微分中值定理与导数的应用

1、微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下：如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间a,b 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 (a,b)，使得 f()=0。证明过程证明：因为函数 f(x) 在闭区间a,b 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 a,b 上必为常函数，结论显然成立。2. 若 Mm，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点处取

2、得，从而是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 处取得极值，由费马定理推知：f()=0。另证：若 Mm ，不妨设f()=M，(a,b)，由可导条件知，f(+)=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。几何意义若连续曲线y=f(x) 在区间 a,b 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。范例解析用罗尔中值定理证明:方程在 (0,1) 内有实根。设，则 F(x) 在 0,1 上连续，在 (0,1) 内可导，所以由罗尔

3、中值定理，至少存在一点，使得，所以，所以是方程方程在 (0,1) 内的一个实根。结论得证。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。法国数学家拉格朗日于1797年在其著作解析函数论的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。1定律定义定理表述如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；那么在开区间内至少有一点使等式成立。其他形式记,令,则有

4、上式称为有限增量公式。在学习微分的时候，我们知道函数的微分dy=f(x)x是函数的增量y的近似表达式，一般情况下只有当|x|很小的时候，dy和y之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量x（|x|不一定很小）时，函数增量y的准确表达式，这就是该公式的价值所在。验证推导辅助函数法：已知在上连续，在开区间内可导，构造辅助函数可得又因为在上连续，在开区间内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点使得由此可得变形得定理证毕。定理推广推论如果函数在区间上的导数恒为零，那么函数在区间上是一个常数。证明在区间上任取两点由拉格朗日中值定理得由于已知即因为是区间上的任意两点，所以在区间上的函数

5、值总是相等的，即函数在区间内是一个常数。、推广如果函数在开区间内可导且与都存在令，则在开区间内至少存在一点使得例题利用拉格朗日中值定理可以证明许多式子，下面介绍几个经典的例题。例1：证明当x0时，解析：中学数学中对于该类不等式的证明通常采用构造函数的方法，即可构造如，通过求导、求最值等方式来证明不等式成立。现在可用拉格朗日中值定理来证明。证明：作辅助函数在区间上显然该函数满足拉格朗日中值定理的使用条件。即例2：证明导函数连续定理：若函数f(x)在x0的某邻域内连续，在内可导，且存在，则f(x)在x0处可导，并且有。解析：该定理给出了导函数连续的一个充分条件。（注意：必要性不成立，即函数在某点可

6、导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。）我们知道，函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。证明：由导数的定义可知，函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数相等，因此分别来研究左右导数。右导数：任取，显然在区间上满足定理使用条件。当时，有，对上式两边取极限，得：即：上式左边是在处的右导数，右边是导函数在处的右极限。同理，有上式左边是在处的左导数，右边是导函数在处的左极限。存在f(x)在x0处可导，并且由该定理立即可得出一个推论：如果函数在某个区间上可导，那么导函

7、数在该区间上不存在第一类间断点。换句话说，如果一个函数在某个区间上存在第一类间断点，那么它在该区间上没有原函数。发展简史人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。意大利卡瓦列里在不可分量几何学(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。该定理是拉格

8、朗日中值定理在几何学中的表达形式。1797年，法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中首先给出了拉格朗日定理，他给出的定理的最初形式是：“函数在与之间连续，在与之间有最小值与最大值，则必取与之间的一个值。”拉格朗日给出最初的证明，但证明并不严格，他给的条件比现在的条件要强，他要求函数在闭区间上具有连续导数，并且他所用的连续也是直观的，而不是抽象的。十九世纪初，在微积分严格化运动中，柯西给出了拉格朗日中值定理的严格证明，在无穷小计算教程概论中，柯西证明了”如果导数在闭区间上连续，则必存在一点，使得。 ”柯西又在微分计算教程中将拉格朗日中值定理推广为柯西中值定理。现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学

9、家博（O.Bonnet）给出的，他不是利用导数的连续性，而是利用罗尔定理对拉格朗日中值定理进行了重新证明。定理意义拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。几何意义若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。运动学意义对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并

