解直角三角形题型带解析

1、解直角三角形题型一带解析作者:日期:1、（2 0 17 ?河南）如图所示，我国两艘海监船A, B在南海海域巡航，某一时刻,两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C,此时,B船在A船的正南方向 5海里处，A船测得渔船C在其南偏东4 5方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53 - 住,cos53，t a n53°，5531.4 1)【解答】解：如图作CE丄AB于E .【分析】如图作C E± AB于E.设AE=E C=x，则BE=x- 5,在R

2、tB CE中，根 据tan 5 3°苓,可得刍-,求出X，再求出BC、AC,分别求出A、B两船到C的BE 3 k5时间，即可解决问题.在 RtAACE中/ A=45, A E= EC设 AE=EC=x，贝UB E=x 5,tan53 晋,解得x=2 0 , AE=E& 20, AC=20 后28.2,B C曇厂=25, A船到C的时间°警=0.9 4小时,B船到C的时间=1小时, C船至少要等待0.94小时才能得到救援.2、（2 016?可南）如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶 部A点的仰角为3 7°,旗杆底部B点的俯角为45

3、76;升旗时，国旗上端悬挂在距地 面2.2 5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：S i n 37。°0 . 6 0,coS3 T° 0.80,tan 37° 0. 75)【分析】通过解直角 BCD和直角 AC D分别求得BD、CD以及A D的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由 速度 =上閉器度”进行解答即可.【解答】 解:在RtBCD中，BD = 9米，/ BC D=4 5°,则BD=C D=9米.在 RtAC D 中,C D=9米，/ACD

4、=37° 贝 U AD=C D?ta n37°° 9X 0. 75=6.7 5（米）.所以，A B=AD+BD= 15.75 米, 整个过程中旗子上升高度是：15.75- 2 .2 5= 13. 5 （米）, 因为耗时45s,所以上升速度V 答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.3、（2 0 15?可南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30。,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48。,若坡角/F AE=30。，求大树的高度（结果 *0 .67, ta n4 8 o 1.1

5、1,亦-在直角三角形AH D中,保留整数，参考数据:sin4 8°0 . 7 4, cos48V/ DAH=30 :AD =6, DH=3,A十 33,二 C（G= 3,在直角三角形ABC中，AC =BCtanZBAC 1.11 '设BC为X,-DG = 3 , BG=x- 3,在直角三角形BD G中， BG= DG?ta n30°, X-3=(3讥古瘁解得：x 13,大树的高度为：1 3米.4、（2 014?可南）在中俄海上联合-20 14 ”反潜演习中，我军舰A测得潜艇CB测得潜艇C的俯角为（结果保留整数，参考6 8 °试根据以上数据求出潜艇C离开海平

6、面的下潜深度.在Rf ACD中，C D刍俏胪在R t BCD中，BD=C D?t a n6 8°'I 000+x =0x ?ta n68 °解得：x卡rri?煤r30 8米,海平面的俯角为30。，位于军舰A正上方100 0米的反潜直升机潜艇C离开海平面的下潜深度为 308米.5、（2013?河南）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的1 6 2米增加到17 6 .6米，以抬高蓄水位如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角/ BAE = 6 8°,新坝体的高为DE,背水坡

7、坡角/D CE=60.求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0 .1米.参考数据:sin68°0.93,cos68 4 0.37, ta n68°2 .50,苗LYS）.【解答】解：在RtA BAE中, BE=162米，/BAE=6 8,A E誌厂涉話=64.8 （米）, 在 RtDCE中, DE =1 7 6.6米，/ DCE= 60°晋尹=器 1 0 2.08（米）,则 A C=C E- AE= 1 0 2.08 - 64.8=37.3 （米）.答:工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度 AC约为37 .3米.6、（2017?郑州二模）如

8、图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作 与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图1、图2分别是小桌板收起时 和展开时的实物，图3中的实线是小桌板展开后的示意图，其中0B表示小桌板桌 面的宽度，BC表示小桌板的支架，连接OA,此时OA=75厘米，/ AOB=/A CB =37°且支架长BC与桌面宽O B的长度之和等于OA的长度，求点B到A C的距离.（参考数据sin3 7°0. 6, c os37°"0 .75）SI【解答】解涎长0B交AC于点D,DC由题可知：BD丄CA, 设 BC =xcm，则 BO =OA- BC=(75-x) cm

