重庆市强基联合体2021届高三数学下学期质量检测试题

1、重庆市强基联合体2021届高三数学下学期质量检测试考生注意：1. 本试卷满分：150分，考试时长：150分钟，试卷页数：6页。2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答題区作答，犁申爹尊即尖半弓竽弩苇花农, 存玖孕卷、.辛啊占弩孕g农。3做选择题时，考生须按照題目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。4. 本试卷分：一.单项选择題（40分）；二.多项选择题（20分）：三.填空题（20分）；四.解答题（70分）。5. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填涂在答题卡指定的位置。一.单项选择题（每小题5分，共8小题，合计40分）1. 已知集合心1,3,/, B

2、 = l,d + 2,若AQB = B,则实数。的取值为（）A1B一1或2C2D. -1 或 12.下列命题为真命题的是（）A.若avbvO,则丄丄B.若d>b>0,则ac1 >he1a bC.若 c > a > b > 0，则"< &D若d>b>c>0.m a a + c 则 T > ；c a c_bb b + c3. 明代朱载堵创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟 四

3、个音律值成等比数列，则有大吕=丁黄钟x太簇,大吕=#（黄钟）夹钟,太簇諾黄钟x（夹钟）'.据此，可 得正项等比数列勺中，5=（）A. ”岬卩宀 q B."岬勺.严C. 咖 j 如“D."咖“ 时j4. 已知"是磁内的一点，且而 AC = 4yf3, ZB AC = 30 ,若厶血C,和画的而积分别为1，上,1 9则一+ 的最小值是（）v yA. 12B. 14C. 16D. 185. 在磁中，满足sin22A + sin2 2B = sin22C,则下列说法中错误的是（）A. C可能为一B. C可能为一C. C可能为一D. 磁可能为等腰4 246. 已知复

4、数硏和冬满足1-8-14/1 = 7512,-4-6/1，|©勺| = 3,贝恨的取值范围为（）A. 0,13B. 3,9C. 0,10D. 3,137. 俄国著名飞机设讣师埃格西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升札 当代著名的 “黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的。1992年，为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空 中客车公司设计并制造了 J340,是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的J310. 假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-P，且各引擎是否有故障是独立的，已知月340飞机至少有3 个引擎正常运行，飞机就可成功

5、飞行：£310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行若要使出40 飞机比出10飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（）2 Jf 2)A.3丿B3丿c- IsJD8. 已知在R上的函数于（兀）满足如下条件：函数于（兀）的图象关于）'轴对称：对于任意xeR,/（2+x）-/（2-x） = 0；当xgO,2时,/（x） = x；函数心（x） = /（2”“ 以），必M ,若过点 （1,0）的宜线/与函数右）（刃的图象在xw0,2上恰有8个交点，在直线/斜率R的取值范围是（）(8 >< 11f 8、r 19A.0.B0,_C. 0、Do,_1 11丿<

6、; 8I 19丿8丿二.多项选择题（每小题5分，共4小题，合计20分；英中选不全得2分，错选或不选得0分）9. 关于双曲线C: - = 1,下列说法正确的是（）452 2A. 该双曲线与双曲线二-匚=1有相同的渐近线5 4B. 过点F（3,O）作直线/与双曲线C交于A、B两点，若AB=5,则满足条件的直线只有一条C. 若直线/与双曲线C的两支各有一个交点，则直线/的斜率Re -X/D. 过点P（l,2）能作4条宜线与双曲线C仅有一个交点10. 若（l + x） + （l + x），+ （l + x）"二绻+“ + 勺 w"，且 5 +“2 + “"-1 = 125

