第章振动与波动习题与答案

1、振 动 与 波 动1 . 基本要求1 .掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。2 .掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。3 .能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。4 .掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。5 .理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。6 .理解机械波产生的条件。7 .掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。8 . 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。9 .理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定 相干波叠加后振幅加强或减

2、弱的条件。10 .理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。2 .内容提要1 .简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程(即微分方程)为2 .简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标 x与时间t成余弦(或正弦)函数关系，即 由它可导出物体的振动速度vAsin( t )物体的振动加速度a2Acos( t )3 .振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4 .周期与频率作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T称为周期，单位时间内完成的振动次数称为频率。周期与频率互为倒数，即5

3、.角频率(也称圆频率)作谐振动的物体在 2n秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为6 .相位和初相谐振动方程中(t)项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的在02n范围内有两个可能取值，须根据 t=0时刻的速度方向进行合理取舍。7 .旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A,其角速度等于谐振动的角频率 ，且t=0时，它与x轴的夹角为谐振动的初相，t=t时刻它与x轴的夹角为谐振动的相位t。旋转矢量A的末端在x轴上的投影点的运动代表着质点的谐振动。8 .简谐振动的能量作谐振动的系统具有动能和势能，

4、其动能E. mv2 m2 A2 sin 2(t )k22势能Ep工 kx21kA2 cos2 (t)p22机械能E Ek Ep -kA229 .两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅初相tanA1 sin 1A2 sin 2A1cos 1 A2 cos(1)当两个简谐振动的相差2k (k 0, 1,2,)时，合振动振幅最大，为 A1A2，合振动的初相为 1或2(2)当两个简谐振动的相差(2k 1) (k0,1，2,)时，合振动的振幅最小，为A1 A2 ,合振动的初相与振幅大的相同。10 .机械波产生的条件机械波的产生必须同时具备两个条件：第一，要有作机

5、械振动的物体一一波源；第二，要有能够传播机械波的载体一一弹性媒质11 .波长人 在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离(一个完整波的长度)，它是 波的空间周期性的反映。12 .周期与频率 波前进一个波长的距离所需的时间，它反映了波的时间周期性。周期的倒数称为 频率，波源的振动频率也就是波的频率。13 .波速u单位时间里振动状态(或波形)在媒质中传播的距离，它与波源的振动速度是两个不 同的概念。波速u、波长 、周期T (频率丫)之间的关系为uT14 .平面简谐波的波动方程如果平面波沿x轴正向传播，则其波动方程为若波沿x轴的负向传播，则其波动方程为 其中0为坐标原点的初相15 .波的能量

6、 波动中的动能和势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相等：(1)在平衡位置处，动能最大，势能也最大；(2)在最大位移处，动能最小(为零)，势能也最小(为零)；(3)当媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中：它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能 量逐渐增加。(4)当媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：它把自己的能量传给相邻的一段质元， 其能量逐渐减小。16 .波的干涉 满足相干条件(同频率、同振动方向且相位差恒定)的两列波的叠加，其规律是:(1)若两列波的相位差211 21 2k (k 0, 1, 2,)则合成振动的振幅有极大值:A1A2 ,为干涉加强(相长干涉)。(2)若两列波的

7、相位差合成振动的振幅有极小值:12 区1 (2k 1) (k 0, 1, 2,)A | A1 A2为干涉减弱，当 Ai=A2时，相消干涉17 .驻波无波形和能量传播的波称为驻波，它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成，是波的干涉中的一个特例。其振幅随x作周期变化，因而为分段的独立振动，有恒定的波腹和波节出现。10-1两倔强系数分别为 ki和k2的轻弹簧串联在一起，下面接着质量为 弹簧谐振子，则该系统的振动周期为(A) Tm(kik2) T 2k1k2(B) Tm的物体，构成一个竖挂的kik2 m9T 2 m2m(D) T 2k ki k210-4已知两个简谐振动如图所示X1

8、的位相比X2的位相(A)落后(B)超白2 (C)落后 (D)超前 10-5 一质点作简谐振动，周期为X X1X2x轴正方向运动时，从上分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间T,当它由平衡位置向为:(A)(B)12(C)(D)一10-7 一简谐振动曲线如图所示，则振动周期是:(A) 2.62 s(B) 2.40 s(C)2.20 s(D) 2.00 s10-8一弹簧振子和一个单摆(只考虑小幅度摆动),在地面上的固有振动周期分别为T1和T2o将它们拿到月球上去，相应的周期分别为10-2 一倔强系数为k的轻弹簧截成三份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为 m的物体，如图所示。

