人教版八年级(上册)整式的乘法与因式分解单元总结与归纳

1、整式的乘法同底数哥的乘积am ?an amn(m, n为正整数)注意点：(1)必须清楚底数、指数、哥这三个基本概念的涵义。(2)前提必须是同底数，指数才可以相加(3)底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，(4)指数都是正整数(5)三个或三个以上的同底数哥相乘，即 am ?an ?apam n p(m,n, p为正整数)(6)不要与整式加法相混淆。(7)这个公式是可逆的am n am?an(m,n为正整数)类型一：x x = 3x x x =_2522225222n n 1y ?y类型二： 已知xmn x2n+1=x11，且ym1 y4n=y5,求 mA的值。(2)若 2叫 8

2、=2n ,贝U n=总结；嘉运算的变形层为偶数门为奇羲1 1类型三：(1)、 (-2)(-2 )2( - 2)3(2)、 a , (a), (a)(3)、(x-y) 3(y-x)(y-x)6(4)、(-2)2011 (- 2) 2012类型四：已知2a=3,2b=6,2c=12,试探究a、b、c之间的关系;下载可编辑1.哥的乘方（am）n amn（m,n 为正整数）注意点：（1）哥的底数a可以是具体的数也可以是多项式。（2）不要和同底数哥的乘法法则相混淆（3）公式的可逆性：am n （am）n（m,n为正整数）；（am）n （an）mamn（m, n为正整数）（4）公式白扩展：（am）np a

3、mnp（m,n, p为正整数）（a b）mn （a b）mn（m,n,为正整数）35m. 3.2.3 n类型一：(a) = ;3(x ); (a ) ?a ;(a+b) 2 3=; (a2)5 3=;类型二：【例1若5x2,5 y3,求 5 2x 3y【例2】若10n4,10 m 5,求 102n 103m，的值;【例3】已知a 355,b444, c 533 ,试比较a,b,c的大小；2.积的乘方ab n anbn（n为正整数）注意点：（1）注意与前二个法则的区别：（2）积的乘方推广到 3个以上因式的积的乘方a1 ?a2 ?a3 am n a1na2na3 amn（n为正整数）（3）每个因式

4、可以是单项式，多项式，或者其他代数式（4）每个因式都要乘方，然后将所得的哥相乘（5）公式的可逆性：anbn ab n（n为正整数）（6）哥的乘方，积的乘方的可逆性：a mn=（am） n=（an）m32 33i 2 2类型一：（ab） . （ 2a b） . （ 5a b ） 类型二：【例1】当ab=2,m=5, n=3,求（a b ）的值。例2若a3b2=15,求-5 a6b4的值。【例3】如果3m+2n=6求8m 4n的值。x-137【例4】(1)解方程3?26(2)解方程31416例5已知a =5, a ，=25,求a+a，的值.【例6】已知：2x=4y+1, 27y=3x-1 ,求x

5、- y的值类型三：【例】计算：0.12515 (215)3/99、2011,100 2010（一）（一）100994 .单项式乘法法则：【例】2x 3y ( 2x2y)(5xy2)(3xy)2 ( 2xy2)( a2b)3 (a2b)25 .单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加【例】，、一 ，一一一、4 ，一一 2 、m(ab c)2x( 2x3y5)3ab(5aab 2b )6 .多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加例1_22(x 2)(x 6)(2x 3y)(x 2y

6、 1)(a b)(a ab b )【例2】：解方程与不等式(a 3)(a 2) (a 9)(1 a) 18(4+3y)(4-3y)>9(y-2)(y+3)【例3】确定参数a的值._2(x 2)(x 18) x ax 362(x p)(x q) x ax 36题型一：确定参数的值【例】若x2 mx 8 x2 3x32n展开式中不含x项和x项，求m,n的值，并写出展开式中的最后结果练习:后的结果x2 3x 3和x2 3x k的乘积中不含x2项，求k的值，并写出展开式最题型二：整式乘法的实际应用【例1】：小明将现金x元存入银行，年利率为 a,到期后他又连本带利存入该银行，形式还是1年期，蛋年利

7、率调整为b,那么一年后，小明能获得的本息总和是多少(扣除5%勺利息税)练习：一种商品进价是 p元，他的价格提高10k%,再打k折，则售价是 元【例2】：.观察下列各式：,3/2/32. 3332,3 八3 八3,32123410观察等式左边各项哥的底数与右边哥的底数的关系来：,猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出13 121 231 236题型三：整式的乘法能力提升训练;例1.2已知x8x15 ,求(x 2)(x 2)4x(x1) (2x 1)2 的值.变式:2已知x10*x2)(x2)(x3)2x(x 5)的值.变式:已知x3x9 0,求（1) 2(x3)(x 3)x(x 1)的值.

