北京市东城北京二中北京东城二中2016-2017学年高一数学下学期期中试题(含解析)

1、北京二中 2016-2017 学年度第三学段高一年级模块考试试卷数学必修 V、选择题（本大题共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分请将答案填涂在机读卡上）1 .等差数列an!中，已知 32=2 ,兎=8，则玄9=（） A.8B.12C. 16【答案】C【解析】设等差数列/的首项为a，公差为d,解得 31=0,d =2,所以 a9=a!8d =16 .故选C.2等差数列:an冷勺前项和为 Sn, a3a4a6，则 S 等于（）.A.28B. 14C.35D.7【答案】B【解析】由等差数列的性质可知，爲 a4a5=3a4=6 ,所以 a。=2 , S7 =佝a7）7=7a =14 .2故选B

2、.印=1 , ag=16，则数列：aj 的前 7 项和为（）【答案】D【解析】设等比数列的公比为q, （q -0）,4a$则 q5=16，解得 q =2 ,a17数列 Q的前 7 项和 Sy=色31q故选D.D. 24则由 32=2 ,a山 d = 2得 a14d =8，3.设 f 是公比为正数的等比数列，若A.64B.63C. 128D. 1277_1 -2-1-2=27-1 =127 .-2 -4.若a b,ab =0，则下列不等式恒成立的（）-3 -11bA. - :-B. -：:1C. 2a2bD. Ig（a b）：0a ba【答案】C11【解析】A项，当a =1, - -_1时，故A

3、错误；a bbB项，当a =_1,b = 2时，=2 .1，故B错误；aC项，因为函数 y =2x是定义域 R 上的增函数，所以当a b时，2a.2b，故C正确;D项，因为a .b，所以 b_a：O，此时 lg（b-a）无意义，故D错误.故选C.BD =AD AB =(5e +he2)(几& 一狂)=(5 丸)& +(丸+1)e2, B , C , D 三点共线,二 BC 与 BD 共线，=、，化简得九2+九一 6=0，即（扎一2）（扎+3）=0 ,I，=2或，-3 .故选C.则 b2 -aj 的值等于（）.99A.-8B.8C.D 一8 8【答案】A【解析】设等差数列的公差为

4、d，等比数列的公比为 q，则有!-q 3d 1A.1或2B.-2或3C. 2 或-3【答案】C【解析】uuuITiuuurITuiuruiu AB =如- e?, AC 二 - 2e2 : ，AD =旳険，共线，则实数的值为（）-BC = AC AB =(ei - 2e2)- ( e1- e2)=(1 - )ei - e2,D. 1或_2ir uu5.设向量 e1, e2不共线,uuu u uu uur ir uuAB 二 & - e2, AC 二 ei - 2e2,uuirITuaAD =5e + )心2，右B,C,D三点6.已知-9 ,耳,a2,-1 四个实数成等差数列,-9 ,

5、E, b2, b3, -1 五个实数成等比数列,-4 -J q q = -1-5 -7设x, yR，向量 a =(x,1),b =(1,y) , c =(2,_4)且；丄 C, b /C，则 I；b |=().A. ,5B.10C. 2 .5D.10【答案】B【解析】Ta =(x,1), c =(2, _4)，且 a 丄 c ,2x 4 =0，解得x =2,又Tb =(1,y), c =(2, -4)，且 b/ c ,.2y = 4，解得 y = -2 a =(2,1), b=(1,_2), a b=(3,_1),.|； b|f：；32(1)2二.10 .故选B.&在 ABC 中，角A

6、,B,C所对边分别为a,b,c, 向量 AB在向量 BC 上的投影为（）.【答案】故选B.LTIDLTunLT9单位向量 e1, e2的夹角为60则向量 e+2e2与向量&的夹角的余弦值为（）A.2.77B.丄7C. -D.33【答案】AITiuITiu【解e,e2是单位向量，且e-i, e2的夹角为60,1 e e24I |e21 cos60 =-、?-b2(a2&) = -938.3已知a=3, c = 3.3 ,B=30，则A.B. ID.33_ 2【解根据题意,AB 在 BC 上的投影为 I ABIcosOc cos15033 3-6 -2詁22(e1+2e?) =e+

