11.7中考二次函数压轴题专题分类训练

1、中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2,抛物线顶点坐标为点 qi , 4),交x 轴于点A(3 , 0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)求CAB勺铅垂高C彼$ CAB ;(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点 P,使Sa pab= 2 Sa cab,若存在,求出8【变式练习】1 .如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为(2, 0), 连结OA将线段OA绕原点O顺时针旋转120° ,得 到线段OB(1)求点B的坐标；(2)求经过A O B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使 BOC勺

2、周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不 存在，请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？若有，求出 此时P点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说 明理由.2 .如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点 分别为A ( 4, 0)、B (2, 0),与y轴交于点C,顶 点为D. E (1, 2)为线段BC的中点，BC的垂直平分 线与x轴、y轴分别交于F、G(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标;(2)在直线EF上求一点H,使CDH勺周长最小， 并求出最小周长；Bx(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当

3、 到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大面积.3 .如图，已知：直线y x 3交x轴于点A,交y轴于 点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A B、C (1,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D的坐标为(-1 , 0),在直线y x 3上 有一点P,使AABO AADP相似，求出点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上， 是否存在点E,使AADE的面积等于四边形APCE勺面 积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请 说明理由.题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线y = ax2+bx+c (a*0)的对 称轴为x=1,且抛物线经过A(1, 0)、C

4、(0, 3) 两点，与x轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M使点M到 点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点 M 的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求 使/ PCB= 90o的点P的坐标.第D题的【变式练习】1 .如图，抛物线丫=-"-。3与x轴交于A B两点(点 0 qA在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD勺面积等于 ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E (4, 0), M为直线l上的动点， 当以A、B、M为顶点所作

5、的直角三角形有且只有三个 时，求直线l的解析式.第9页共页2 .在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=a(x 1)2 c(a 0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC勺函数 表达式为y kx 3,与x轴的交点为 N,且CO隆BC©=3,10 O 10(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点 C的点P,使以N P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三 角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明 理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MCf点Q.若将抛 物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点

6、，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ y3 .在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y二k (x2+x-1)的图象交于点A (1, k)和点B(-1,-k).(1)当k=-2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数和二次函数都是 y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为 Q当ABQ是以AB 为斜边的直角三角形时，求k的值4.如图(1),抛物线y x2 x 4与y轴交于点A, E (0, b)为y轴上一动点，过点E的直线y x b与抛物线交 于点B C(1)求点A的坐标；(2)当b=0时(如图(2), Aab

7、e与ace的面积大小关系如何？当b 4时，上述关系还成立吗，为什么？(3)是否存在这样的b,使得Aboc是以BC为斜边的 直角三角形，若存在，求出b;若不存在，说明理由.图(1)图(2)第26题题型三：构造等腰三角形【例3】如图，已知抛物线y ax2 bx 3 (aW0)与 x轴交于点A(1, 0)和点B(3, 0),与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点 Q使得 ACQ为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q的坐 标；若不存在，请说明理由；(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称 轴上是否存在点P,使4CMP为等腰三角形？若存在， 请直接写出所

8、有符合条件的点 P的坐标；若不存在， 请说明理由.【变式练习】1 .如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(H m),点B的坐标为(n, - n),抛物线经过 A。B 三点，连接OA OB AB,线段AB交y轴于点C.已 知实数mi n (men)分别是方程x22x3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点 O B 重合)，直线PC与抛物线交于 H E两点(点D在y 轴右侧)，连接OD BD当OPE等腰三角形时，求点P的坐标；求ABOD面积的最大值，并写出此时点 D的坐标.2 .如图，抛物线y ax25ax 4经过 ABC的三个顶点，已 知BC/x轴，点

9、A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；(2)探究：若点p是抛物线对称轴上且在x轴下方的 动点，是否存在PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.3 .已知抛物线y ax2 bx c(a 0)顶点为C (1,1)且过原点。.过抛物线上一点 P (x, y)向直线y 3作垂线，47垂足为M连FM (如图).(1)求字母a, b, c的值；(2)在直线x=1上有一点F(i,(),求以PM为底边的 等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时 PFM为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N (1, t),使