7、-"，则下列结论正确的是（）A. n = 6B. （1 + 2兀）"展开式中二项式系数和为729C. （l+x）+（l + h+（l+x）“展开式中所有项系数和为126D. q + 2a2 + 3a3 hF nan = 32111.当的图象恰有三个交点时，函数 y = sncox+(p)与，= cos(0Y+0)| e>O0lv 兰 2丿P、M、N、且刊许是直角三角形，则（B13 _C.两函数的图象必在 飞兀7x =CD处有交点D.n兀4412. 对于泄义在R上的函数/（X）,若存在正实数a, b,使得fx+a）<f（x）+b对一切XER均成立，则18称/（兀）

8、是“控制增长函数” 在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（）A fx) = exB. /() = 7WC. /(x) = sin(x2)D. /(X)= x-sinx三.填空题（每小题5分，共20分）13. 已知月兀的顶点坐标分别为A（3,4）,B（6,0）,C（-5,2）,则内角人的角平分线所在直线方程为.14. 设随机变量纟N（“bJ ,函数f（x） = x2+2x-没有零点的槪率是0.5,则P（O<<1） =.附：若纟N(”,</),则 P(一crvX <“+b)a06826, P(/-2cr<X </+2cr)0.9544.15. 如图是古希腊数学

9、家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直 径分别为直角三角形ABC的斜边AB、直角边BC、AC, N为AC的中点, 点D在以AC为直径的半圆上已知以直角边AC , BC为直径的两个半圆的3而积之比为3,则cosZfi国0豳三.516. 矩形ABCD中，AB = *、BC = 1,现将ZUQ沿对角线AC向上翻折，得到四而体D-ABC.则该四而体外接球的体积为:设二面角DAC-B的平面角为0.当&在内变化时，|BD|的范围为.,（第一空3分.第二空2分）四.解答题（共6小题，合计70分）17. （本题 10 分）对任意 n>. neN'满足耳屮=2（二+1）： St

10、-2 = Sn+anS”=m”+|"a + l） 5 M）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中问题：已知数列%的 前n项和为Sn,a2 =4,若数列an是等差数列，求岀数列色的通项公式；若数列©不是等差数列，说明理由.18. （本题12分）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多岀现一次故障.各条生产线是否出现故障 相互独立，且出现故障的概率为丄3（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提髙生产效益，该企业决左招聘刀名维修工人及时对岀现故障的生产线进行维修。已知每名维修工人每 月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固左工资为1万元.此外，统计表明

11、，每月在不岀故障的情况下, 每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润：如果出现故障 不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在” 与n = 2之 中选其一，应选用哪个？（实际获利二生产线创造利润-维修工人工资）19. （本题12分）在多而体ABCDE中，平而ACDE丄平而ABC.四边形ACDE为直角梯形，CD/AE.AC丄AE. AB丄BC. CD = . AE = AC = 2, F为DE的中点，且点E满足EB = 4EG-（1）证明：GF/平而ABC.（2）当多面体A3CDE的体积最大时，求二而角A BE一

12、3;>的余弦值.20. （本题12分）在月庞中，A<B<C且tanA, tan3, tanC均为整数.（1）求A的大小:（2）设4C的中点为求黑的值.BD21. （本题12分）已知在平面直角坐标系中，圆川：x 解：因为ACB = B所以，当a + 2 = 3时，“4 = 1,3,1,不满足元素互异性，不成立：当a + 2 =（r时，a = -l或a = 2，° = -1时，A = 1,3,不满足元素互异性，不成立：a = 2时，A = 1,3,4, B = 1,4, 满足条件，所以a = 2,故选：C + / + 2a/7x-57 = 0的圆心为心 过点B（&quo

13、t;,0）任 作直线/交圆月于点u D,过点万作与平行的直线交川Q于点疋（1）求动点E的轨迹方程；（2）设动点疋的轨迹与V轴正半轴交于点p,过点p且斜率为比，心的两直线交动点E的轨迹于M、N两点 （异于点P）,若心+比2=6,证明：直线MV过泄点.22. （本题12分）已知函数/（x） = -7的泄义域为/?（1）当d取得最小值时，记函数于（工）在x = u处的切线方程为y = g（x）.若/（x）ng（x）恒成立且dwZ,求Q的最大值：（2）若/（X）有两个极值点旺和兀2,求证：J色）+ /+ 匸?X + 花4 2a2. 解：对于A选项，当“ =一2" = -1时，不等式不成立，故

