空间立体几何建立直角坐标系

1、空间立体几何建立宜角坐标系1. 2015 浙江如图,在三棱柱 ABCAiBiCi 中,/ BAC= 90°, AB= AC=2, AiA=4, Ai在底面ABC的射影为BC的中点，D是BiCi的中点。(1)证明：AiD，平面 AiBC;(2)求二面角Ai BD Bi的平面角的余弦值。解析：(i)证明：设E为BC的中点，连接AiE, AE, DE,由题意得AiE ，平面ABC,所以AiEXAEo因为AB = AC,所以AEXBCo故AE，平面AiBCo由D, E分别为BiCi, BC的中点，得DE/BiB且DE = BiB,从而DE/AiA且DE = AiA,所以AiAED为平行四边形

2、。故 AiD/AE。又因为AE，平面AiBC,所以AiD，平面AiBCo(2)方法一：作 AiFBD 且 AiFABD=F,连接 BiF。由 AE=EB= 2j2, /AiEA=/AiEB= 90 ,得 AiB = AiA = 4。由 AiD = BiD, AiB=BiB,得 AiDB 与 BiDB 全等。由AiFBD,得BiFBD,因此/A1FB1为二面角Ai BD Bi的平面由 AiD = V2, AiB=4, /DAiB=90 ,得BD=3/，AiF=BiF = 4,3i由余弦7E理得cos/ AiFBi = - -o8方法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA, EB为x, y轴的正

3、半轴，建立空间直角坐标系 E xyz,如图所示由题意知各点坐标如下：Ai(0,0,9)，B(0,也 0), D(-V2, 0, Vi4), Bi(-V2, 业 行)。777因此AiB = (0,业炳,BD=(也，也,V14), DBi = (0,国 0)设平面AiBD的法向量为 m=(xi, yi,4)，平面BiBD的法向量为n = (X2, 丫2, Z2)。m AiB=02yi 14zi = 0,-,/2xi /2yi + /T4zi = 0,m BD = 0,可取 m = (0, ® 1)。一nDBi = 0,啦y2 = 0,由即期 加 厂 厂42x2 一42y2 + qi4z2

4、= 0,n BD = 0,可取 n = (", 0,1)。|mn| 1于是 1cosm，n| = |m|n|=8。由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角Ai-BD-Bi的平1面角的余弦值为一-O82. 2016兰州模拟如图，在四棱锥 P ABCD中，PC，底面ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形，ABXAD, AB/CD, AB = 2AD = 2CD = 2, E 是 PB的中点。(1)求证：平面EAC，平面PBC;(2)若二面角P-AC- E的余弦值为坐，求直线PA与平面EAC所成角 的正弦值。解析：(1)证明：.PC，底面 ABCD, /. PCX AC, 底面ABC

5、D是直角梯形，且 AB=2AD = 2CD = 2, .AC = V2, BC = V2O .AB2= AC2+BC2, /. ACXBC,VPCABC= C,AC，平面 PBC,. AC?平面 EAC, 平面EAC,平面PBC。(2)建立如图所示的空间直角坐标系A xyz。设 PC= a,则 A(0,0,0), C(1,1,0),1 3 aE 2, 2，2，P(1,1，a)，B(0,2,0)。1.AC=(1,1,0), AE= 2设平面EAC的法向量为3 av = (x, y, z),2, 2 ， AP=(1,1, a), BC=(1, 1,0)。v AC= 0,x+y= 0,x+ 3y+ az= 0,v AE= 0,令 x=1,则 v= 1, 1, 2 , a.BC,平面 FAC,平面PAC的一个法向量为u=BC=(1, 1,0),设二面角P ACE的大小0,贝 U cosO= v u = |v| |u|2ix 1+ -i x