10、研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。定理定义柯西（Cauchy）中值定理：设函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导；对任意，那么在内至少有一点，使得f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f()/g()成立与拉氏定理的联系在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定

11、理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。证明可构造辅助函数F(x)=g(b)-g(a)f(x)-f(b)-f(a)g(x);有F(a)=F(b);由罗尔定理，有存在(a,b),使得F()=0,即g(b)-g(a)f(x)-f(b)-f(a)g(x)=0;又，有几何意义若令，这个形式可理解为参数方程，而则是连接参数曲线的端点斜率，表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。应用例子函数单调性若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区间上均

12、取正值（或负值）。因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性。例1设f(0)=0，f(x）在（0，+）上单调递增。证明：f(x)x在（0，+）上单调递增。证明由柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f（）1=f（），0；0。这样就可以证明f(x)x在（0，+）上单调递增。不定式极限柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记00，0/；0-，-和型不定式。仔细观察柯西中值定理表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式

13、的分子与分母所表示的函数，我们将以微分中值定理为理论依据，通过求导，建立一个简便而有效的求非未定型极限的方法。我们得出下面这个定理：两个函数和在开区间可微，并且在这个开区间上，的导数不等于0；存在极限，其中A为一个有限的常数。则在以下情况下：和或者。那么就有：。反过来在区间的另一个端点也存在相类似的结果。这个定理就称之为罗必达法则，能有效地应用于未定型的极限计算。洛必达法则可以运用于7种未定型的极限计算，而最为基本的未定型只有两种：00和。00和型的我们都知道，那么在此就不做介绍了。其他的未定型都可以化成这两种形式：0；型。通过恒等式：f(x）g(x)=f(x)1g(x），从而得到00或这两种

14、基本形式。-型。通过恒等式：f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x）1g(x），从而得到00型。00，0，1型。通过恒等式，从而得到00;0-，-，00，0，1型。再进一步化成00或这两种基本形式。对于两种基本形式的未定型，直接应用洛必达法则即可，即表示为。显然这时的条件为f（x），g（x）都存在，并且g（x）0。还有一个不是很明显，因此初学者常常犯错误的地方，就是要求f(x）和g(x）同时以0或者为极限。在实际做题时，一定要注意随时验证这三个条件，否则必定会犯错误。例2证明：limx0+x1-ex=-1。证明令t=x，当x0+时有t0+，则可以得到：limx0+x1-ex=lim

15、x0+t1-et=limx0+1-et=-1。中值公式例3设f(x）在开区间（a，b）内二次可微，证明：任意的x，x0（a，b），存在（x，x0），使f(x)=f(x0)+f（x0)(x-x0)+12f（）（x-x0)2成立（这就是泰勒公式一次展开式）。证明由题可知，只需证明xx0这一种情况。令，求导可得F（x)=f（x)-f（x0），G（x)=x-x0。因为F(x0)=G(x0)=0，F（x0)=G（x0)=0两次应用到柯西中值定理，可以得到：f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F（）G（）=F（）-F（

16、x0)G（）-G（x0)=F（）G（）=F（）。其中（x，x0），（x0，），则f(x)=f(x0)+f（x0)(x-x0)+12f（）（x-x0)2得到证明。故命题得证。函数其它特性证明中值点的存在性例4设函数f在区间a，b上连续，在（a，b）内可导，则?（a，b），使得f(b)-f(a)=lnbaf（）。证明设g(x)=lnx，显然它在a，b上与f一起满足柯西中值定理的条件，于是存在（a，b），使得f(b)-f(a)lnb-lna=f（）1，即存在（a，b）使得f(b)-f(a)=f（）lnba。洛必达法则洛必达法则(LHpitals rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来

17、确定未定式值的方法。法国数学家洛必达（Marquis de lHpital）在他1696年的著作阐明曲线的无穷小分析（Analyse des infiniment petits pour lintelligence des lignes courbes）发表了这法则，因此以他为命名。但一般认为这法则是由洛必达的老师瑞士数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli）首先发现，因此也被叫作伯努利法则（Bernoullis rule）。介绍0/0型不定式极限若函数和满足下列条件：，； 在点的某去心邻域内两者都可导，且；（可为实数，也可为 ），则/型不定式极限若函数和满足下列条件：； 在点的某去