14、是假命题：对于B选项，当c = 0时，不满足，故为假命题：对于C选项，当时，士 =昙>£冷不满足，故为假命题对于D选项,>0,由于2"c>0,所以严/需严广、沪b b + cb(b + c)b(b + c) b(b + c)3解：因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所 以正项等比数列中的可由首项6和末项“”表示，因为a” =叩严,所以歼爵,所以 绞勺晋討好I之芦-4芦="咖心4" 故选:C.4. 解：由;O疋=4石，ZBAC = 30 ,可得|ab|-|Xc| = 8,故= | |A

15、c| sinZBAC = 2 ,即 x+y + l = 2, x + y = ,且x > 0,y > 0 ,919v* 9 yI v QrV 9x故一 + _ =(_ + _)(x+y) = _ + + 10n2 + 10 = 16,当且仅当一=一，即y = 3x时取等，故选cx y x yx yy x yx y5. 解：若C = f，取A = f，此时三个内角满足sin2 2A + sin2 2B = 0 +1 = 1 = sin2 2C ,故A正确且424D 正确.若 C =彳,则 sin2 2A+sin2 2B = 0 > 故sin2A = sin2B = 0 ,故2A

16、,2B e(0,2),故2A = 2B = 7t,所以A = B = ->与内角和为龙矛盾，故B错误若C =,取A = B = -,则2A + 2B = -,2 482此时三个内角满足sin2 2A + sin2 2B = - + - = 1 = sin2 2C ,故C正确故选：B2 26. 解：设勺=x + yi,x, yeR,则|-8-14/| = 娜】_4_&|表示点Uy)到点(8,14)的距离是到点(4,6)距离的 的倍.贝9 J(x_8f+(y_14)2 =J(x_4)2+(y_6)2 ,化简得：(x-3)2+(.y-4)2 = 25 ,即复数召在复平而对应得点为以(3

17、,4)为圆心，5为半径的圆上的点.设z2 =ifi + nijnjieRt因为比1一可| = 3,所以点(*)和点(”)距离为3,所以复数6在复平而对应得点为以(3,4)为圆心，2为半径的圆上的点或以(3,4)为圆心，8为半径的圆上的点, |勺|表示点(mji)和原点(0,0)的距离，由图可知近2的最小为3,最大为10 + 3 = 13.故选D7. 解：由题意，飞机引擎正常运行的概率为"，则人310飞机能成功飞行的概率为C；声=p2,A340飞机能成功飞行的概率为Up"1p)+CJp4 =-3卩4 +4p3,令-3/+4/ > 即一3/+切> 1,解得严“所以飞

18、机引擎的故障率应控制的范围屮日故选：c.8. 解：因为函数/(x)是偶函数，由/(2 + x)-/(2-x) = 0W/(2 + x) = /(2-x) = /(x-2)t即/(x+4) = /(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数:若xw2,0,则xw0,2；因为当xe0,2时，/(x) = x,所以"0,2时，f(-x) = -x,因为函数/(x)是偶函数，所以/(-x) = -x = /(x),即/(x) = -x, xg-2,0,则函数/(x)在一个周期-Z2上的表达式为/W = <i 0 S 牙 S 2"一 ，因为/(nl(x) = /(2r,-I-x

19、),所以函数/j4)W = /(8x)t入 9 乙 S * X < VZ丄得到,作岀f4(X)的图象如图:8易知过M(1,0)的直线/斜率存在，设过点(1,0)的直线/的方程为y = k(x + )t 则要使宜线/与扁的图象在氏0,2上恰有8个交点，则o <k<5,因为彳?2,所以k 487 t 11，故0<£< =故选：A.二 +11142 2 2 2 2 29. 解：双曲线C: = 1的渐近线方程可表示为为二- =0,双曲线匸-匚=1的渐近线方程可表示454554为*一宁=0,整理后都是y = 土耳x故A正确:由于双曲线的实轴长为2d = 4, 过焦

