时间序列复习

1、测试题型：填空题2*5,计算题6*10,表达题：1*10,案例分析题1*15,证实题1*5熟悉书上根本知识点！计算题和案例分析主要分布在书上第三章、第四章和第五章,尤其是第三章.以书上例子和课后习题为本！所以220.166.当k方程为：3时,广生偏相关系数的相关序列为31,32,33,相应Yule-Walker313233所以330.047.类似书上第3题2.Dt20.5(10分)AR(2淞型为(10.5B)(10.3B)Xtt,类似书上第9题1.(10分)MA(2)模型：Xt(1)计算自相关系数解：(1)EXtXtkkE(k1)；(2)计算偏相关系数t0.7t1所以:0,0(11*222)2

2、,kt0.7kk(k0.4t2)(tk0.7t1k1,1(t10.4t2,1,2,3);0.4t2k)2,10,所以:1222120.59,2122I120,k3.0.24,(2)1110即111,所以110.59.当k为：2时,广生偏相关系数的相关序列为22,相应Yule-Walker方程(1)计算偏相关系数kk(k1,2,3);(2)Var(Xt).Word文档资料解(1)(10.5B)(10.3B)XtXt0.8Xt10.15Xt1所以：10.8,20.15对于AR(2)模型其系数满足0.80.15为:所以0.69565和1110.40652,111,1110.695652时,广生偏相关

3、系数的相关序列为22,相应Yule-Walker方程22(1)1112122110.14999对于AR(p)模型其偏相关系数具有以下特点kj0P1jP1jk,P,所以,2220.1533(2)E(XtXt)E(1Xt1Xt2Xt2XttXt),r01r12Et(1Xt12Xt2t)缶2r22,r101,r2r02.因10.8,2一一20.15,a10.695650.40652.所以：Var(Xt)00.99116.3.检验以下模型的平稳性与可逆性,其中t为服从正态分布的白噪音.(1)xtXt-12xt-2tWord文档资料Xt0.8xt.11.4xt2t1.6ti0.5t2解：AR(p)模型平

4、稳性的特征根判别法要求所有特征根绝对值小于1,AR(1)模型平稳性的平稳域判别法要求|1|1,AR(2)模型平稳性的平稳域判别法要求：|2|1,211.4、设一元时间序列XJ服从如下的AR(2)模型XtXt10.5Xt2Word文档资料(1)特征方程为：220由特征根判别法：非平稳；或|2|21,2131,2又为AR模型,故可逆.21.41.41210.81.40.61,211.40.82.212I0.50.51210.51.62.11,210.51.61.11综上,该模型非平稳、不可逆.即(1)(2)0,11,22,1不小于1,平稳域判别法：非平稳所以模型非平稳;所以模型不可逆,(1)判断X

5、.是否平稳的,说出理由.(2)计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%勺预测区问(0.9751.96)(3)计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：AR(2)模型的滞后多项式为2(B)1B0.5B由(B)0,可得方程的两个根为B11i,B21i,|B1|1,|B2|1所以XJ是平稳的序列.或者特征根方法.(2)基于AR(2)模型的预测公式知X10(1)X100.5X90.30.10.2X10(2)X10(1)0.5X100.20.150.05对应的预测误差为G01G11G01所以预测误差的方差为var(e10(1)G；20.1var(e0(2)(G0G12)20.2其中Xi.0.3,X

6、902t为服从正态分布的白噪音,Var(1)0.1,试求:由e10(1)N(0,0.1),e10(2)N(0,0.2)Word文档资料知预测值95%勺预测区间分别为0.21.96*V0?1,0,051.96*702即第11期和12期的预测值95%勺预测区间分别为0,42,0,82,0,83,0.93(3)根据的AR(2)模型,可推出自相关函数满足ii10.52,l2由11,01知12/3,21/6,31/65、设一元时间序列XJ服从如下的AR(2)模型(10.5B)(10,3B)Xtt其中 B 为滞后算子,X1000.1,X990.2,t为服从正态分布的白噪音,Var(1)0.1,试求(1)如