7、4e? +4ei e2=1+4+2=7，-7 -10.已知等差数列中，|a3|=|a9|,公差d 2a1-13 -经检验，n =1时，不满足上述式子，故数列 3 的通项公式V；22【答案】-3n【解析】在数列中，的an,an 1_n_ann 1a21a32 a43ann -1a12，a23，a3_4，an丄n，a?a3an21 23n _12 12an=a!-*-4仙-:二一X XMil：二X =-a1a2a3an 丄32 34n3 n3n18已知向量 AU 与 AC 的夹角为12。，且|Ah ,|AC|=2，若罗事牲+咲，且VJC则实数的值为_ 【答案】-12【解析】向量 AB 与AC的夹角

8、为120，且|AB| = 3 , |AC2, 忒忌斗忌品|cos120 =3 2I 2 丿T T T T T T T2 T2 T T( AB AC)(AC -AB)忍 AB AC -，AB AC -AB AC=0， -943 =0，即12兔=：7,ITUUITUULTID已ITUDITUD19设两个向量 e，e2满足 Ie|=2 , 61=1, 3、e2的夹角为60，若向量 2te+7 色与 3+te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是【答案】17数列 CaJ 中,a2,3nnra“t=an，贝Uan =n +1又 AP- AB AC，且 AP 丄 BC ,二 AP BC =0，即【解析】T向

9、量 e , e2满足 6| = 2 ,1=1 ,ei ,e2的夹角为60,-14 -1e e2彳 e |e21 cos60 二 2：11,22 - -(2tei+7a) (ei+te2)=2tei+(2t +7)ee2+7te2=8t+2t+7+7t=2t +15t+7，1 令 2t215t 7：0 即(t 7)(2t 1)：0，解得 _7：t2令空二7，即 2t2=7,解得 t 二上,1 t2.当字时，向量 2t：7?与共线,二若向量 2te17e与向量e- te?的夹角为锐角，贝U-7：t：- f，且t - 故实数t的取值范围是J丄LI2八22丿20对于实数x，用x表示不超过x的最大整数，

10、如0.3。5轨5，若.N*, T，Sn为数列的前n项和，则 S8二 S4=0 0 0 1 =1 ,S8=0 0 0 1 1 1 1 2 =6 ,S4n=0 0 0 1 1 1 12 2 22 3 H | n T n T n T n=4(0 1 2 川 n -1) n=40 n -(nT)2= 2n(n -1) n= 2n2-n .三、解答题(本大题共 5 小题，满分共 64 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.(本题满分12分)【答案】6；22n n【解析】/ a=1，a4，a3= 4 ，a4=4，a4，a4 日，a4k -2a5=8=2,a J=2,a4k 4k4k 1匸=k ,

11、百=k ,IL 4-15 -(2)证明:十1S2在游学活动中，在A处参观的第1组同学通知在B处参观的第2组同学：第1组正离开A处向A的东南方向游玩，速度约为20米/分钟.已知B在A的南偏西75方向且相距200米，第2组 同学立即出发沿直线行进并用10分钟与第1组同学汇合.(1)设第2组同学行进的方位角为 v ,求COST.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)(2)求第2组同学的行进速度为多少？【答案】见解析.【解析】(1)假设第2组同学与第1组同学在C处汇合，如图，建立数学模型,则.BAC =7545 =120,AC =20 10 =200米， AB二AC,

12、 ABC 是等腰三角形,NABC =30 , V -75- 30 =105 ,(2 )在 ABC 中，由余弦定理可得:BC AB2AC2-2AB ACCOS120 =20022002-2 200 2001=1200002. BC =200. 3 ,故第2组同学的行进速度为米/分钟.1022.(本题满分13分)在等差数列中，印=3，其前 n 项和为 Sn，等比数列 Z 的各项均为正数，b =1，公比为q，且 b2S2=12,qw(1 )求 an与 bn.COST-cos105 =cos(45：亠 60 ) =cos45COS60 -sin 45 sin602 2Sn-16 -I1-*：1，23.