9、则振动系统的频率为丁2,则有:(A)T1 T1 且 T2 T2(B)T1 T210-13一弹簧振子作简谐振动,振幅为A,周期为T,其运动方程用余弦函数表示，若t = 0时,(1)振子在负的最大位移处，则初位相为 (2)振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为 ;A .(3)振子在位移为一处，且向负万向运动，则初位相为210-14已知两个简谐振动的振动曲线如图所示，X1的位相比X2的位相超前10-18 一质点作简谐振动，其振动 曲线如图所示。根据此图，它的周期 T=,用余弦函数描述时，初位相10-19两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为:2X1 6 10 cos(5t1 c-)(SI),

10、 2一 一 2X22 10 Sin( 5t)(SI)。它们的合振动的振幅为;初位相为10-22 一简谐振动的振动曲线如图所示，求 振动方程。10-25 一质点同时参与两个同方向的简谐振 动，其振动方程分别为：2 1 、X1 5 10 cos(4t -),O1x2 3 10 2 sin(4t )(SI)6画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。10-26两个同方向的简谐振动的振动方程分别为：x23 10 2 cos2 (t 1) (SI)求合振动方程。410-32 一质点按如下规律沿 X轴作简谐振动X初相、速度最大值和加速度最大值。2_ .1 ,Xi 4 10 2 cos2 (t -)，8

11、20.1cos(8 t )(SI),求此振动的周期、振幅、 310-33如图所示，一质量为 m的滑块，两边分别与倔强系数为k1和k2的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上，滑块m可在光滑水平面上滑动，O点为系统平衡位置，将滑块m向左移动到X。，自静止释放，并从释放时开始计时，取坐标如图示，则其振动方程为:k1k2 ,(A) X X0 cos,；1mk1(B) mk1k2X0X X0 cost .m(k1k2)k2(C) X X0 cosJk1k2tmk1 k2(D) xX0 coS-t10-34一弹簧振子，当把它水平放置时，它作谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断F面那种情况是

12、正确的：(A)竖直放置作谐振动，放在光滑斜面上不作谐振动。(B)竖直放置不作谐振动，放在光滑斜面上作谐振动。(C)两种情况都作谐振动。(D)两种情况都不作谐振动。10-36两个同方向的谐振动曲线如图所示，合振动的振幅为 ,合振动的振动方程为x (cm)Aixi (t)A2Ot-A 2X2 (t)-A i10-37有两个相同的弹簧，其倔强系数均为 ko把它们串联起来，下面挂一个质量为m的重物,此系统作简谐振动的周期为 ,把它们并联起来，下面挂一个质量为 m的重物，此系统作简谐 振动的周期为。10-41已知一平面简谐波的波动方程为y Acos(at bx), (a、b为正值)，则b(A)波的频率为

13、a。(B)波的传播速度为。a(C)波长为。(D)波的周期为2 oba10-42 一沿x轴负方向传播的平面简谐波在t = 2s时的波形曲线如图所示，则原点 O的振动方程为:1 .(A)y 0.50cos( t 一)(SI) 211(B) y 0.50 COS(- t 一)(SI) 2211(C) y 0.50cos(- t ) (SI) 22一 ，1.1、(D) y 0.50COs( t 一 ) (SI)42y u=1m/s0.523O 14-0.510-43 一平面简谐波以速度振动方程为:u沿x轴正方向传播，在t t时波形曲线如图所示。则坐标原点(A) y a cosu (t t ) 一 b2

14、(B) y a cos2 - (t t ) 一b 2(C) y acos u(t t )b2(D)y acos u (t t )b210-48 一平面简谐波沿 x轴正向传播，t = 0时刻的波形如图所示，则P处质点的振动方程为:(A) y p(SI)(B) yp(SI)(C) yp(D) yp1 、 0.10 cos(4 t -)1 、 0.10 cos(4 t )31 、0.10cos(2 t - ) (SI) 一1 、0.10cos(2 t - )(SI)10-49 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是:的简若谐波，P点是两列波相遇区域中的一

15、点，已知S1P =2 , S2P 2.2 ,两列波在P点发生相消干涉,Si的振动方程为yi Acos(2),则S2的振动方程为:(A)动能为零，势能最大。(B)动能为零，势能为零。(C)动能最大，势能最大。(D)动能最大，势能为零。10-50 平面简谐波在弹性媒质中传播，从媒质质元在最大位移处回到平衡位置的过程中： (A)它的势能转化为动能。(B)它的动能转化为势能。(C)它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加。(D)它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。10-52如图所示，Si与S2是两相干波的波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为1 、S1S2(A) y2Acos