7、果AR(2)模型用Xt1Xt12Xt2t形式表示时,那么系数1,2为多少,并判断XJ的平稳性,说出理由.(2)计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%勺预测区问(0.9751.96)(3)计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值解：(1)根据滞后算子的定义BXtXt1,我们有Xt0.8Xt10.15Xt2tAR(2)模型的滞后多项式为Word文档资料(B)10,8B0.15B2由(B)0,可得方程的两个根为Bi3/10,B22,|Bi|1,B|1所以Xt是平稳的序列.基于AR(2)模型的预测公式知尺00(1)0.8X1000.15X990.080.030.05X100(2)X100(1)0

8、.15X1000.040.0150.025对应的预测误差为G.1G1G01所以预测误差的方差为22_var(e10(1)G.0.1._22_var(ew(2)(G.G1)0.164由(0N(0,0.1),00(2)N(0,0.164)知预测值95%勺预测区间分别为0.051.96*.0.1,0.0251.96*9164(2)根据的AR(2)模型,可推出自相关函数满足0.810.152,l2由11,01知116/230.696,20.41,30.223Word文档资料6、设一元时间序列XJ服从如下的ARMA(1,1)模型Xt0.8Xti0.6tit其中X1000.3,loo0.01,t为服从正态

9、分布的白噪音,试求：(1)判断XJ是否平稳的,说出理由.(2)把ARMA(1,1)模型表示为MA()的形式.(3)给出下期的预测值,预测误差和误差的方差及预测值(0.9751.96).解：(1) ARMA(1,1)模型的自回归滞后多项式为(B)10.8B由(B)0,可得方程的1个根为B15/41所以Xt是平稳的序列.(2)(10.8B)Xt(10.6B)tXt(10.6B)(10.8B0.82B2)t(10.6B0.6*0.8B20.6*0.82B3)t一-j1t0.6*0.8jtjj1(3)基于ARMA(1,1)模型的预测公式知X1000.8X1000.61000.240.006由于G01,

10、G11Go10.80.60.2所以预测误差的方差为Word文档资料Var(1)0.0025,95%勺预测区间0.234eioo(1)N(0,0.0025)知一步预测值95%勺预测区间分别为0.2341.96*.0.0025即第101期的预测值95%勺预测区间为0.136,0.332O7、设一元时间序列Xt满足如下方程XtXt1t其中X.0,为常数,t为服从正态分布的白噪音,Var(1)2,试求(1)判断XJ是否平稳的,说出理由.(2)定义YtXtXtXt1,判断Yt是否平稳的,说出理由.(3)计算Xt的l阶自协方差函数.(4)计算Xt与Xt1的自相关函数.解：(1)根据关系式XtXt1t知Xt

11、tX012t所以EXtt知,期望为关于时间t的函数,所以Xt是非平稳的序歹I.(2)由YJ的定义知,22Var6100(1)Go0.0025Word文档资料YttMA(0)所以YJ平稳根据XttX0122,显然Var(Xt)t,对l0,8、考虑一强平稳的ARCH(1世程如下Xttt,和t其中t为服从N(0,1)分布的白噪音,t(Xt,Xt1,X1,),试计算：2E(X；).对k1,Var(Xtk|t).把Xt2表示AR(1)模型的形式；E(Xt4)解:E(Xt2)E(t2)0可推出：当k1时,Xt1的条件方差为:Cov(Xt,Xti)Cov(1t,12ti)(tl)Cor(Xt,Xt1)(t1

12、)2=t2(t1)2tX201Xt1常数00,1(QV3/3),记(1)根据强平稳性,对上述方程两边取期望,并利用t和t的独立性知:2E(Xt2)-011Var(Xt1|t)1X：,Word文档资料记兄1Var(Xt1|t),9、考虑一强平稳的GARCH(1,1)过程如下：Xttt和t01Xt11t1其中t为服从N(0,1)分布的白噪音,常数00,10,记t(Xt,Xt1,XI,),试计算：所以,一般地有Var(Xt2|t)1Xt21Var(Xtkt)其中X2-Var(Xtt)2(1),那么有:Xt2t2(1)1由t21Xt21即知:Xt21X；1这为AR(1放型的表示形式.(4)由t为服从N

