2019-2020年广东省惠州市高二上册期末数学试卷(理)(有答案)【优质版】

1、广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.1 . （5 分）设命题 p： ? CR, 2+1>0,则p为（）A. ?0CR,2 >0 B.?0CR,尹1002 _u+K0 D. ? e R, 2+1 <02. （5分）函数y= （ - 2） 2在=1处的导数等于（）A. TB. - 2 C. - 3 D. - 423. （5分）已知 ABC的顶点B, C在椭圆2_+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，3且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，则 ABC的周长是（）A. 273 B.

2、6 C. |4V3D. 124. （5 分）设 e R,则 41”是 2+-2>0”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C,充分必要条件 D,既不充分也不必要条件5. （5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为1, 2, io,其均值和方差分 别为:和s2,若从下月起每位员工的月工资增加 100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.% S2+1002 B.工+100, S2+1002C.宜，s2 D.工+100, s26. （5分）已知平面a的法向量是（2, 3, -1）,平面B的法向量是（4,入，-2）,若0a b,则入的值是（A.-6B. 6 C.D.1

3、037. （5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即 逢2进1”，如（1000）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1 X 23+0 X 21+1 X 2。=9,那么将二进制数（111L11 2转换成十进制形式是（）101A. 29-2 B. 210-2 C. 210- 1 D. 29- 18. （5分）某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取 37名同学做问卷 调查，将1221名同学按1, 2, 3, 4, , 1221随机编号，则抽取的37名同学中，标号落入区间496, 825的人数有（）A. 12 人 B. 11 人 C. 10 人 D. 9 人m, n,则点P

4、 (m, n)在直线+y=49. （5分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为上的概率是（）A.B.C.D.1210. （5分）如图程序框图中，若输入 m=4, n=10,则输出a, i的值分别是（）输出即结束A. 12, 4 B. 16, 5 C. 20, 5 D. 24, 611. （5分）某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上 7: 40至8: 00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为（）A.一B-D.12. （5分）将离心率为e1的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b （aw b）同时增加m （m>0）个单位长度，得到离

5、心率为 e2的双曲线Q,则（）A.对任意的a, b, e1>e2B.当 a>b 时，e1>e2；当 a< b 时，eK e2C.对任意的a, b, e1<e2D.当 a>b 时，e1<e2；当 a<b 时，e1>e2 二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）函数f （） =-3+4在点（1, f （1）处的切线方程是 .14. （5分）如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图.若甲运动员的中位数为 a,乙运动员的众数为b,则a-b=15. （5分）在棱长为1的正方体 ABCD- AiB

6、iCiDi中，M和N分别是AiBi和BBi的中 点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为 .16. （5分）已知抛物线y2=i2的焦点为F,若点A, B是该抛物线上的点，/成, 线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为 N,则网-的最大值为|ab| 三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （i0分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有i个数字，数字分别是i、2、 3、4,现从盒子中随机抽取卡片.（I ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（H）若第一次抽i张卡片，放回后再抽取i张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数 字3的概率.18. （i2分）某种

7、产品的广告支出（单位：万元）与销售收入 y （单位：万元）之间 有下列所示的对应数据.344256广告支出/万元i2销售收入y/万i228元（i）求出y与的回归直线方程；19. （i2分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了 m名学生进行体育测试.根据体育测试得到了这 m名学生各项平均成绩（满分 i00 分），按照以下区间分为七组：30, 40）, 40, 50）, 50, 60）, 60, 70）, 70, 80）, 80, 90）, 90, 100）,并得到频率分布直方图（如图,已知测试平均成绩在区 间30, 60）有 20 人.(I)求m的值及中位数n；(n

8、)若该校学生测试平均成绩小于 n,则学校应适当增加体育活动时间.根据以上 抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？20. (12分)已知直线l经过抛物线y2=4的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.(1)若| AF|=4,求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值.21. （12 分）如图，四棱锥 P-ABCD中，PAL底面 ABCR AD/BC, AB=AD=AC=3PA=BC=4 M为线段 AD上一点，AM=2MD, N为PC的中点.(1)证明：MN /平面PAR(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.2222. (12分)如图，椭圆二7+工产1出匕0)的左焦点为F,过点F的直线交

