用空间向量解立体几何问题方法归纳学生版

1、用空间向量解立体几何题型与方法.平行垂直问题根底知识直线l的方向向量为a=( (a1,b1,c1).).平面 a,a,3 3 的法向量u=(a3,b3,c3),v=(),v=(a4,b4,C4) )(1)(1)线面平行：l/a?a.Lu? ?au=0?=0?aia3+bib3+ciC3=0=0(2)(2)线面垂直：I,a?I,a?a/u? ?a=ku? ?a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3(3)(3)面面平行：a/傥 u/u/v?u=?u=kv? ?a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4(4)(4)面面垂直：a_L?u-Lv? ?uv=0?0?a3a4+b3b4+c3c4=0 0例 1

2、 1、如下图,在底面是矩形的四棱锥P- -ABCD中,PAL底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.2.(1)(1)求证：EF/平面PAB;(2)(2)求证：平面PAD,平面PDCWord资料使用空间向量方法证实线面平行时,既可以证实直线的方向向量和平面一条直线的方向向量平行,然后根据线面平行的判定定理得到线面平行,也可以证实直线的方向向量与平面的法向量垂直；证实面面垂直既可以证实线线垂直,然后使用判定定理进行判定,也可以证明两个平面的法向量垂直.例 2 2、在直三棱柱ABCABiCi中,/ABC=90,BC=2,CC=4,4,点E在线段BB上,且EB=1,D,F

3、,G分别为CCi,CiBi,C1A1的中点.求证：(i)(i)BiD,平面ABD;(2)(2)平面EGF/平面ABD. .利用空间向量求空间角根底知识(i)向量法求异面直线所成的角：假设异面直线a,b的方向向量分别为a,b,异面直线所(2)(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n,n,直线的方向向量 a,a,设线面所成的角成的角为0,0,那么 coscos0=0=|cos|cosa,b|=a,b|=| |ab| | |a|b|.|.Word资料.I.In na| |为0,那么 sinsin0=|cos|cosn,an,a|=,.|.|n|a| |(3)(3)向量法求二面角：求出二面角a

4、l3的两个半平面a与3的法向量ni,n2,4一一,、,一一入一.|.|n1n2| |右一面角a-13所成的角.为锐角,那么 coscos0=|cos|cosm,nm,n2|=1n111n?|；| |n1n2| |右一面角 a-la-l3 3 所成的角.为钝角,那么 coscos0=0=-|cos-|cosm,nm,n2|=-；.| |ni|n2| |例 1 1、如图,在直三棱柱ABCi- -ABC中,ABAC,AB=AC=2,AA=4,点D是BC的中点.(1)(1)求异面直线AiB与CiD所成角的余弦值；(2)(2)求平面AD.与平面ABA所成二面角的正弦值.例 2 2、如图,三棱柱ABCAi

5、Bi.中,CA=CB,AB=AA,BBAA占 60.60.(i)(i)证实：ABXAiC;(2)(2)假设平面ABC,平面AAiBiB,AB=CB,求直线AiC与平面BBCiC所成角的正弦值.Word资料(1)(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论.(2)(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角 a a 不一定是直线的方向向量的夹角氏即 COSa=|COSCOSa=|COS 引两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能两法向量夹角的补角为所求.例 3 3、如图,在四棱锥&AB

6、CD中,ABXAD,AB/CD,CD=3 3AB=3,平面SAD,平面ABCD,E是线段AD上一点,AE=ED=/3,SEXAD. .(1)(1)证实：平面SBEL平面SEC(2)(2)假设SE=1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.Word资料例 4 4、如图是多面体ABCAiBiCi和它的三视图.线段CCi上是否存在一点E,使B平面AiCO?假设不存在,请说明理由,假设存在,请找出并证实;(2)求平面OAC与平面ACA夹角的余弦值.Word资料三.利用空间向量解决探索性问题例 1 1、 如图 1,1,正ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,E,F分别是AC和BC边的中点,现将ABC

