福师《实变函数》在线作业二1答案

1、福师实变函数在线作业二-0005试卷总分:100 得分:0一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)1.函数fC-,则f可测。A.错误B.正确正确答案:B2.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。A.错误B.正确正确答案:A3.fBV，则f几乎处处可微，且f'L1a,b.A.错误B.正确正确答案:B4.若fBV当且仅当f是两个增函数之差。A.错误B.正确正确答案:B5.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测A.错误B.正确正确答案:B6.若fLipa,b,则fACa,b.A.错误B.正确正确答案:B7.当f在(0,+)上一致连续且L可积时，则lim_x->+f(x

2、)=0.A.错误B.正确正确答案:B8.有界可测函数f在区间a,b上L可积的充要条件是f在a,b上几乎处处连续.A.错误B.正确正确答案:A9.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。A.错误B.正确正确答案:B10.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。A.错误B.正确正确答案:B11.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。A.错误B.正确正确答案:B12.闭集套定理的内容是：F_k是Rn中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.A.错误B.正确正确答案:B13.若F是R中一紧

3、集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.A.错误B.正确正确答案:B14.若fBV,则f有界。A.错误B.正确正确答案:B15.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。A.错误B.正确正确答案:B16.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=axA.错误B.正确正确答案:B17.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x)也是有界变差.A.错误B.正确正确答案:B18.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.A.错误B.正确正确答案

4、:A19.设f为a,b上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.A.错误B.正确正确答案:B20.函数f在区间a,b上可积的充要条件是f在区间a,b上的不连续点集为零测度集.A.错误B.正确正确答案:A21.测度为零的集称为零测集.A.错误B.正确正确答案:B22.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.A.错误B.正确正确答案:B23.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+A.错误B.正确正确答案:A24.对Rn中任意点集E，EE'必为可测集.A.错误B.正确正确答案:B25.若|f|和f2都

5、是有界变差，则f为有界变差.A.错误B.正确正确答案:A26.连续函数和单调函数都是有界变差函数.A.错误B.正确正确答案:A27.零测度集的任何子集都是可测集.A.错误B.正确正确答案:A28.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.A.错误B.正确正确答案:A29.若f可测，则|f|可测，反之也成立.A.错误B.正确正确答案:A30.若f,gBV，则|f|,f+,f-,fg,fg属于BV。A.错误B.正确正确答案:B31.可数集的测度必为零，反之也成立.A.错误B.正确正确答案:A32.存在某区间a,b上增函数f，使得f'(x)在a,b上积分值fdx<f(b)-

6、f(a) .A.错误B.正确正确答案:B33.若fL1a,b,则几乎所有的x属于a,b均是g的L点.A.错误B.正确正确答案:B34.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,则f<=g,a.e.A.错误B.正确正确答案:B35.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).A.错误B.正确正确答案:A36.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。A.错误B.正确正确答案:B37.f在E上可积的充要条件是级数 ME(|f|>=n)之和收敛.A.错误B.正确正确答案:A二、 单选题

7、 (共 5 道试题,共 10 分)1.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.A.mE=0B.0<mE<+C.mE=+D.0<=mE<=+正确答案:A2.若f&isin;L(X),则A.f在X上几乎处处连续B.存在g&isin;L(X)使得|f|<=gC.若&int;Xfdu=0,则f=0,a.e.正确答案:B3.设g(x)是0,1上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是0,1上的A.连续函数B.单调函数C.有界变差函数D.绝对连续函数正确答案:C4.下列关系式中不成立的是（ ）A.f(&cup;Ai)=&

8、amp;cup;f(Ai)B.f&cap;(Ai)=f(&cap;Ai)C.(A&cap;B)0=A0&cap;B0D.(&cup;Ai)c=&cap;(Aic)正确答案:B5.fn&isin;L(E),则fn->0,a.e.是&int;Efndx->0（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件正确答案:D三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)1.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）A.f-1(f（A）)=AB.f-1(f（A）)包含AC.f(f-1（A）)=AD.f(AB)包含f(A)f

9、(B)正确答案:BCD2.f(x)=1,x(-，+),则f(x)在(-，+)上A.有L积分值B.广义R可积C.L可积D.积分具有绝对连续性正确答案:AD3.f(x)=sinx/x,x(0,+),则f(x)在(0,+)上A.广义R可积B.不是广义R可积C.L可积D.不是L可积正确答案:AD4.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数正确答案:AB5.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）A.m(A)<m(B)B.m(A)<=m(B)C.m(BA)=m(A)D.m(B)=m(A)+m(BA)正确答案:BD6.若f&isin;ACa,b，则（ ）A.f&isin;Ca,bB.f&isin;BVa,bC.f(x)=f(a)+&int;ax f '(t)dtD.f&isin;Lipa,b正确答案:ABC7