8、例2.2已知x2x23的值。变式:已知2-x 3x32 cx 5x 3x10的值。2342变式： 已知X 3x 10,求代数式2x 3x 7x 2009的值。平方差和完全平方一、复习：(a+b)(a-b)=a 2-b2 (a+b) 2=a2+2ab+t2 (a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a 2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3 b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：位置变化，x y y x x2 y2符号变化，x y x y x 2 y2 x2 y2指数变化，x2 y2 x2 y2 x4 y4系数变化，2ab 2ab 4a2 b2换式变化， xy z

9、 m xy z mxy 2 z m2x2y2 z m z mx2y2 z2 zm zm nmx2y2 z2 2zm m增项变化，x y z x y zx y 2 z22 x y x y zx2 xy xy y2 z2x2 2xy y2 z2连用公式变化，x y x y x2 y2x2 y2 x2 y244下载可编辑逆用公式变化,下载可编辑1,求a2 b2的值。b2a2 b2 =(aa2 b2=222_b) 2ab2 1 2x y z x y z x y z x y z2x 2y 2z4xy 4xz例题解析:例1.已知a b 2 , ab 解：V (a b)2 a2 2ab . a b 2, a

10、b 1例 2.已知 a b 8, ab 2 ,解：(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 (a b)2 4abv a b 8, ab 2例 3:计算 19992-2000 X 1998求(a b)2的值。(a b)2 a2 2ab b2(a b)2 4ab = (a b)2(a b)282 4 2 56个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：(1) ; a2 b2 13, ab 6a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 25b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三a2 b2 2ab 13 2 6 1K解析此题中2000=1999+1, 1998=1999-1,正好符合平方差公

11、式。 解：19992-2000 X 1998 =1999 2- (1999+1) 乂 ( 1999-1 )=19992- (19992-1 2) =1999-19992+1 =1例 4:已知 x-y=2 , y-z=2 , x+z=例。求 x2-z2的值。K解析此题若想根据现有条件求出x、v、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。解：因为 x-y=2 , y-z=2 ,将两式相加得 x-z=4 ,所以 x2-z2= (x+z) (x-z)=14 X4=56。例5.运用公式简便计算(1) 1032(2) 1982解：(1)1032100 3

12、21002 2 100 332 10000 600 910609(2) 1982200 2 22002 2 200 22240000 800 439204例6.计算(1) a 4b 3c a 4b 3c(2) 3x y 2 3x y 2解：(1)原式 a 3c 4b a 3c 4b a 3c 2 4b 2 a2 6ac 9c2 16b2(2)原式 3x y 2 3x y 2 9x2 y2 4y 4 9x2 y2 4y 4例7.解下列各式(1)已知 a2 b2 13, ab 6,求 a b2, a b2的值。(2)已知 a b2 7, a b2 4,求 a2 b2, ab 的值。22(3)已知

13、a a 1 a2 b 2,求 a ab 的值。2(4)已知x - 3 ,求x4 口的值。 xx分析：在公式a b 2 a2 b2 2ab中，如果把a b, a2a2 2ab(2)a b 2 7, a b 2 4a2 2ab b2 7得 2 a2 b2 11,即 a2 b2 -2得4 ab 3,即ab 34(3)由 a a 1aba2 b 2122a b 2ab2(4)由 x 1 3 ,得 x 19xx即x21212 12141x 4 119x例 8. (1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1) 22-(3x) 2=1-9x2.解：(1) (-1+3x)(-1-3x)=-(1-