10、PM= PN恒成立，若存在请求出t值，若 不存在请说明理由.y题型四：构造相似三角形【例4】如图，已知抛物线经过 A(-2, 0), B (-3, 3)及原点O,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上， 且A、Q D E为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；(3) P是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P作 PMLx轴，垂足为M是否存在点P,使彳界以P、M A 为顶点的三角形 BOCf似？若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由.第页共页【变式练习】1.如图,已知抛物线经过 A (4, 0), B (1, 0), C (0, -2)三点.

11、(1)求该抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点 D, 使得4DCA的面积最大？若存在，求出点 D的坐标及 DCAM积的最大值；若不存在，请说明理由.(3) P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作 PMLx轴，垂足为M是否存在P点，使得以A P、M 为顶点的三角形与 OAC相似？若存在，请求出符合 条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，二次函数的图象经过点 D(0, 2而)，且顶点9C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长 为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点 P,使PA+PDR小, 求出点P的坐标；(3)在抛物线上是

12、否存在点 Q,使4QA叫ZXABC相 似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说 明理由.【例5】如图,已知抛物线y=错误！未找到引用源。x2 -错误！未找到引用源。（b+1）x+错误！未找到引用源。（b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点 A B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为，点C的坐标为 （用含b的代 数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边 形PCOBB勺面积等于2b,且4PBC是以点P为直角顶 点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P的坐标； 如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q使

13、WAQCO ZQO府口QAB4:的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.【变式练习】1 .如图，平面直角坐标系xoy中，已知点A (2, 3), 线段AB垂直于y轴，垂足为B,将线段AB绕点A逆时 针方向旋转90°,点B落在点c处，直线BC与x轴的交 于点D .(1)试求出点D的坐标；(2)试录经过A、B、D二点的抛物线的表达式, 并写出其顶点E的坐标；(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点f,使得 以点A、E、F为顶点的三角形与4ACD相似.b* A1 "（图7）2 .已知直线y 2x 1与x轴交于点A,与

14、y轴交于点B, 将AO酰点。顺时针旋转90 ,使点A落在点C,点B 落在点D,抛物线y ax2 bx c过点A Dk C,其对称轴与直线AB交于点P,(1)求抛物线的表达式；(2)求/ POC勺正切值；(3)点M在x轴上，且ABMH APD®似，求点M的坐标。3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A (一 1, 0), B (2, 0),交 y 轴于 C (0, - 2),过 A, C 画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且PA=PC,求OP的长;(3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直 线AC相切，切点为H.若M在y轴右侧，且CHMsZa

15、oc (点c与点 A对应)，求点M的坐标；题型五：构造梯形【例6】已知，矩形OAB麻平面直角坐标系中位置如 图1所示，点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0, 2), 直线y 2x与边BCf交于点D.3(1)求点D的坐标；(2)抛物线y ax2 bx c经过点A D O,求此抛物线 的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点 M使。D A M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条 件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1 .已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2一(a + 1) x与直线y = kx的一个公共点为 A(4, 8).(1)求此抛物线和直线的解析式；(2)

16、若点P在线段OAk,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q求线段PQ长度的最大值；(3)记(1)中抛物线的顶点为 M点N在此抛物线 上，若四边形AOMNa好是梯形，求点 N的坐标及梯 形AOMNJ面积.T v1 5-|-2 .已知二次函数的图象经过 A (2, 0)、Q0, 12)两点，且对称轴为直线x = 4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点 P的坐标；(2)如图1,在直线 么=2x上是否存在点Q使四边 吊OPB的等腰梯形？ B存在，求出点 D的坐标；若 不存在，请说明理由匕<3),如图2d ，点M是线段OP上的个初点(,Q P两 点除外以母妙2