20、点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是4,乜), 存在关于尤对称的两种情况，使其弦长为5,另外当直线垂直于x轴时，经il算可得弦长正好是5,故满足条件 的直线有三条，如图所示：故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为土焦点虹轴上，.若直细与双曲线C的两支各有-个交点，则直细的,如图所示：故C正确：由于P(l,2)点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：故过能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切故选：ACD.10. 解：对于A,令X = 1 可得2 +2 + 2*+ +2" = a。+ q +勺_ +即2（1-2"）1-2

21、=5 + 4 + 勺 + + 4一1 + Cln即 a。+ ® + + + 2 , 令x=o,得i+f + ig+r =% 即q = “ 由于（i+盯的展开式中c；：fm,所以5 = 1,所以得：e +。2 + + %-】=2心2 一 1 = 2/,+| fi 3 9 而a】+勺 + + %- = 125 /?,所以2小一一3 = 125-小 解得： =6,故A正确；对于B,由于 =6,则(l + 2x)“ =(l + 2x)&,所以展开式中二项式系数和为26=64»故B错误；对于C,由于 =6,则(l + x)+(l+x)2+-.+(l + x)6的所有项系数为2

22、"利一2 = 2了一2 = 126，故C正确：对于D,由于 =6，则 （l + x） + （l + x）- + + （ 1 + x）" = +ax+a2x2 + +,等式两边求导得：l + 2（l + x） + 3（l + x） + +6（l + x）" =a + 2a2x + 3a3x2 + + 6a6x5,令 x = ,则1 + 2x2 + 3x22 + + 6x25 =q+ 2a2 + 3為 + + 6q = 321,故D正确故选:ACD.11. 解：由sin（fiZ¥ + 0）= cosx（g;+0）可得+ 0 = f + eZ）,而sin彳+

23、炽）的图彖恰有三个交点时，函数y = sin（亦+0）与 y = cos（Qx+0）P、M、N、且PMN是直角三角形，所以该直角三角形斜边上的高为2x =且该直角三角形必为等腰直角三角形，因此斜边为2血，所以2这两个函数的周期都为一Q则& 2屈所以占,即B正确;三角形PMN的而积为Sz=*屁近=2,故A错:y/25龙COX +(P =7TX +(pe (P、+ 0，因为这两个函数恰有三个交点，所以3兀<(p< 449龙 5/r13龙 <+ 0<424TT,又所以2矜吟故D正确;1311因为cox +(p<z9所以两函数的图象在_飞托_®处不可能有

24、交点，故C错故选：BD4Aco12. 解：对于 A. f(x + a)<f(x) + bnjj(x + a)2+(x + a) + <x2 +x+b , 2cix<-a2-a + b“>0,不等式在agR上不恒成立，所以/(a) = x2+x + 1不是“控制增长函数”；对于 B. f(x + a)<Jx)+b 可化为，/x+a</x+b,即 lx+alMxl+F+2bJ7I 恒成立.又Ix + "IVxI+g,故只需保iS.x+ax+b2+2l7/x恒成立即可.b >0,.: J7Tn 警?-,当 a-2b2<0,不等式JT而5祠+/

25、?恒成立，./(x) = J7T是"控制增长函数”：对于 C. .-l</(A)= sin(x2)<l,./(x+«)-/(x)<2 ,« 为任意正数，f(x + a)< f(x)+b成立，.J(x) = sin(x2 )是“控制增长函数”：对于D. f(x + a)<f(x) + b化为，(x + a) sin(x + 6/) < x sin x + /?» 令 q = 2 兀,贝 0 (x + 2) sin < x sin x + b.2frsinx<b,当 b>27T 时，不等式 (x + a)