14、3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1(2) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.例9.四个连续自然数的乘积加上1, 一定是平方数吗？为什么？分析：由于1 2 3 4 1 25 522 3 4 5 1 121 1123 4 5 6 1 361 192得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上 1,都是平方数。解：设n, n 1, n 2, n 3是四个连续自然数则 nn1n 2n 3 1 n n 3 n 1 n 2 1 n2 3n 22n2 3n1 n2 3n n2 3n 2 1n2 3n 1 2.n是整数，n2, 3n都是整数n2 3n 1 一定

15、是整数n2 3n 1是一个平方数四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。例 10.计算(1) x2 x 1 2(2) 3m n p 2解：(1 ) x2 x1 2 x2 2 x 2 122 x 2 x 2 x2 1 2 x1 x4 x21 2x3 2x22xx4 2x3 3x2 2x 1(2) 3m n p 2 3m2 n2 p 2 2 3mn 2 3m p 2 n p 9m2 n2 p2 6mn 6mp 2np 分析：两数和的平方的推广a b c 2 a b c 2a b 2 2 a b c c2a2 2ab b2 2ac 2bc c2a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 即 a b

16、 c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法（一）、套用：这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌 握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。2如2例 1.计算：5x23y25x23y2解：原式5x23y225x49y4（二）、连用：连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2.计算：1 a a 1 a2 1 a4 1解：原式 1 a2 1 a2 1 a41 a4 1 a41 a8例 3.计算：3x 2y5z13x 2y5z 1解：原式 2y 5z3x12y

17、5z3x1222y 5z 3x 12224y2 9x2 25z2 20yz 6x 1三、逆用：学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆 向形式，并运用其解决问题。22例 4.计算：5a 7b 8c 5a 7b 8c解：原式 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c10a 14b 16c140ab 160ac四、变用：题目变形后运用公式解题。例 5.计算：x y 2z x y 6z解：原式 x y 2z 4z x y 2z 4z22x y 2z 4z222x y 12z 2xy 4xz 4yz五、活用：把公式本身适当变形后再用于解题

18、。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组 合，可得如下几个比较有用的派生公式：1. ab22aba2b22222. ab2aba2b23. a b 2a b 2 2 a2 b2224. a ba b4ab六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两 种(三个)乘法公式：平方 差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2、完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+氏(a-b) 2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为 (a+b

19、)(a-b),通过左右两图的对照，即可 得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b) 2,通过面积 的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2与(a-b) 2=a2-2ab+b2。七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算 过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征， 将其适当变化，找出规律, 用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一.先分组，再用公式例 1.计算：(abcd)(abcd)简析：本题若以多项式乘多项式

20、的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式 (a b c d) 运用加法交换律和结合律变形为(b d) (a c);将另一个整式(a b c d)变形为 (b d) (a c),则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。解：原式(b d) (a c)b da c(b d)2 (a c)2b2 2bd d2 a2 2ac c2二.先提公因式，再用公式例2.计算：8x ? 4x?24简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为2 4x ' ,则可利用乘法公4式。解：原式 2 4

21、x 2 4x '4422 y2 4x -4232x2 上8三.先分项，再用公式例 3.计算：2x 3y 2 2x 3y 6简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将 2分解成4与2的四.先整体展开，再用公式例 4.计算：(a 2b)(a 2b简析：乍看两个多项式无联系， 与之相乘，利用平方差公式即可展开解：原式(a 2b) (a 2b)(a2 a2b)(a 2b) 4b2 a 2b1(a 2b)和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。2x 42 3y解：原式=(2

22、x 4) (2 3y)22(2x 4)2 3y4x2 16x 12 12y 9y21)但把第二个整式分成两部分，即 (a 2b) 1 ,再将第一个整式五.先补项，再用公式1)(321)(3 1)例 5.计算：3 (38 1)(34简析：由观察整式(3 1),不难发现，若先补上一项(3 1),则可满足平方差公式。多次利用平 方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。解：原式 3(38 1)(341)(321)(3 1)(3 1)2(381)(341)(32 1)(32 1)2(381)(341)(34 1)2(381)(38 1)2(316 1)23162六.先用公式,例6.计算：1再展开12214