9、,在 RtA CBD 中, BD=BC?sirn AC吐x?sin 3 7°0.6x,DO=OB BD=75- x+ 0.6x=(75- 0.4 x )cm,在 RtA AOD 中,DO= AO?cosZAO D=75 ?co s37=60cm , 75- 0. 4x=60,解得：x=3 7.5,二 BD= 0.6x=22.5cm ,答：点B到AC的距离为22.5cm.7、太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面 ABC如图2所示，BC=10米，/ AB C=/A CB=36,改建后顶点D在BA的延长线上，且/ BDO90 °,

10、求改建后南屋面边沿增加部分A D的长.（结果精确到0 .1米）（参考数据：sin18° 0.31,cos18 是0. 9 5. tan1 80.32, s in36 °0 .59.cos36 鼻 0.8 1,tan 36° 0.73)在 RtA AOD 中, OV厂=4(km).AB =10(k m),-CD =BC ?si n B=10X 0. 59=5. 9,在 RtB CD 中，/ BCD=90-/ B= 90° - 36°=54° / ACD =/ BCD-/ AC B=54。- 36 °=18°,在 Rf

11、 ACD 中，tan/A CDfAD =CD?tanZ ACD=5.9X 0. 3 2=1.8881 .9 (米)， 则改建后南屋面边沿增加部分 AD的长约为1 .9米.8、（2 0 17郑州外国语三模）如图，在航线I的两侧分别有观测点A和B点A到航线I的距离为2km,点B位于点A北偏东60。方向且与A相距1 0km处.现有一艘轮船从位于点B南偏西7 6°方向的C处，正沿该航线自西向东航行,5min后该轮船行至点A的正北方向的D处.（1）求观测点B到航线l的距离;（2 ）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1 km/ h ）.（参考数据：h/5-1.7 3, si n 7 6*0 .9

12、 7,c os76°0.24, tan764.0 1)/ OAD = 60°,AD=2( km),OB=AB OA =6 (km).在 RtA BOE 中,/O BE=/ OA D=60 , BE=O B?cos6 0°= 3( km).答：观测点B到航线I的距离为3 km.(2)在Rt AOD中，OD=AD?t an 60 =(k m),在 RtABOE中,OE =BE?ta n6 0。二迈(km),- DE= OD+OE=(k m).在R t CBE 中，/CBE =76°, BE= 3(km), CE=BE?tarn CBE=3fe n76

13、6;. CD=C E DE=3ta n76-航 3. 38( km). 5 (m in )=(h). v 哼=1 2CD=12X3. 384 0. 6( km/h). I?答：该轮船航行的速度约为40.6km/h.9、（20 1 7郑州八中三模）如图,小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的 凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐 C处位于北偏东 6 5方向然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了 1 0 0米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东4 5 。方向（点A B、C在同一水平面上）.请你利

14、用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）.则/ BCD=45 ° / ACD=65 °(参考数据：sin 2 5°0.4226,cos 25°0.9063,tan2 5 住0.46 6 3,sin 65在 RtA CD 和R t BCD 中, 设 AC X,则A D=xs in 65°BD=CD =xc o s 65°/I 0 0 +XCOS 65°=xs in65 :100-x =wsinSS -cos65湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为20 7米.1 0、（2

15、017?安阳一模）某校兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长为1 2米，它的坡度i=1V3 .在离C点4 0米的D处,用测角仪测得大楼顶端A的仰角为 37°测角仪DE的高为1 .5米，求大楼AB的高度约为多少米？结果精确到0 . 1米）(参考数据：sin 37°0 .6 0, cos3 7°0 .80,tan3 70.75, V1 . 7 3.)"口口【解答】解涎长AB交直线DC于点F，过点E作EH丄A F,垂足为点H.V在RtA BCF中，塑二1= 1血C?设 BF=k 贝U CF祈k,BC =2k.又: BC=1

16、2 , k=6, BF=6 CF=还.V DF =DC+ CF,V 在 RtAA EH 中,t an/AEH詈, A H=tan 3 7 X(4 0+6 75)" 37.785米), DF=4(+吧.V BH= BF-FH , BH= 6 -1 .5=4.5.V AB=AH- HB, AB= 3 7.7 8 5- 4.5" 3 3 .3.答:大楼A B的高度约为33.3米.1 1、（2017?开封二模）放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广 场上放风筝，如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处， 此时风筝AD与水平线的夹角为30 °

