题包括4个小题，每小题5分，共20分13曲线x在点处切线的倾斜角为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角【专题】计算题【分析】首先对曲线的方程求导，代入曲线上的所给的点的横标，做出曲线对应的切线的斜率，进而得到曲线的倾斜角【解答】解：曲线y=x，曲线在点处切线的斜率是1，切线的倾斜角是故答案为：【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程和直线的倾斜角，本题解题的关键是理解曲线在某一点的导数的几何意义14

23、已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z=2x3y的最大值为3【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=2x3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×33×1=3故答案为：3【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、，asinAsinB+bcos2A=

24、2a，则角A的取值范围是（0，【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形【分析】利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范围，再由A为三角形的内角，且根据余弦函数的单调性，即可得到A的范围【解答】解：在ABC中，由正弦定理化简已知的等式得：sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=2sinA，sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，由余弦定理得：cosA=，A为三角形

25、ABC的内角，且y=cosx在（0，）上是减函数，0A，则A的取值范围是：（0，故答案为：（0，【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键16函数f（x）=，直线y=m与函数f（x）的图象交于四个不同的点，交点横坐标从小到大依次记为a，b，c，d，下列说法正确的是（请写出所有正确答案的序号）m（3，4）；abcd0，e4）；a+b+c+de5+2，e6+2）；若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则t=3【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】画出y=

26、f（x）与y=m的图象即可；，结合图象把abcd的不等式用m表示出来；同样用m把a+b+c+d表示出来；若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=x+t有三个不同的交点，画图即可【解答】解：函数f（x）=，即f（x）=，函数f（x）的图象如下：若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m3，4），故错误；四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b关于x=1对称，a+b=2，ab=m3，ab0，1），且lnc=2m，lnd=2+m，ln（cd）=4，cd=e4，abcd0，e4），是正确的；由2lnx=4得x=，由2lnx=3得x=，c（

27、，又cd=e4，a+b+c+d=c+2在（，是递减函数，a+b+c+de5+2，e6+2）； 是正确的；若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=x+t有三个不同的交点，而直线y=x+3 与y=x+均与y=f（x）有三个交点，t不唯一故错误，故正确的是，故答案为：【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题：本题包括6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，

28、q=（1）求an与bn；（2）若对于nN*，不等式+t恒成立，求实数t的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）通过设等差数列an的公差为d，联立b2+S2=12及q=，计算即得公差和公比，进而可得结论；（2）通过（1）裂项可知=（），进而利用并项相消法计算、放缩即得结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，b2+S2=12，q=，q+6+d=12、q=，解得：q=3或q=4（舍），d=3，an=3+3（n1）=3n，bn=3n1；（2）由（1）可知=（），+=（1+）=（1），n1，（1），t【点评】本题考查数列的通项及前

29、n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点（1）求证：PH平面ABCD；（2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离【分析】（1）连结OP，推导出OPBD，ACBD，从而BD平面PAC，由此能证明PH平面ABCD（2）过点O作OZPH，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标

30、系，利用向量法能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值【解答】证明：（1）连结OP，如图所示，PB=PD，OPBD，在菱形ABCD中，ACBD，又ACOP=O，BD平面PAC，又PH平面PAC，BDPH，在RtPOB中，OB=1，PB=2，OP=，又PC=，H为OC的中点，PH平面ABCD解：（2）过点O作OZPH，则OZ平面ABCD，如图，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（），B（0，1，0），C（，0，0），P（，0，），E（，0，），=（，1，0），=（，0，），=（，0，），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，令x=1，则=（1，）

31、，cos=直线CE与平面PAB所成角的正弦值为【点评】本题考查垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19某省高中男生升高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N，现从该省某高校三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组157.5，162.5，第二组162.5，167.5，第六组182.5，187.5，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）求该学校高三年级男生的平均身高；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）求被抽取的

32、50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（3）从被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，记该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为，求的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）由频率分布直方图能求出该校高三年级男生平均身高（2）由频率分布直方图知后两组频率为0.2，由此能求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数（3）由题意随机变量可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学