13、(0,1)分布的白噪音知,E(X：)3E(：),所以E(t4)1E(X21)E(Xt)_4E(Xt)(1302(11)32)(1Word文档资料2E(X：).对k1,Var(Xtk|t).把Xt2表示ARMA模型的形式;E(X：)o解:(1)根据强平稳性,对上述方程两边取期望,并利用t,和t的独立性知可推出当k1时,记兄1一2一2E(Xt)E(t)2、1)E(Xt1)E(Xt2)Xt1的条件方差为Var(Xti|t)Var(Xt1|t),X-.所以,一般地有其中X2klVar(Xtt21),Var(Xt2|t)Var(Xtk|那么有Xt2t)XtIX：1121,t1为服从N(0,1)分布的随机

14、数MI1容11*t2k1由t21Xt21Xt2Word文档资料(1)11Xt211(Xt21这即为ARMA(1,1)模型的表示形式.(4)由t为服从N(0,1)分布的白噪音知,E(Xt4)3E(： ),12Xt41t41201Xt211t2121122t1Xt所以E(Xt4)_23p(1(1212(11)I)2)(111)10.使用指数平滑法得到Xt15,t15.26,序列观察值Xt5.25,Xt15.5,求指数平滑系数(5分)解:XtXt(1)Xt5.255(1)50.2511.XT解:XT1Xt1Xt1(1_20.250.7513得10.4,25即平滑系数为0.4某一观察值序列最后,)Xt

15、0.26(舍去)5.5(104期的观察值为:6.2,使用4期移动平均法预测XT2o使用4期移动平均法预测14XT31二XT24XT2XT1Word文档资料)(50.25)5.26XT35,XT25.4,XT15.8,XT1XTXTXT155.45.86.2c5.645.45.86.25.65.75412.试推导一般ARMA(1,1)模型xt1xt.1t1t-1的传递形式和逆转形式；并进而给出ARMA(1,1)模型为：xt0.5xt.1逆转形式代入10.5,10.8,得t10.3B0.24B20.30.82B30.8t-1的传递形式与解：(1)ARMA(1,1)模型xt1xt-1t1t-1的传递

16、形式:(1xt(11B)trt(1(11B12B2)22xt1(11)B(111)B1)B31k1k11)Bk代入10.5,10.8,得_22_3xt10.3B0.15B0.30.5Bk1k0.30.5Bt(2)ARMA(1,1)模型xt1xt-1t1t-1的逆转形式:(11B)xt(11B)t(11B22、t-xt(1(11B1B)xt(11B)t1(11)B(111)B111)B1k1k11)Bkxt0.30.8k1BkxtoWord文档资料13.下表是某序列季节指数计算表,请在空白处填上准确结果.月、平妁气温U月平均欧业节指数1995199S1S971996196920001-0.7-0

17、.7-2.2-9.8-9.8-9.9-1.66.4310-0.25S22.1-0.41.32.42-2-1,51.02O.07S3九76.28.77,64,38,17.180.551414.714.314.515.014.414.614.581119519.821.620.0:19.9以520.420.201.5506加,325.424.623.t苏426.725.001.919725.925.528.2:2a.52S.129.62730m为825.4P2,926.6:25.125.525,725381.94S919.020.716.622.220.921/S20531.576101014.5

18、12.814.014.E13.012.613.62IZT045117.74.25.44.2日3.0小瓦0.3861212-0.4 40.9T.50,1-0.6一口.6闻J5-0.027总平均工二1工03Word文档资料表达题:1 .简述强平稳时间序列和弱平稳时间序列的概念和关系.答：满足如下条件的时间序列Xt,tT称为强平稳序列对任意的正整数m,任意的ti,t2,tm,及任意的h,有D(Xti,Xt2,Xtm)(Xtih,Xt2h,Xtnh)即有限维分布关于时间平移不变.满足如下条件的时间序列Xt,tT称为弱平稳序列_2_1) EXt,tT.2) EXt,为常数,tT.3) (t,s):Cov