26、sin(x + a) < xsinx + b faIt, /. f(x) = x-sin x"控制增长函数” 故选:BCD13. 解：=(3,-4),AC = (-8,-6),宜线 AD AC 11"三角形ABC的内角A的平分线的方向向量为+= 2(37) + 777( &-6)= -AS L4C J10的斜率为7,所以直线的方程为y4 = 7(x3),即7xy17 = 0,14解：函数/(x) = x2+2x-没有零点，二二次方程，+2兀一歹=0无实根，. = 44( 一占)<0,1,又 v f(x) = x2+2x- 没有零点的概率是 0.5，1)

27、= 0.5,由正态曲线的对称性知：“ =一1,$N(1,1), “ = l,b = l,.一b = -2, + b =(X“一2b = -3,“ + 2b = 1 , /. P(-2 v 纟 v0) = 0.6826, P(-3<< 1) = 0.9544,P(0 v § < 1)=丄P(-3 v § v 1) - P(-2 <4<0) = l 0.9544 - 0.6826 = 0.13592 215.解：因为以直角边AC. 3C为直径的两个半圆的而积之比为3,所以AC:BC = EZCAB = 26设 ADAB = a、则-<a<

28、;-. KZWC = 2(a-) = 2a-4 ,由已知得:cosa = -6 2635所以 cos la = 2cos2 a 1 = , sin 2a = 所以2525cosZD = cos(2.-£) = cos2os£ + sin2asin£ = .故答案为：-1 16解：已知矩形ABCD中，AB = y/3,BC = .在矩形ABCD中，连接AC和交于点0，. AC = BD = J AB? + BC?=(囲= 2，:.OA = OB = OC = OD = AC = 1,可知点 0 是四而体4,4D-ABC外接球的球心，则外接球的半径r = l，所以该四

29、而体外接球的体积V = -r3=-：3 3在四面体D-ABC中，作BE丄4C交4C于点E, DF丄AC交AC于点F ,再作EG丄AC交CD于点G ,则EG/DF,所以二面角D-AC-B的平而角为ZBEG ,则ZBEG = 在矩形ABCD中，可知 *心,a 所以ac是等边三角形，.込吩眈心。卡，EF = AC 2CE = qC 3Csin30 =1，由四而体Q ABC 可知，BE丄EF , DF1 EF ,则 bE EF = 0'DF EF = 0" BD = BE+ EF+ FD =T>>BE+EF+FD+ 2BEFD=+F+(闿 _2丘丘包+丄2EBFDCOS0

30、447T 71即 Rj|-|cos.,所以当。在内变化时，OScosB詁，则<|B£)|<2,即|加|的范围为BE + EF + FD +2BE EF+2EF- FD+2BE- FD故答案为：.3 |_ 2217.解：若选择条件:因为对任意n>, neN满足Sg+S”“=2(S”+l),所以S,wS”=S“S,+2,即%_©=2,因为无法确定®的值，所以勺一勺不一定等于2,所以数列©不一泄是等差数列.若选择条件：由一2 = S” +均，则Sll+l-S-an=2,即陥-©=2,gN"，又因为勺=4 ,所以q = 2

31、, 所以数列%是等差数列，公差为2,因此数列厲的通项公式为© =2”.若选择条件：因为» =叫+】一八("+1)所以S”_ =)n (n>2/ eN"),两式相减得,an =nan+l-(n-i)an-2n , (n>2),即an-a=2 (w>2),又 S=a2-2,即 “2-5=2,所以 + =2, “wN"，又 “2=4, a2= 2 ,所以 q=2,所以数列q.是以2为首项，2为公差的等差数列.所以5=2 + 20 1) = 2几18.解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X,则X件3?丫2丫3，因此 P(X=1)