33、期望【解答】解：（1）由频率分布直方图得该校高三年级男生平均身高为：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5（2）由频率分布直方图知后两组频率为0.2，人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数为10人（3）P=0.9974，P（182.5）=0.0013，而0.0013×100000=130，全省前130名身高在182.5cm以上，这50人中182.5cm以上的有5人，随机变量可取0，1，2，P（=0

34、）=，P（=1）=，P（=2）=，E（）=1【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用20已知椭圆E： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上一点，MF1F2的周长为2+2（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过点F2，l与圆O：x2+y2=5相交于P，Q两点，l与椭圆E相交于R，S两点，若|PQ|4，求F1RS的面积的最大值和最小值【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由已知得e=，2a+2c=2+2，由此能求出椭圆

35、的方程（2）设l：x=my+1，与椭圆联立，得（2m2+3）y2+4my4=0，由此利用点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合题意条件能求出F1RS的面积的最大值和最小值【解答】解：（1）椭圆C： +=1（ab0）的离心率e=，e=，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上任意一点，且PF1F2的周长为2+2，2a+2c=2，联立，解得a=，c=1，b2=31=2，椭圆的方程为=1（2）由题知直线l的斜率为0时不满足题意，设l：x=my+1，O到l的距离d=，|PQ|=24，0m23联立，得（2m2+3）y2+4my4=0，=（4m）2+16（2m2+3）0恒成立，设R（x1，y

36、1），S（x2，y2），则，|y1y2|=，=|y1y2|F1F2|=，令t=m2+11，4，=，f（t）=4t+在1，4上单调递增，f（t）=5，F1RS的面积的最大值是，最小值是【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值及最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用21已知函数f（x）=x2ax，g（x）=lnx（1）；令F（x）=f（x）g（x），求F（x）的单调区间；（2）设r（x）=f（x）+g（）对任意a（1，2），总存在x，1使不等式r（x）k（1a2）成立，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性

37、；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】（1）求出F（x）的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间即可；（2）a（1，2）时，求出F（x）的导数，判断函数在（，+）时，F（x）是增函数，于是问题等价于：对任意的a（1，2），不等式ln+1a+k（a21）0恒成立，再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求，即可求实数m的取值范围【解答】解：（1）F（x）=f（x）g（x）=x2axlnx，x0F（x）=2xa=，令h（x）=2x2ax1，=a2+80，解h（x）=0得：x1=0（舍），x2=0，F（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2

38、）r（x）=f（x）+g（）=x2ax+ln，r（x）=，a（1，2），x（，+）时，F（x）是增函数，x，1，F（x）max=F（1）=1a+ln，a（1，2），对任意的a（1，2），总存在x，1，使不等式F（x）k（1a2）成立，对任意的a（1，2），不等式1a+lnk（1a2）成立于是问题等价于：对任意的a（1，2），不等式ln+1a+k（a21）0恒成立记g（a）=ln+1a+k（a21），（1a2）则g（a）=（2ka1+2k），当k=0时，g（a）=0，g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）g（1）=0，由于a210，k0时不可能使g（a）0恒成立，故必有k0，g（a）=（

39、2ka1+2k）若11，可知g（a）在区间（1，min2，1）上递减，在此区间上，有g（a）g（1）=0，与g（a）0恒成立矛盾，故11，这时，g'（a）0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）g（1）=0，满足题设要求，即k，实数k的取值范围为，+）【点评】本题考查利用导数研究函数单调性，考查函数恒成立问题，考查函数与方程思想、分类讨论思想，综合性强，难度大四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，O交直线OB于E、D，连接EC、CD（1）求证：直线AB是O的切线；（2）若tanCED=，O的半径为3，求OA的长【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程【专题】计算题；证明题【分析】（1）要想证AB是O的切线，只要连接OC，求证ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，BCDBEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长【解答】解：（1）如图，连接OC，OA=OB，CA=CB，OCABAB是O的切线；（2）BC是圆O切线，且BE是圆O割线，BC2=BDBE，tanCED=，BCDBEC，