17、 ,为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为5 0 °,已知点A , B,C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大 高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到 1米）（风筝线AD, BD均为线段 庾1.7 32,sin50 心0. 7 6 6,cos 50* 0 .643,tan5 0 °° 1.192)【解答】解作DH丄BC于H,设DH =x米.V/ ACD = 9 0 :在直角 ADH 中，/DAH =30°,AD =2DH= 2x,AH= DH-1 an 3

18、0°x,在直角 BDH 中,/ DO'BHo，BD =DH?snn50 °， AH-B H=AB=10 米,5 諾亍=1 0,小明此时所收回的风筝的长度为:AD - B D =2x -S in 5 0 ° = (2 si n5 0）X黑霊二=（2- O.7 6 6宀10U1928 米.1. 732X1.192-1答：小明此时所收回的风筝线的长度约是12、（2017?许昌二模）某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽 度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B在其南偏东45。方向，然后向北走20米到达C点,测得点B在点C的南偏东3 3。方向，求出这

19、段河的宽度（结果精确到 1 米，参考数据 sin 33*0.54,cos 33*0. 8 4, tan330.1.41)【解答】解：如图，记河南岸为BE,延长CA交BE于点D，则CD丄BE.由题意知，/ DAB=4 5°/ DCB =33°,设 AD=x米，贝U BD=x米, CD=(20x)米,在 RtAC DB 中，塑=tan/DC B,C D盘T o.65,答：这段河的宽约为37米.1 3、（ 2 0 17平顶山二模）如图，在坡角为3 矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成0 °的山坡上有一铁塔AB,其正前方45。角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6

20、米，落在广告牌上的影子CD的长为4米,求铁塔AB的高（AB,CD均与水平面垂直，结果保留根号）.【解答】解:过点C作C E丄AB于E过点B作BF丄C D于F,在 RtA BFD 中,/D BF=3 0 :sin/D BF令，co s/ DBF需VB D=6, DF=3 BF=3W1,四边形BFCE为矩形,Z AB/C D,CEIAB ,BF丄 C D,在 RtAACE中，/ ACE=45 ° BF =CE = 3血，CF=BE=CD DF=1， AE=CE= 73,AB=5+ 1.答：铁塔A B的高为（37j+1）m.1 4、（2 01 7 ?信阳二模）如图,AC是某市环城路的一段，

21、A E、B F、CD都是南北方向的街道，其与环城路 AC的交叉路口分别是A、B、C经测量东方家具城D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东3 0。方向上，AB=2k m,/ DAC=1 5°求C、D之间的距离（结果保留根号）.【解答】解由题意可得/ EAD=45,/F BD=3 0°又/ DAC=15 °/ EAC=60, A EB F, / FBC =/ EAB=S 0° / DBC=30, / BDA=/D BC-/D AB=3 0° 15°= 1 5°A/B DA=/ DAB,二 AB= DB=2 km,

22、/A DB=15,A/D BC=Z ADB +/DA C=1 5°+15°= 30 °过B作BOID C交其延长线于点O,在 RtDB O 中，B D=2,/DBO= 60° D O= 2 X sin 60 °出,B O=2X cos 6 0°=1.在 RtA CBO 中,/C BO= 30°, C O= BOta n30°=耍,J CD=DO-CO3-弩普(k m).1 5、（2BF即C ,D之间的距离01 7南阳二模）如图，某同学自某观景平台A B上的A处看到有一个11阶的楼梯，他测得最上面楼梯角 C的俯角为4

23、0。，最下面楼梯角D的俯角为45°若每个台阶的高为0. 15 m,宽为0 .30m,且楼梯的最底端与观景台的底端 B位于同一水平线上。试求观景平台的高AB（同学身高忽略不计）.（结果精确到0 .1m,参考数据：sin40 °0. 64, cos40°0. 7 7, tan4 0 °0 . 8 4仮E. 41 ）设 A B= x,由题意知/A CF=40 °/DAB=/ADB= 45°贝U AB= AD=x,作CEl BD于点E，作CF丄AB于点F, BF=C1 1X 0.15 =1.65m, DE= 0.3 OX 11 =33 0m,