9、椭圆于A, B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60。.(I )求该椭圆的离心率；(H)设线段AB的中点为G, AB的中垂线与轴和y轴分别交于D, E两点.记4GFD 的面积为Si, AOED (。为原点)的面积为S2,求#的取值范围.广东省惠州市局二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.1 . （5 分）设命题 p： ? CR, 2+1>0,则p为（）A. ?0CR,2+1 >0 B. ?0CR,2+1<0C. ? 0C R,+K0 D. ? C R,

10、 2+1 <0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p： ? CR, 2+1>0,则p 为：？ 0C R,2+1<0故选：B.2. （5分）函数y= （ - 2） 2在=1处的导数等于（）A. TB. - 2 C. - 3 D. - 4【解答】解：函数的导数为y' =2 4, ' y | =1= 2,故选B23. （5分）已知 ABC的顶点B, C在椭圆段一+产1上，顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，则 ABC的周长是（）A. 273 B. 6 C. |W3D. 12【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和

11、等于长轴长2a,可得 ABC的周长为4a=473,故选C4. （5分）设e R,则41”是工-2>0”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C,充分必要条件 D,既不充分也不必要条件【解答】解：由不等式2+-2>0,得>1或<-2, 所以由>1可以得到不等式2+-2>0成立，但由2+ - 2 > 0不一定得到> 1,所以> 1是2+-2>0的充分不必要条件, 故选A5. （5分）某公司10位员工的月工资（单位：兀）为1, 2, ，, io,其均值和方差分别为工和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月

12、工资的均值和方差分别为（）A.工，S2+1002 B.工+100, S2+1002C. k, s2 D. x+100, s2【解答】解：由题意知yi=i+100,贝（JV=_L（1+2+- +10+100X 10） =-L （1+2+-+10） =x + 100, 1010方差 S2玲（1+100-（区+100）2+（2+100-（同+100）2+t（10+100-（工+100） 2 =!-（1一工）2+（2 宣）2+.+（10工）2 =S2 .故选：D.6. （5分）已知平面a的法向量是（2, 3, -1）,平面B的法向量是（4,入，-2）,若0a B,则入的值是（）A. -6B. 6 C.

13、一孕 D.学【解答】解：由题意可知：平面a和B的法向量分别是（2, 3, -1）和（4, % -2）,由平面0a B,可得它们的法向量垂直，故（2, 3, - 1） ? （4,入-2） =8+32+2=0,故选C7. （5分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的， 二进制即 逢2进1”，如（1000） 2表示二进制数，将它转换成十进制形式是 1 X 23+0 X 21+1 X 20=9,那么将二进制数 （m11）工转换成十进制形式是（）' ioTlA. 29-28. 210-29. 210-110. 29T【解答】解：由题意得，二进制数=210-1.(Lil11 = 尸1X 29+1

14、X 28+- +1 X 20=1 2io¥i.i1-2故选：C.8. （5分）某校高三年级有1221名同学，现采用系统抽样方法抽取 37名同学做问卷 调查，将1221名同学按1, 2, 3, 4, , 1221随机编号，则抽取的37名同学中， 标号落入区间496, 825的人数有（）A. 12 人 B. 11 人 C. 10 人 D. 9 人【解答】解：使用系统抽样方法，从 1221人中抽取37人，即从33人抽取1人.从区间496, 825共330人中抽取10人.故选：C.m, n,则点P (m, n)在直线+y=49. （5分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为上的概率是（）A.

15、- B. - C. 7T D.上34612【解答】解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6X 6=36,其中每个结果出现的机会都是等可能的, 点P （m, n）在直线+y=4上包含的结果有（1, 3）, （2, 2）, （3, 1）共三个, 所以点P （m, n）在直线+y=4上的概率是条，故选D.10. （5分）如图程序框图中，若输入 m=4, n=10,则输出a, i的值分别是（A. 12, 4 B. 16, 5 C. 20, 5 D. 24, 6【解答】解：模拟执行程序，可得m=4, n=10, i=1a=4,不满足条件n整除a, i=2, a=8不满足条件n整除a, i=3, a=12不满