19、(Xt,Xs)(ts),t,s,tsT.通常情况下,强平稳(2阶矩存在)能推出弱平稳成立,而弱平稳序列不能反推强平稳.2阶矩不存在的强平稳序列不满足弱平稳条件,而当时间序列服从多元正态分布时,弱平稳时间序列可以推出强平稳.2 .表达时间序列建模的思想和一般方法.Word文档资料答：任何时间序列数据都有自己的生成机制,但是如何揭示和描述时间序列的数据生成机制呢？这需要利用时间序列模型对数据生成机制进行逼近或者近似,这就需要寻求建立时间序列模型的根本过程.(1)建立模型一个根本出发点是,所采用的模型越节俭越好,所要估计的参数越多,模型出现错误的可能性就越大.(2)即使一个复杂的模型描述和模拟历史数

20、据的水平很好,但是有时进行预测时的误差却很大.一般步骤为：(3)如果有必要,可以对数据进行变化,使得数据的协方差平稳性变得合理.(4)对于描述平稳性数据的ARMA(p,q)模型的阶数做出一个初始的数值比拟小的猜想.(5)估计自回归和移动平均算子多项式中的系数.(6)对模型进行诊断分析以确定所得到的模型确实与观测到的数据具有类似的特征.其中数据变化主要根据经济时间序列的特征,对数序列的差分是非常常用的变换方法.时间序列模型的诊断是模型修正的手段.3 .写出ARIMA(p,d,q)模型,并表达建模步骤.(能用自己的语言组织起来)解：ARIMA模型建模步骤如下Word文档资料拟合ARMA模型4 .单

21、位根检验的原理是什么？请列举常见的单位根检验方法有哪些？答：由于虚假回归问题的存在,我们在进行动态回归模型拟合时,需要检验序列的平稳性.又由于图检验法的主观性过强,故我们引入单位根检验.单位根检验是指检验特征方程的特征根在单位圆,还是在单位圆上(外)：来判断序列是否平稳的检验.原假设：序列xj是不平稳的,即Ho：|i|1备择假设：序列xj是平稳的,即Ho：|i|1常见的单位根检验方法有：(1) DF检验一针又tAR(1澈型；(2) ADF检验一DF检验的进一步修正,适用于AR(p)(p1)模型；(3) PP检验一适用于异方差的情形,而ADF检验只适用于方差齐性的条件下.5 .GARCH(p,q

22、)模型的表达式,并说明它们的根本假设.获得观察值序列分析结束6 .X11季节调整模型的计算过程(加法模型和乘法模型).Word文档资料证实题：1、在时间序列分析中,使得预测均方误差到达最小的预测是给定Xt时,对Yti一一-、*的条件数学期望,即：Yti|tE(Yti|Xt)o证实：假设基于Xt对Yt1的任意预测值为：*YtWg(Xt)那么此预测的均方误差为：MSE(Yt*i|t)EYtig(Xt)2对上式均方误差进行分解,可以得到：MSE(Ytt)EYtiE(Yti|Xt)E(Yi|XJg(Xt)2EYtiE(Yti|Xt)2E(Yti|Xt)g(Xt)22EYtiE(Yti|Xt)E(Yti

23、|Xt)g(Xt)其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法那么)：EYtiE(Yti|Xt)E(Yti|Xt)g(Xt)0因此均方误差为：MSE(Y*i|t)EYtiE(Y|Xt)2E(Yti|Xt)g(Xt)2为了使得均方误差到达最小,那么有：g(Xt)E(Yti|Xt)此时最优预测的均方误差为：MSE(Yt*i|t)EY-E(Yti|XJ23.证实题：(i)对于任意常数c,如下定义的无穷阶MA序列一定是非平稳序列：(i0分)_2XttC(t1t2),tWN(0,)Word文档资料所以序列是非平稳序列.2EytE(t(C1)0VarytVar(t(C1)t1)2(C1)22常数所以一阶差

24、分序列是平稳序列.案例分析题1:列怎么处理?图3为经过处理的平稳序列yt的时序图,可见其是平稳的.该平稳序列的自相关系数图如图4所示,对该序列进行纯随机性检验.观察该平稳序列的自相关图图4和偏自相关图图5,试判断应该用什么模型拟合该平稳序列.Autocorrelations:YAuto-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751Box-LjungProb.Word文档资料2Xt的一阶差分序列一定是平稳序列.ytxtxt1证实:ExtE(tC(tit2)(1)VarxtVar(tC(tit20)C2(2常数ytxtxt1tC(t1t2)t1C(t2)t(C