16、(2 t )(B) y2 Acos(2 t )一 1 、(C) y2Acos(2 t )2(D) y2 Acos(2 t 0.1 )10-53在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动：(A)振幅相同，位相相同。(B)振幅不同，债相相同丁-*(C)振幅相同，位相不同。(D)振幅不同，位相不同。L j*x10-56沿着相反万向传播的两列相干波，其波动万程为： y V1 Acos2 (vt ),和y2 Acos2 (vt-)叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为:(A) x k(C) x 92其中k = 0、1、2、3(B) X(D) X3k(2k 1)410-57 一余弦横波以速度u沿x轴正方向传播,t

17、时刻波形曲线如图所示。试分别指出图中A、B、C各质点在t时刻的运动方向C。10-58 一声波在空气中的波长是0.25m,波的传播速度为340 m/s,当它进入另一介质时波长变成了10-59已知波源的振动周期为4.00 10 2 s,波的传播速度为300 m/s波沿x轴正方向传播，则位于x1 10.0m和x2 16.0m的两个质点振动的位相差为10-61图为t T时一平面简谐波的波形曲线,410-62在简谐波的一条传播路径上，相距则其波动方程为yu=330m/s行波的波长为,频率为*10-74 一平面简谐波沿 x轴正向传播，其振幅为A,频率为 ，波速为u.设t=t时刻的波形曲线如图所示。求:（1

18、） x = 0处质点振动方程;8.00m, 1 12.0muOx（2）该波的波动方程.10-75 横波方程为10-80如图所示，S1式中 A =0.01m ,0.2m引起的振动振幅为0.30 m, S2在P点引起的振动振幅为0.20m,求P点的合振幅。10-84 平面简谐波沿 Ox轴正方向传播，波动方程为riOx轴负方向传播，波动方程为y 2Acos2 ( t x)。求：（1） x 一处介质质点的合振动方程;4（2）x 一处介质质点的速度表达式。4Si10-85如图所示，三个同频率，振动方向相同若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3的振动方程（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O点相遇;SiO

19、S2S3分别为：y1 Acos（ t),y2 Acos t和1y3 2Acos( t 3 ) .且S2 O = 4, S1O = S3 O=5 ,（ 为波长）。求：O点的合振动方程。（设传播过程中各波振幅不变)10-86 平面简谐波沿 x轴正方向传播 u=100m/s , t = 0时刻的波形曲线如图所示。波长振幅A=频率10-89 一简谐波沿x轴负方向传播，波的表达式为 y 0.02cos(2 t x) (SI) .则 x 1m 处P点的振动方程为10-90如图，一平面简谐波沿Ox轴传播，波动方程yPxLO(1) P处质点的振动方程:(2)该质点的速度表达式与加速度表达式。10-95 一列平

20、面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向传播，原点O处质元的振动曲线如图所示,y(cm) 2画出x=25m 处质元的振动曲线画出t=3s时的波形曲线。10-97一波沿绳子传播，其波的表达式为y 0.05cos(100 t 2 x) (SI)求此波的振幅，波速，频率和波长。(2)求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。求x1二0.2m处和x2=0.7m处二质点振动的位相差10-98 平面简谐波沿x轴正向传播，t=0时刻的波形图如图所示,y(cm)O Px3OyO yAy3 A y3 OO(C)CD)则P处质点的振动在t=0时刻的旋转矢量图是 第10章自测题选择题:3.弹簧振子在光滑水平

21、面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为:(A) kA2(B) -kA2212(C) 4 kA2(D) 05.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相 位为：3(A) 3 式21(C)2 支(B)支(D) 06.当质点以频率 动能的变化频率为作简谐振动时，它的(A) v (B)2 V (C)4 V(D)9.（本题3分）在波长为人的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为（A）4二、填空题(B)一 23(C)一4(D)12.（本题3分）所示为一平面简谐波在 t = 2s时刻的波形图，波的振幅为0.2m,周期为4s。则图中P处质点的振动方程13.（本题3分）

22、两个弹簧谐振子的周期都是0.4s,设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过 0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两振动周相差为16.（本题3分）已知平面简谐波的波动方程为y Acos（Bt Cx）,式中A、B、C为正常数，则此的波长；波速是;在传播方向上相距为d的两点的振动位相差10-1(C)三、计算题20.(本题5分)质量为2kg的质点，按方程 x 0.2 sin 5t (1) t=0时，作用于质点的力的大小；(2)作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。23.(本题10分)如图所示，一平面简谐波在t=0时刻的波形图,(1)该波的波动表达式;(2) P处质点的振动方程。第10章(C)10-210-7(B)10-1310-19