32、= C；12_427_9(2)当” =1时,设该企业每月的实际获利为X万元若X=0,则K =12x3 1 = 35：若 X=l,则 =12x2+8x1-1 = 31；若 X=2,则 F； =12x1+8x1+0x1-1 = 19；若 X=3,则X =12x0+8x1+0x2 1 = 7：又諾'P(X=2) = C；諾,P(X=3)= C；1此时，实际获砒的均值硝g茅3lx界9舟+ 7x护77327当川=2时,设该企业每月的实际获利为绻万元若X=0,则§ = 12x3 2 = 34；若 X=l,则 = 12x2+8x1 2 = 30；若x = 2,则E = 12x1+8x2 2

33、 = 26 ；若 X=3，贝 IJK =12x0+8x2+0x1 2 = 14： EK, = 34x + 30x + 26x + 14x =-'2727272727因为EY<EY2f于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n = 1与舁=2之中选其一,应选用n = 219解：(1)分别取 AB、EB 中点M、N ,连结CM、MN、ND.在梯形ACDE中，DC UFA且且M,N分别为BA、BE中点2A MN/EA MN = -EA :.MNHCD、MN = CD2.四边形CDVM是平行四边形CMIIDN又而=-EB. N为£3中点,:.G为EN中点，4又 F 为 E

34、D 中点、:.GF/DN :. GF/CM又 CM u 平而 ABC, GF cz平而 ABC /. GF平而 ABC（2）在平面ABC内，过3作丄AC交AC于H.平面ACDE丄平而ABC,平而ACDEO平而ABC = AC, 阳u平而ABC, BH丄AC,釦丄平而ACDE :. BH即为四棱锥B-ACDE的高， 又底而ACDE而积确左，所以要使多面体ABCDE体积最大，即最大，此时AB = BC = 过点H作HP/AE,易知脑，HC , HP两两垂直，以丽,况,丽为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H_xyz则 A（O-1,O）, 3（100）, E（0,l,2） ,£（0丄1）

35、AB = （1,1,0）、短=（一1,一1,2）,呢=（0,-2,1）设q=（Xi,Z 1）为平而ABE的一个法向量，则n AB = 04 BE = 0兀1 += 0厂召_牙+2召=0设瓦=（心*2,6）为平而的一个法向量，则n DE = 0n BE = 0-2y2 + z2 =0_兀2 _）'2 + 2z? = 0所以cos何用）=7由图，二而角A-BE-D为钝二而角，所以二而角A-BE-D的余弦值为一20解：（1） -A<B<Cf :.A不能是钝角，tanA>0若tanA>2> tan60。=，Ky = tanxE 0,彳 内单调递增，.A>60

36、。L /又 AcBvC, B,C 都大于 60°,与 A + B + C = 7T 矛盾 /. tanA = l,即 A = 45。tan B + tan C(2).A = 45V，B + C = 135% tan(B + C) = tanl35o = -lxtan(C)= =-1,即 tanBtanC1 = tanB + tanC 由 tanB » tanC 均为整数，且 B <C,可得 tan B = 2, tan C = 3则cosB = f ,sinB =琴：ssC = 2,si心乎由正弦定理侖二丽二猛，可得即嬰a趕=気丄2解得 BD = a » 故

37、= = 1BD a2 14b = Lgc = ¥a 又 AC 的中点为 DBA-BC = BD -AC,即 cy cosZABC = |bQ一扌卜个21.解：（1）由圆A：妒+），2 + 2忌_57=0可得（.丫 + 0+尸=64,所以圆心A（J7,0）,圆的半径r = 8,因为 AC = AD = r = 8,所以 ZADC = ZACD 因为 BE/AD .所以 ZADC = ZEBC,可得ZEBC = ZECB,所以 EB = EC,所以 EB + EA = EC+EA = r = S>AB = 2y/l 椭圆的左义可得：点 E的轨迹是以A（-J7,o）.为焦点，加=8的椭圆，即d=4, c = J7,所以戻=/_02 =16 7 = 9,2 2所以动点E的轨迹方程为+ = 1169（2）由（1）知，P（0