16、足条件n整除a, i=4, a=16不满足条件n整除a, i=5, a=20满足条件n整除a,退出循环，输出a的值为20, i的值为5.故选：C.00511. (5分)某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上 7: 40至8: 之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早分钟到校的概率为()A.32B.C.D.【解答】解：设小明到校的时间为，小方到校的时间为y;(,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为(, v) I 40<<60, 40<y060是一个矩形区域，对应的面积为S=20X 20=400,则小明比小方至少早5分钟到校

17、为事件A=| y - > 5; 作出符合题意的图象，如图所示；则符合题意的区域为 ABC,联立vr'5得 c (55, 60),尸60由你一户5得b(40, 45),E二 40则 &abc=Lx 15X15,2由几何概率模型可知小明比小方至少早5分钟到校的概率为P=>【20 X 2032故选：A.12. (5分)将离心率为ei的双曲线Ci的实半轴长a和虚半轴长b (aw b)同时增加m (m>0)个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线Q,则()A.对任意的a, b, ei>e2B.当 a> b 时，ei > e2；当 a< b 时，ei

18、< e2C.对任意的a, b, ei<e2D.当 a>b 时，ei<e2；当 a<b 时，ei>e2【解答】解：由题意，双曲线 Ci： c2=a2+b2, ei上； a双曲线 C2： c2= (a+m) 2+ (b+m) 2, e?坦/包地立二，匚2 _ 心饼10"47<-2痴叶丽-)1 2 / &+m 产 /G+m)2'当 a>b 时，ei>e2；当 a<b 时，ei<e2, 故选：B.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. (5分)函数f () =- 3+4在点(1, f (1)处的

19、切线方程是 y=+2 .【解答】解：函数 f () =-3+4,可得 f'() = 32+4:, f'(1) =1, f (1) =3, 所以切线方程为y - 3= - 1,即y=+2.故答案为：y=+2.14. (5分)如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加 11场比赛的得分情况画出 的茎叶图.若甲运动员的中位数为 a,乙运动员的众数为b,则a-b= 8 .«= (0, I 1),而=(1,0,).【解答】解：由茎叶图可知甲运动员得分从小到大排列为7, 8, 9, 15, 17, 19, 23, 24, 26, 32, 41;所以甲的中位数为a=19,乙运动员得分

20、为 5, 7, 8, 11, 11, 13, 20, 22, 30, 31, 40,所以乙的众数为b=11,所以a- b=8.故答案为：8.15. (5分)在棱长为1的正方体 ABCA A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为 菖.一§一【解答】解：以D为原点，DA为轴，DC为y轴，DD为轴，建立空间直角坐标系,1), N (1,1, -), A (1, 0, 0), C (0,1, 0),即直线AM与CN所成角的余弦值为故答案为：1 516. (5分)已知抛物线y2=12的焦点为F,若点A, B是该抛物线上的点，/研bT，线段AB的

21、中点M在抛物线的准线上的射影为 N,则网-的最大值为 返 .|AB|一工一【解答】解：设| AF| =a, | BF =bA、B在准线上的射影点分别为 Q、P,连接AQ、BQ,由抛物线定义，得 AF|二|AQ|且|BF|二| BP在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2| MN| =|AQ|+| BP| =a+b.由勾股定理得 |AB|2=a2+b2,配方得 |AB|2= (a+b) 2 - 2ab,又(誓)2,(a+b) 2-2ab> (a+b) 2-2x2= (a+b) 2,得到 | AB| R苛(a+b).所以吧 &4='一岂2,即普弓-的最大值为迤.网坐后。2 阳2三

22、.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （10分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、 3、4,现从盒子中随机抽取卡片.（I ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（H）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数 字3的概率.【解答】解：（I ）由题意知本题是一个古典概型，设A表示事件抽取3张卡片上的数字之和大于7”，二.任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3）, （1、2、4）, （1、3、 4）, （2、 3、 4）,其中数字之和大于7的是（1、3、4）, （2、3、4