17、个单位长度的速度由卓P向点O运 动，过点M作直线MN/ x轴，交PB于点N.为APMN 沿直线MNM折，彳#到4 PiMN 在动点M的运动过正 中，设PiMMt梯形OMN的重叠部分的面积为S,运 力时间为t秒，录S关于t的函薮主索式.第页共.页3.如图1,二次函数y x2 px q(p 0)的图象与X轴交于 A B两点，与y轴交于点C (0, 1), ABC勺面积 为"4(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点M(0, m)彳y轴的垂线，若该 垂线与 ABC勺外接圆有公共点，求 m的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使以A B C、D为顶点的四边形为直角梯形

18、？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由.题型六：构造平行四边形【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(1, 0), B (3, 0), C (0, 1)三点。(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足 条件的点P的坐标。(第24超图)【变式练习】1 .如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数尸|“ (m为常数)的图象与x轴交于点A (-3, 0),与y 轴交于点C,以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c (a, b, c为常数，且a为)经过A, C两 点，并与x轴的正半轴交于点B.(1)

19、求m的值及抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点 E作直线 AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使 得以A, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积； 若不存在，请说明理由；(3)若P是抛物线对称轴上使 4ACP的周长取得最 小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交 抛物线于Mi (xi, yi), M2(x2, y2)两点，试探究In I In 7是否为定值，并写出探究过程.2 .如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0, 4)、0(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M

20、为第三象限内抛物线上一动点，点 M的 横坐标为mi MAB勺面积为S,求S关于m的函数关 系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点 Q是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q B、。为 顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q的坐标.3.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A ( 3, 0), 点B (1, 0),交y轴于点E (0, - 3) ,点C是点A 关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l 过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴 于D点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线 与直线C

21、眩于点H,与抛物线交于点G,求线段HG 长度的最大值；(3)在直线l上取点M在抛物线上取点N,使以点 A, C, M N为顶点的四边形是平行四边形，求点 N的 坐标.【例8】已知平面直角坐标系xOy (如图1), 一次函数y 3x 3的图像与y轴交于点A,点M在正比例函数4y 3x的图像上，且MO= MA二次函数 27y=x2+bx+c的图像经过点A、M(1)求线段AM勺长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点 A下方，点C在上述二次函数的图像上，点 D在一次函数y ' 3的图4像上，且四边形ABCD1菱形，求点C的坐标.【变式练习】1.将抛物线Ci： y T

22、3x2百沿x轴翻折，得到抛物线C2, 如图1所示.(1)请直接写出抛物线C2的表达式;(2)现将抛物线ci向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M与x轴的交点从左到右依 次为A B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平 移后得到新抛物线的顶点为 N,与x轴的交点从左到 右依次为D E.当B D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中,是否存在以点 A Nk E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由.题型七：线段最值问题【例9】如图，抛物线y=；x2+bx- 2与x轴交于A, B 两点，与y轴交于CM且A ( - 1, 0).(1)求

23、抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)判断 ABC的形状，证明你的结论；第页共页(3)点M (mi 0)是x轴上的一个动点，当 MC+M的【变式练习】1 .如图，已知抛物线 y = ax2+bx+c与y轴交于点 A(0, 3),与x轴分别交于R1 , 0)、Q5, 0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA勺中点M出发，先到达x轴 上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路 径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径 的长.2 .如图13,抛物线y=ax2+bx + c(a w0)的顶点为(1,4),交x轴于A B,交

24、y轴于D,其中B点的坐 标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y 轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物 线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存 在一点H,使H G F、H四点围成的四边形局长最小. 若存在，求出这个最小值及 G H的坐标；若不存在， 请说明理由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x 的垂线，垂是为M过点M作直线MN/ BD交线段AD 于点N,连接MD使DN® ABMD若存在，求出点 T的坐标；若不存在，说明理由.【能力提升】1.已知，如图11,二次函数y ax22ax 3a (a 0)图象的顶点 为H,与