7、沿CD翻折成直二面角A- -DC- -B(如图 2).2).试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)(2)求二面角 EDRCEDRC 的余弦值;BP在线段BC上是否存在一点P,使APIDE?如果存在,求出工；的值；如果不存在,BC请说明理由.Word资料1 1 空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断2 2 解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把化为“点的坐标是否有解,是否有规定围的解等,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法例 2 2、.如下图,在直三棱柱ABC- -AiBl lCi中

8、,ZACB=90,AAi=BC=2 2AC=2.2.(1)(1)假设D为AAi中点,求证：平面BCD,平面BiCQ;(2)(2)在AAi上是否存在一点 D,D,使得二面角Bi- -CCi的大小为 60?60?Word资料是否存在问题转四.空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性,能把“非运算问题“运算化,即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题.解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系,因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点.一、经典例题领悟好例 1 1、如图,四棱锥P- -ABCD中,PA,底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,兀./ACB

9、=ZACD=-,F为PC的中点,AFPB.3 3求PA的长；(2)(2)求二面角B-AF- -D的正弦值.Word资料建立空间直角坐标系的根本思想是寻找其中的线线垂直关系此题利用ACBD,假设图中存在交于一点的三条直线两两垂直,那么以该点为原点建立空间直角坐标系垂直关系时,要通过其他条件得到垂直关系,在此根底上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系,注意建立的空间直角坐标系是右手系,正确确定坐标轴的名称例 2 2、如图,在空间几何体中,平面ACD,平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2.2.BE与平面ABC所成的角为 6060, ,且点E在平面ABC的射影落在/ABC的平分线上.(1

10、)(1)求证：DE/平面ABC;(2)(2)求二面角 EBGAEBGA 的余弦值.在没有明显的Word资料专题练习1 1.如下图,在多面体ABCD-AiBiCiDi中,上、下两个底面AiBiCiDi和ABCD互相平行,且都是形,DDd底面ABCD,AB/AB,AB=2AB=2DDi=2a.(i)(i)求异面直线ABi与DDi所成角的余弦值；.(2)(2)F是AD的中点,求证：FBL平面BCGBi. .$ $3 3 . .如图(i),(i),四边形ABCD中,E是BC的中点,DB=2,2,DC=i i, ,BC=乖,AB=AD=啦.将图(i)(i)沿直线BD折起,使得二面角A- -BD- -C为

11、 6060, ,如图(2).(2).(i)(i)求证：AEL平面BDC;(2)(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.Word资料4 4.如下图,在矩形ABCD中,AB=3 小,AD=6,BD是对角线,过点A作AELBD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将ADE向上折起,使点D到点P的位置,且PB=.41.41.(1)(1)求证：PO,平面ABCE(2)(2)求二面角EAP- -B的余弦值.Word资料5 5 .如图,在四棱锥P- -ABCD中,侧面PAD,底面ABCD,侧棱PA=PD=址,PAXPD,底面ABCD为直角梯形,其中BC/AD,ABAD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)

12、(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)(2)求B点到平面PCD的距离；6PQ.,(3)(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q- -AC- -D的余弦值为为-?假设存在,求出奇的3 3QD值；假设不存在,请说明理由.6 6.如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA,底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1.1.M是棱SB的中点.(1)(1)求证：AM/平面SCD;(2)(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；设点N是直线CD上的动点,MN与平面SAB所成的角为9,求 sinsin.的最大值.Word资料7 7、如图,四边形ABE林口四边形ABCD均是直角梯形,/FAB=/DAB=90,AF=AB=BC=2,AD=1,FAXCD.(1)(1)证实：在平面BCE上,一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)(2)求二面角ECD- -A的余弦值.8 8、如图,在四麴隹P- -ABCD中,PD,平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=23,E是PB上任意一点.(1)(1)求证：ACDE;1515(2)(2)二面角A- -PB-D的余弦值为学,假设E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值.Word资料9 9、如图 1,1,A,D分