23、）,（R ）设B表示事件 至少一次抽到3”，二.每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1） （1、2） （1、3） （1、4） （2、1） （2、2） （2、3） （2、4） （3、1） （3、2） （3、3） （3、4） （4、1） （4、2） （4、3） （4、4）,共16个基本结果.事件 B包含的基本结果有（1、3） （2、3） （3、1） （3、2） （3、3） （3、4） （4、3）, 共7个基本结果.所求事件的概率为二工.1618. （12分）某种产品的广告支出（单位：万元）与销售收入y （单位：万元）之间有下列所示的对应数据.广告支出/万元1234销售收入y/万 1

24、2284256元（1）求出y与的回归直线方程；（2）若广告费为9万元，则销售收入约为多少?4 L4=3 町 2=30, £ iyi=418, i=li=l所以 b=a= y bx=- 2, 5所以手卷-2.(2)若广告费为9万元，代入方程为=11x9-2=129.4,5即销售收入约为129.4万元.19. (12分)为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了 m名学生进行体育测试.根据体育测试得到了这 m名学生各项平均成绩(满分 100 分)，按照以下区间分为七组：30, 40), 40, 50), 50, 60), 60, 70), 70, 80), 80,

25、 90), 90, 100),并得到频率分布直方图(如图,已知测试平均成绩在区 间30, 60)有 20 人.(I)求m的值及中位数n；(n)若该校学生测试平均成绩小于 n,则学校应适当增加体育活动时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间?0.0400.0100,00(50.0020.022O.01S【解答】解：(I )由频率分布直方图知,第1组的频率为0.002X 10=0.02,第2组的频率为0.002X 10=0.02,第3组的频率为0.006X 10=0.06,则 mX (0.02+0.02+0.06) =20,解得m=200;由直方图可知，中位数n位于70, 80),

26、则0.02+0.02+0.06+0.22+0.04 (n-70) =0.5,解得n=74.5;分)(R )设第i组的频率和频数分别为pi和i,由图知，p1二0.02, p2=0.02, p3=0.06, p4=0.22, p5=0.40, p6=0.18, pz=0.10,则由i=200X pi,可得1=4, 2=4, 3=12, 4=44, 5=80, 6=36, 7=20,(8 分)故该校学生测试平均成绩是x=!S =74< 74.5,(11 分)所以学校应该适当增加体育活动时间.(12分)20. (12分)已知直线l经过抛物线y2=4的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.(1)若|

27、 AF|=4,求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值.【解答】解：由y2=4,彳3p=2,其准线方程为=-1,焦点F (1, 0).设 A(1, y1)，B (2, y2).(1)由抛物线的定义可知，|AF=1当，从而1=3.代入y2=4,解得y1=± 2s后.点A的坐标为(3, 2M)或(3, - 2.(2)斜率存在时，设直线l的方程为y= ( - 1),代入y2=4整理得：22- (22+4) +2=0. 再设 B (2, y2),则 1 +2=2+Ar.4 | AB| =i+2+2=4+">4.斜率不存在时，|AB|=4, 线段AB的长的最小值为4.AB=A

28、D=AC=321. (12 分)如图，四棱锥 P-ABCD中，PZ底面 ABCR AD/BC, PA=BC=4 M为线段 AD上一点，AM=2MD, N为PC的中点.(1)证明：MN /平面PAR(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【解答】(1)证明：法一、如图，取PB中点G,连接AG, NG,.N为PC的中点, .NG/ BC,且 NG=pC，又 am二二M二2 , bc=4,且 AD / BC, .AM / BC,且 AMJBC,则 NG/ AM,且 NG=AM, 四边形AMNG为平行四边形，则 NM/AG,. AG?平面 PAB, NM?平面 PAB,MN / 平面 PAR法二、在APAC中，过N作NEE±AC,垂足为E,连接ME,222在 4ABC 中，由已知 AB=AC=3 BC=4,彳4 cos/ ACB=”J； 善,. AD/ BC,则 sin/EAM-2cos/EAgW，在 EAM中，91- AM=-AD=2, AE万羔下， lJ占乙由余弦定理得：EM=,卜 ：尸；.：.:.得)，C|)2Ycos/ AEM=2x|x|-9222而在 ABC中，cos/ BAC= +3， 2X3X3 -9 cos/ AEM=cosZ BAC,即 / AEM=/ BAC,.AB/ EM,贝U EM /平面 PAB由 PAL底面 AB