25、1)t11.某时间序列xt的时序图如图2,可知其不平稳,为了使其平稳化,需对序2.3.图2:序列xt时序图图3:序列yt时序图1.538.160.*.*11.304.0012.208.158.*.13.039.0013.090.155.*.13.376.0044-.142.153.*.14.242.0075-.101.151.*.14.694.0126-.118.148.*.15.330.0187-.148.146.*.16.361.8.143.*.16.764.0339.166.140.*.18.156.03310-.012.*.18.163.05211-.135.*.18.217.12-.

26、132.*.18.331.10613-.084.130.*.18.752.131PlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits图4:序列yt自相关图PartialAutocorrelations:YPr-Aut-Stand.LagCorr.Err.-1-.75-.5-.250.25.5.751.538.167*-.115.167*.039.167Word文档资料5.162.167.*.6-.178.167.*.7.167.*.8.610.167.*.*9.167.*.10-.258.167.*.11.044.167.*.12.043.16

27、7.*.13-.039.167.*.14-.156.167.*.15.219.167.*.16.009.167.*.PlotSymbols:Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits图5：序列yt偏自相关图4.利用最小二乘法估计该模型参数,估计结果如表2,试根据以下软件输出结果分别写出xt和yt的估计结果即模型.表2：DependentVariable:yMethod:LeastSquaresVariableCoefficienStd.Errort-StatisticProb.tC5.0154432.1295022.3552180.0244Word文档资料4

28、-.670.167*0.7078730.1264985.5959370.00005 .残差的纯随机性检验结果如表3,试进行模型有效性检验和参数显著性检验.表3:残差的纯随机性检验残差自相关系数延迟阶数Q统计量P值63.64580.601127.86980.7251811.0.8546 .给出序列xt所拟合模型白名称如ARMAp,q等,指明各个参数的值及含义解答：1 .答：由于原序列呈现出线性递增趋势,故适合用一阶差分运算使其平稳化.2 .解： 由于根据延迟1到3期自相关系数计算的LB统计量的p值全部小于0.05,所以拒绝纯随机检验原假设,接受备择假设,即,序列yt为非纯随机序列,其中含有可提取

29、的信息.3 .答：序列yt的自相关系数图4一阶截尾,偏自相关系数图5呈拖尾,故应该选择MA1模型拟合该序列.4.解：yt5.01t0.708t1Word文档资料MA(1)xtxt15.01t0.708t1xt5.01xt1t0.708t15.解：(1)模型的有效性检验由于模型残差自相关系数延迟6、12、18期Q统计量的p值均大于0.05,即接受纯随机性的原假设,认为残差序列中没有信息,也即模型拟合有效.(2)参数显著性检验,由表2可见,两参数t检验p值均小于0.05,故参数显著.6.解： 对xt拟合的是ARIMA(0,1,1)模型,其中p=0,表示自回归阶数；q=1,移动平均阶数为1;1=1,

30、表示对xt做一阶差分后拟合MA(1)模型.案例分析题2:1 .下面是用SAS程序得到的一列序列的样本自相关函数,请判断它是几阶截尾的,根据它可以判定该数据可以用什么模型拟合？AutocorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891StdError0.7981.00000|l*l1-54.504114-.38988|*|.1242.5536090.30439|.|*13-23.144178-.16555|.*|.149.8864020.07072|.|*.15-13.565875-.09704|.*|.16-6.578560-.

31、04706|.*|.174.9450820.03537|.|*.18-6.075359-.04346|.*|.19-0.670493-.004801.1.1102.0121280.014391.1.11115.3661780.10992|.|*.112-9.615079-.068781.*1.12 .下面是用SAS序得到的一列序列的样本偏自相关函数,请判断它是几阶结尾的,根据它可以判定该数据可以用什么模型拟合？PartialAutocorrelationsWord文档资料LagCorrelation-1987654321012345678911-0.38988|*|.20.17971|.|*.30.00226|.4-0.04428|.*|.5-0.06941|.*|.6-0.