18、心邻域内两者都可导，且；（可为实数，也可为或），则其他类型不定式极限不定式极限还有，等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。例：求解：原式=(3)型可利用对数性质将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。针对不同的问题，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式。例：求解：原式=上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了。(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=注意不能在数列形式下直接用洛必达

19、法则，因为对于离散变量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹切萨罗定理（StolzCesro theorem）作为替代。定理推广 该定理所有条件中，对的情况，结论依然成立。 该定理第一条件中，和的极限皆为时，结论依然成立。 上述和的构型，可精炼归纳为、；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：、。（上述构型中表示无穷小量，表示无穷大量。）应用例子求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型构型，否则滥用洛必达法则会出

20、错（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。当不存在时（不包括情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。 洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：型；型（或），而其他的如型，型，以及型，型和型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。单调性函数的单调性（m

21、onotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。定义函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：D

22、Q（Q是函数的定义域）。区间D上，对于函数f(x)，（任取值）x1，x2D且x1x2，都有f(x1) f(x2)。或， x1，x2D且x1x2，都有f(x1) x2，都有f(x1) f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2D且x1x2，都有f(x1) f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数。则增函数和减函数统称单调函数。性质图象性质函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。当x1 x2时，都有f(x1)f

23、(x2) 等价于 ；当x1 f(x2) 。运算性质f(x)与f(x)+a具有相同单调性；f(x)与 g(x) = af(x)在 a0 时有相同单调性，当 a0 时，具有相反单调性；当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若f(x)g(x)都恒大于零，则同为增（减）函数；若两者都恒小于零，则都是减（增）函数；两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。判断方法图象观察如上所述，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函

24、数在该区间单调递增；一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减；注意：对于分段函数，要特别注意。定义证明如果需要严格证明某区间上函数的单调性，则观察图象的方法就显得不太可靠了，因此需要用定义证明。步骤：任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10，则为增函数；若差0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若xD时，f(x)0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。7复合函数在函数y=fg(x)的定义域内，令u=g(x)，则y=fg(x)的单调性由u=g(x)与y=f(x)的单调性共同确定，方法如下u=g(x)y=f(x)y=fg(x)增函数增函数增函数减函数减函数增函数增

25、函数减函数减函数减函数增函数减函数因此，复合函数的单调性可用“同增异减”来判定，但要考虑某些特殊函数的定义域。注：y=f(x)+g(x)不属于复合函数，因此不在此方法的适用范围内。极值极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。分类函数的一种稳定值，即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得。在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最

26、高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是绝对极值。定义极值的定义如下：若函数f(x)在x的一个邻域D有定义，且对D中除x的所有点，都有f(x)f(x)，则称f(x)是函数f(x)的一个极小值。极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。多元函数对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。计算步骤求极大极小值步骤（1）、求导数f(x)；（2）

27、、求方程f(x)=0的根；（3）、检查f(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。特别注意f(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f(x)=0的根和f(x)无意义的点，再按定义去判别。求极值点步骤（1）、求出f(x)=0,f(x)0的x值；（2）、用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。（3）、上述所有点的集合即为极值点集合。举例例题求函数f(x,y)=x3+y3-2x2-2y2+6x的极值应该是fx=0，fy=0得到四个点，再代入值比较大小。fx=3x2-4x

28、+60恒成立fy=3y2-4y=0得到y=0或者y=4/3定理1（必要条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。定理2（充分条件）： 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B20时具有极值，且当A0时

29、有极小值；（2）AC-B20时没有极值；（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：第一步 解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。说明上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函

30、数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。函数的凹凸性函数的凹凸性是函数的一个重要性质，其应用也是多方面的。介绍设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意(0,1)，都有f(x1+(1-)x2)=f(x1)+(1-)f(x2),若不等号严格成立，即号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果=就是凸函数。类似也有严格凸函数。设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（a+b）/2）(f(a)+f(b)/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）几何定义这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间

31、的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f(x)=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f(x)=0;不同说法不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(x1+(1-)x2)=f(x1)+