13、(本题满分13分) 已知数列 a ? 的前 n 项和& =2an -2n 1.(1 )证明数列a为等差数列，求出数列 tan的通项公式.(2 )若不等式 2n2-n-3：(5an 对任意 nN*恒成立，求的取值范围. 【答案】见解析.【解析】解：(1)当n =1时，S2a1-22得 a4 ,当n 2时，S =2an-2n 1,【答案】见解析.【解析】解：(1)设等差数列的公差为d，则由一 12 ,得:q 6 d =126 +d，解得q=4(舍去)或 q =3 ,d =3,q 二qqa.=3 3(n -1) =3n,bn=1 3n3n丄,(2)证明： Sn-應 迥=泌卫2 2 .1 _

14、2 2 “ 1 .S一 3n(n 1) 一 3 A -百，11山 12 12113211SS2Sn323233nn1n110，从而1-nJ，1 1 11一厂厂川 n/n 1,-17 -两式相减得 an=2an-2am -2n，即& =2a 丄-2n,(2 )由(1)知=n1，即 an=(n 1) 2n, an0 ,2n -32n2n 1 bn1_歹厂 2n -1 bn2n -3 N 62nb3当n3时，bT：:1，(山 7，24.(本题满分13分)数列aj 的前 n 项和为 Sn, Sn=2% -3n(nN*).(1)证明数列an是等比数列，求出数列 咕门的通项公式.(2 )设 b21

15、(an3)，求数列 b 1 的前 n 项和.3(3) 数列 b /中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项; 若不存在，说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1)数列 a*的前 n 项和为 Sn, Sn=2an-3n , (nN*), Sn 1=2an 1-3(n1),两式相减得：anFan 1-2an一 3，即 an2an3 , 5 一 3，即：:5 -38 837.冷的取值范围是:37飞.8an2am 2nan 12n2n2nan 1尹1ana121数黑是以2为首项,1为公差的等差数列.不等式22n n -3：(5 -，)an等价于52n 32nn 2时,-18

16、 - ani3 =2(an3)，即又当n=1时，ai二 S =2ai-3，得 ai=3,数列 %3?是以 6 为首项，2为公比的等比数列, an3 =6 2 心=3 2n, an=3 2n-3 .(2)由题意，bn3)二213 2(2n1) 2n,33123n 1n Tn=1 2 3 25 2 川(2 n - 3) 2 一(2 n -1) 2 ,2Tn=1 223 23524HI(2n 3) 2n(2n -1)2n 1,两式相减得Tn -2 22- 2 23HI-2 2n(2n -1)2n 1= 2-2(2223HI 2n) (2n 1) 2n 1= _2_22 (1一2一)(2n_1) 2n

17、 11-2=-2 23(1 2 心)(2n -1) 2n 1=-2 8 2 2n 1(2n 1) 2n 1=6 (2n -3) 2n 1.2(3)假设存在s,P,三N*，且s：p：r，使得bs,bp,br成等比数列，则 bpbsbr,- bp=(2p-1)2P, bs=(2s-1) 2s, br=(2r-1) 2r, (2p 1)222p=(2s 1) (2r -1) 2s r,2(2P -1)22P=1 (2 s -1)(2r -1)-， 2p -1 是奇数，2s-1,2r-1 也是奇数,又 22p$丄是偶数,2(2 p -1) (2 s-1)(2r -1)故数列bn中不存在三项，可以构成等比数列.25.（本题满分13分）(2p-1)2(2 s -1)(2r -1)曰 数,22p =1 不成立,-19 -设数列$n的前n项和为 Sn,若对于任意的正整数n,总存在正整数m,使得 = an,则称 4 / 是“H数列”.(1) 若数列的前n项和为 Sn=2n(n N*)，证明：CaJ是“H数列”.(2)设召门是等差数列，其首项 印=1，公差 d：0，若 faj 是“H数列”，求 d 的值.【答