24、 AF=AIB-B F=x- 1 . 65,在 RtAAC F 中，由 t a n/A CF 雲可得 X 1.65CF X 3.300.84 ,解得:x2 7. 6 (m),答:观景平台的高A B约为2 7.6 m.16、一处中学在教学楼前新建了一座雕塑（如图）.为了测量雕塑的高度，小王在二楼找到一点C利用三角板测得雕塑顶端 A点的仰角为3 0°底部B点的俯角为45°,小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60° （如图）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据礦=1.73）.ATTP*ijppajj【解答】解：过点C作

25、CE丄AB于E.V/ ADC=9O。- 60°=3 0°/A CD= 9O。- 30°=60°, /C AD=9 0°.VCD = 1 O , AC：寺 CD=5.在 RtACE中,V/ AEC=90 °/ ACE=30, AE专CE=A C?C0/ ACE=5?c 0S 0 学V/B CE=4 5° BE =CE/3, AB=A&BE=（|_6. 8（米）.£ £所以，雕塑AB的高度约为6.8米.1 7、据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一. 上周末,小明和三位同学用所学过的知识在一条笔

26、直的道路上检测车速.如图，观测点C到公路的距离CD为1 00米，检测路段的起点A位于点C的南偏西 60方向上，终点B位于点 C 的南偏西45。方向上.某时段，一辆轿车由西向东匀速行驶，测得此车由A处行驶 到B处的时间为4秒.问此车是否超过了该路段16米/秒的限制速度？（参考数据:1.4 花1. 7）【解答】解：在RtBCD中,V/ BDO 90° / BC D=4 5° CD-I 00米, BD =CD=100米.在 RtA ACD 中,V/ AD C=90, / ACD=60,CD=l 00 米, AD=CD?fe n/A CD=10破（米）. A B=AD- BD=1

27、0朋-10 0 70 （米）.此车的速度为5 （米/秒）V 17.5> 16,此车超过了该路段16米/秒的限制速度.18、如图，某校数学兴趣小组在楼 AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆C D的顶端C的俯角为42。,在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为31° ,已 知旗杆CD的高度为12m,根据测得的数据,计算楼AB的高度（结果保留整数）.参考数据:t an4 2° 0.90,t a n48，1.11 ,tan3 1°0. 60.【解答】解：如图，过点C作CE丄AB于点E.依题意得:/ACE=42° / CBD = 31° CD =

28、12m.可得四边形C DBE是矩形. BE=DC ,CE=DB.在直角 CB D 中，ta n /C BD =吕DB CE=D.在直角厶ACE中, t an/ACE塑CE AE=（B ?tan42 °i?t an42 °宰評=18 （米）.1. 60A B=AE + BE=3 0 （米）.答：楼AB的高度约为30米.1 9、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和B A的长（结果取整数）.参考数据：sin 64 °0. 90, c os6

29、4 °0 .44, tan 64° 2.05压取 1. 414.【解答】解:如图作PC丄AB于C.由题意/ A=6 4° / B=45,PA= 12 0 ,在R t AP C 中,si nA罟,c osA| PC=PAS in A=120 ?s i n6 4°,AC =PA?cos =120?cos 64°在 RtA P CB中，/ B=45, PC =BC ,PC 120 X 0. 90卩吐.153.sin45 坐_T AB=A(+BC=12 0?c os 6 4°+ 120?sin64 ° 1 20X 0.90+120X

30、 0.44 161.答:BP的长为153海里和BA的长为161海里.20、如图,港口 B位于港口 A的南偏东37方向,灯塔C恰好在AB的中点处.一艘海轮位于港口 A的正南方向，港口 B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东4 5。方向上,这时，E处距离港口 A有多远？（参考数据：sin37 0 .60,co s 3 7。" 0.80,tan3 70.75)【解答】解:如图作C H丄AD于H.设CH= xkm.在R t AC H 中，/ A= 37° t a n37°=-AH.AH=dStan37在 RtAC EH中 ,/ CE H=4

31、 5 °二 CH=BI = x, CH! AD,BD丄 AD, CH/ BD,.AH ACHD CB ' AC=C B,二 AH=H D,=x+5,.xpt翻 l-tan3?15 AE = AH+ HE=t 珀器 + 1 5 3 5 km, E处距离港口 A有35km .2 1、（2 0 17?黄冈）在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABC D （如图所示），已知标语牌的高AB=5m在地面的点E处,测得标语牌点A的仰 角为30°,在地面的点F处，测得标语牌点 A的仰角为75°且点E ,F, B, C在同一直线上，求点E与点F之间的距离.（计算结果精确到0.1米，参考数据