曲线曲面积分2

1、10.510.5 第二型曲面积分第二型曲面积分观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上侧上侧和和下侧下侧封闭曲面分封闭曲面分内侧内侧和和外侧外侧10.5.1 10.5.1 曲面侧的概念曲面侧的概念 n 上侧上侧xyzon 下侧下侧xyzo. 有有向向曲曲面面侧侧曲曲面面称称为为取取定定了了法法向向量量指指向向的的双双). ( ), ( , ),( : 下下侧侧则则取取定定了了曲曲面面的的上上侧侧钝钝角角成成锐锐角角轴轴的的正正向向与与若若法法向向量量对对于于znyxzz ; ),( : 有有上上侧侧与与下下侧侧之之分分曲曲面面yxzz ; ),( :

2、 有有前前侧侧与与后后侧侧之之分分曲曲面面zyxx . ),( : 有有左左侧侧与与右右侧侧之之分分曲曲面面zxyy . 之之分分封封闭闭曲曲面面有有内内侧侧与与外外侧侧10.5.2 10.5.2 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念 一、流量问题一、流量问题 二、第二型曲面积分的定义二、第二型曲面积分的定义iniiiiidSnASnzyxA 10 ) , ,(limd),( 即即记记为为或或对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分的的第第二二型型曲曲面面积积分分 ,d),( ),( SnzyxA :注注. ,),( ) 1 (积积分分存存在在第第二二型型曲曲面面在在有有向向曲曲面面上上连连续续时

3、时当当zyxA .dd , dd ) 2 (SASnASnS 则则令令10.5.3 10.5.3 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质.ddd)(SBSASBA .ddd21SASASA .d dSASA 第二型曲面积分的数量表达式第二型曲面积分的数量表达式10.5.4 10.5.4 第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算),( ),( ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxA 设设则则 ,cos ,cos ,cos ndcos,dcos,dcosddSSSSnS ,dd,dd,dd yxxzzy .ddddddd yxRxzQzyPSA ,ddddddd 有有从从而而yxRxzQz

4、yPSA xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,(dd),() ., (下下侧侧取取负负上上侧侧取取正正 yzDzyzyzyxPzyzyxPzyxxdd),),(dd),( ),(:则则有有若若曲曲面面为为) ., (后后侧侧取取负负前前侧侧取取正正 zxDxzzzxyxQxzzyxQzxyydd),(,(dd),( ),(:则则有有若若曲曲面面为为) ., (左左侧侧取取负负右右侧侧取取正正 二二重重积积分分的的方方法法将将第第二二型型曲曲面面积积分分化化为为解解： （1） ：22yxz ，10 z，下下侧侧， xyDyxyxyxzdddd22.32 dd10220 xyoz1xyD

5、11, 1 ),(22 yxyxDxy,dd. 1 yxz计计算算例例.3 32dd dd22 xyxyDDyxyxyxxyz1 2 o1xyD11 21ddyxz, 1 ),(22 yxyxDxy; , 1 , 1 :222下下侧侧 yxz; , 10 , :221下侧下侧 zyxz, ) 2 (21 高高斯斯定定理理 10.6.1 10.6.1 高斯（高斯（Gauss）公式）公式 ),(),(),(),( zyxRzyxQzyxPzyxA 向向量量值值函函数数则则有有上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在 , . 取取外外侧侧其其中中 VzRyQxPyxRxzQzyPd)( dddd

6、dd 高高斯斯公公式式 若若积积分分曲曲面面不 封封闭闭，则则添添加加辅辅助助曲曲面面使使之之封封闭闭； 当当封封闭闭曲曲面面取取内内侧侧时时，Gauss公公式式中中的的符符号号应应为为负负号号； 应应用用Gauss公公式式前前首首先先要要检检验验zRyQxPRQP , , ,的的 连连续续条条件件. :注注; , , , ) 2 (量量求求偏偏导导数数并并注注意意分分别别对对哪哪个个变变三三个个函函数数正正确确确确定定RQP .dddddd31d yxzxzyzyxVV 故故,3d3ddddddVVyxzxzyzyx 公公式式得得由由令令Gauss , , , ) 3 (zRyQxP 解解：

7、3xP ，3yQ ，3zR ， arrr022020d3dsind .512 5322 55aa 球面坐标球面坐标),(3222zyxzRyQxP VzyxId)(3Gauss222 公公式式得得由由. ,dddddd . 22222333的的内内侧侧是是球球面面计计算算例例azyxyxzxzyzyxI 添添补补平平面面 1 ：)4( , 422 yxz，取取下下侧侧； yxzxxzxyzyxxIdd)8(4dd8dd)2( . 3 2 计计算算例例xyoz 4xyoz2xyD2 1 4).8(4,8,22zxRxyQxxP , 14841 xxxzRyQxP 11 xyDyxxVdd16dxyoz2xyD2 1 4公公式式得得由由GaussyxzxxzxyzyxxIdd)8(4dd8dd)2(2 0ddd2240 zyxyxz.8d40 zz课堂练习课堂练习yxxyxzyzzyxzIdd3dd2dd 计计算算曲曲面面积积分分. )10( 4 122的上侧的上侧为曲面为曲面其中其中 zyxz:解解, ),14( 0 : 221取取下下侧侧添添加加平平面面 yxzxyz21 1o., 1 为为设设其其所所围围成成的的空空间间区区域域侧侧取取外外是是一一个个封