23、2简析：第一个整式1122可表小为121 1021 2其它因式类似变化，进解：原式1 1步变换成分数的积,2化简即可。,由简单的变化,可看出整式符合平方差公式,22314253-2233441 1311109101 1 411201 1 ,1410110七.乘法公式交替用例 7.计算：(x z)(x2简析：利用乘法交换律, 合，则可利用乘法公式展开。2xzz2)(xz)(x22xz z2)把第一个整式和第四个整式结合在一起,把第二个整式与第三个整式结.下载可编辑.解：原式 (x z)(x2 2xz z2) (x2 2xz z2)(x z) (x z)(x z)2 (x z)2(x z)(x z

24、)3(x z)33(x z)(x z)/ 223(x z )64 22 46x 3x z 3x z z八、中考与乘法公式1 .结论开放例1.请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你 非常熟悉的公式，这个公式是X *1分析：利用面积公式即可列出 x y x y x2 y23223222或 x y xyxy 或 xy x 2xy y在上述公式中任意选一个即可。例2.如图2,在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a b）,把余下的部分剪成一个矩形，如图3,通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是 图2图3分析：利用面积公式即可列出 a b a b

25、 a2 b2或a2 b2 a b a b2 .条件开放例3.多项式9x2 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式 可以是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出22,、29x2 1 6x 3x 1或9x2 1 6x 3x 1只要再动点脑筋，还会得出281492d9x1x-x1422 29x113x9x2 1 9x2 12故所加的单项式可以是 6x ,或81x4,或1,或9x2等。43 .找规律4 4.观察下列各式：2x 1 x 1 x 1x 1 x,1 2 3 n n n 1 x 1 x例6.阅读材料并

26、解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示， 实际上还有一些等式也可以用这种形式表示， 例如：2a b a b 2a2 3ab b2就可以用图4或 图5等图表示。 1324x 1 x x x 1 x 1由猜想到的规律可得 x 1 xn xn 1 xn 2x 1 分析：由已知等式观察可知x 1 xn xn 1 xn 2x 1 xn 1 14.推导新公式22例5.在公式a 1 a2a 1中，当a分别取1, 2, 3,n时，可得下列n个等式下载可编辑图4H 5221112211222122212 23 13231, 22n 1 n 2n 1将这n个等式的左右两边分别相加，可推

27、导出求和公式：1 2 3 - n （用含n的代数式表示）分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两 边分别相加，得：2n 112 2 1 2 2 2 n n 移项，整理得：(1)请写出图6中所表示的代数恒等式 ;(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示:22a b a 3b a 4ab 3b(3)请仿照上述方法另写一个含有a, b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。解：（1） 2ab 2b a 2a2 2b25ab(2)如图7.b(3)略九、怎样熟练运用公式：(一)、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两

28、个二项式相乘，且在这四 项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差， 且是相同项的平方减 去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.(二)、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性， 就能在更广泛的围正确运用公式.如计算(x+2y-3z) 2,若视x+2y为公式中的a, 3z为b,则就可 ,_._ 2 2_ _ 2 .用(ab) =a2ab+b 来解了。(三)、熟悉常见的几种变化此时要根据公式特征，合理调有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算, 整变化，使其满足公式

29、特点.常见的几种变化是：1、位置变化 如(3x+5y) (5y-3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.2、符号变化 如(-2mi-7n) (2nn- 7n)变为(2m+7n) (2mi-7n)后就可用平方差公式求解了 (思考：不变或不这样变，可以吗？)3、数字变化 如 98X 102, 992, 912等分别变为(100 2) (100+2, (100-1) 2, (90+1) 2后就能够 用乘法公式加以解答了.4、系数变化 如(4m+R) (2m-匚)变为2 (2m+【)(2m- n)后即可用平方差公式进行计算了.24445、项数变化 如(x+3y+2z) (x-3y+6z)变

30、为(x+3y+4z2z) (x-3y+4z+2z)后再适当分组就 可以用乘法公式来解了.因式分解十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0< aW5,且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都要求b2 4ac >0而且是一个完全平方数。于是 9 8a为完全平方数，a 1例2、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X 3=(-2) x(-3)=1 x 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即 2+3=5。12 、二解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 313