32、(1-)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。不等式琴生（Jensen）不等式（也称为詹森

33、不等式）：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n(下凸);设f(x)为凹函数，f(x1+x2+xn)/nf(x1)+f(x2)+f(xn)/n(上凸),称为琴生不等式。加权形式为：f(a1*x1+a2*x2+an*xn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn)(下凸);f(a1*x1+a2*x2+an*xn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn)(上凸),其中ai0(i=1,2,n),且a1+a2+an=1.拐点拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线

34、的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。词语释义数学可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f (x)的正负发生变化的点，f (a)异号（由正变负或由负变正）或者不存在。在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。拐点定义（根据高等数学同济7版上册第147页）一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0)为这曲线的拐点。凹的充分条件:若曲线y=f(x)(axb)的一段，位于其任意一点的切线之上（或之下），则称

35、这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间a,b上是凹（或对应地，凸）的。在假设二阶导函数f(x)存在的情况下，当ax0或对应地f(x)0成立，为图形是凹（或对应地，凸）的充分条件。拐点的必要条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0（a,b），若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的一个拐点，则f（x0)=0。拐点的充分条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0（a,b），则f（x0)=0，若在x0两侧附近f(x0)异号，则点(x0,f(x0)为曲线的拐点。否则（即f(x0)保持同号，(x0,f(x0)不是拐点。当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐

36、点。若函数y=f(x）在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x）的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f(c)=0或者f(c）不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x4，有f(0)=0，但f(x)=12x2在整个定义域内恒大于0，所以0不是函数f(x)=x4的拐点，且整个函数在R上是凹的。拐点的求法（摘录自高等数学同济5版上册第149页）可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：求f(x)；令f(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f(x)不存在的点；对于中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么

37、当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0)是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0)不是拐点。例如，y=x3,y=3x2,y=6x，解出x=0时，y=0,y=0：y在（负无穷大，0）上为增函数，y0，函数曲线为凹函数。但y全区间函数为增函数，拐点在这里说明的只是函数曲线凹凸分界点。渐近线（曲线的渐近线）渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。定义当曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐

38、近线。特点渐近线分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。需要注意的是：并不是所有曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。分类根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。例如，直线是双曲线的渐近线，因为双曲线上的点M到直线的距离MQx0时,limf(x)=（+或-），x0一般为间断点，就把x=x0叫做的垂直渐近线；如果当x+（-）时，limf(x)=y0，就把y=y0叫做的水平渐近线。例如，y= 3是曲线y=+ 3的水平渐近线。求法求渐近线，可以依据以下结论：若极限limf(x)/x,x=a存在，且极限limf(x)ax,x=b也存在，那么曲线y=f

39、(x)具有渐近线y=ax+b。例：求渐近线。解：(1)x= - 1为其垂直渐近线。(2)，即a= 1；，即b= - 1；所以y=x- 1也是其渐近线。双曲线两渐近线夹角一半的余弦等于c/a,2c为两焦点的距离,2a为轨迹上的点到焦点的距离差.渐近线： asymptotic lineasymptote相关结论1.与x2/a2-y2/b2=1渐近线相同的双曲线的方程，有无数条（且焦点可能在x轴或y轴上）2.与x2/a2-y2/b2=1渐近线相同的双曲线可设为x2/a2-y2/b2=N，进行求解3.x2/a2-y2/b2=1的渐近线方程为 正负b/a*x=y4.x2/b2-y2/a2=1的渐近线方程

40、为 正负a/b*x=y函数最值一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。简介一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。最小值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。最大值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是

41、函数y=f(x)的最大值。一次函数一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。所以，无论是正比例函数，即：y=ax（a0） 。还是普通的一次函数，即：y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数），只要x有范围，即z或xm（要有意义），那么该一次函数就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且与a的取值范围有关系当a0时当a0时当a0时，则y随x的增大而增大，即y与x成正比。则当x取值为最大时，y最大，当x最小时，y最小。例：2x3 则当x=3时，y最大，x=2时，y最

42、小二次函数一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。 注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。而二次函数的最值，也和一次函数一样，与a扯上了关系。当a0时当a0时当a0时，则图像开口于