函数概念的产生及其背景

1、函数概念的产生及其背景函数概念的产生及其背景函数产生的社会背景函数产生的社会背景:历史表明，重要数学概念对数学发展的作用历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而

2、且更能帮助我们领悟数学概念清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。对数学发展，数学学习的巨大作用。函数概念的产生及其背景( (一一) )马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图对不不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。时已经萌芽。自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球

3、不是宇宙中心，它本身又有自转和公既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上垂直下落到地球上? ?行星运行的轨道是椭圆，行星运行的轨道是椭圆，原理是什么原理是什么? ?还有，研究在地球表面上抛射物还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的问题

4、，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源。一个数学概念，这是函数概念的力学来源。函数概念的产生及其背景( (二二) )早在函数概念尚未明确提出以前，数学早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等。如对数函数、三角函数、双曲函数等等。16731673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念

5、，因此直到一般的函数概念，因此直到1717世纪后期牛世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。还没有明确函数的一般意义。函数概念的产生及其背景16731673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂幂”，后来他用该词表示曲线上点的横，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。由此可以看出，函数一词最初的几何量。由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论

6、中，使用与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词另一名词“流量流量”来表示变量间的关系，来表示变量间的关系，直到直到16891689年，瑞士数学家约翰年，瑞士数学家约翰贝努里才在贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量进行了明确定义，贝努里把变量x x和常量按和常量按任何方式构成的量叫任何方式构成的量叫“x x的函数的函数”，表示为。，表示为。函数概念的产生及其背景当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以

7、后来欧拉就索性把用这些运算连接变数以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x x和常数和常数c c而成的式子，取名为解析函数，还而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了将它分成了“代数函数代数函数”与与“超越函数超越函数”。1818世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了与欧拉先后引出了“任意的函数任意的函数”的说的说法在解释法在解释“任意的函数任意的函数”概念的时候，达概念的时候，达朗贝尔说是指朗贝尔说是指“任意的解析式任意的解析式”，而欧拉则，而欧拉则认为是认为是“任意画出的一条曲线任意画出的一条曲线”。现在看来。现在看来这都是函数的表达方式

8、，是函数概念的外延。这都是函数的表达方式，是函数概念的外延。 函数概念的产生及其背景( (三三) )函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立。立。18331833年至年至18341834年，高斯开始把注意力转年，高斯开始把注意力转向物理学，他在和向物理学，他在和W W威伯尔合作发明电报的威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工

9、作，提出过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了了“力与距离的平方成反比例力与距离的平方成反比例”这个重要的这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究。进一步研究。函数概念的产生及其背景后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数。那么第一个量称为第二个量的函数。“这个定义这个定义虽然还没有道出函数的本质，

10、但却把变化、运动虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步。注入到函数定义中去，是可喜的进步。”在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式。函数不必局限于解析表达式。18221822年，他在名著年，他在名著热的解析理论热的解析理论中说，中说，“通常，函数表示相接通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的的，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的，我们不假定这

11、些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。规律；他们以任何方式一个挨一个。” 函数概念的产生及其背景在该书中在该书中, ,他用一个三角级数和的形式表达了一他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的个由不连续的“线线”所给出的函数所给出的函数. .更确切地更确切地说就是说就是, ,任意一个以任意一个以22为周期函数为周期函数. .在在-，区间内，可以由区间内，可以由 表表示出，其中示出，其中 , , 。富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动。原来，在解析式和

12、曲线之间并不大的震动。原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍为揭示函数关系的巨大障碍。10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxfnxdxxfancos)(1nxdxxfbnsin)(1函数概念的产生及其背景通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义。克莱的函数定义。18341834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：的定义：“x x的函

13、数是这样的一个数，它对的函数是这样的一个数，它对于每个于每个x x都有确定的值，并且随着都有确定的值，并且随着x x一起变一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。可以存在，但仍然是未知的。”这个定义这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为函数概念的一个重大发展，因为“对应对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。是函数概念

14、的一种本质属性与核心部分。函数概念的产生及其背景18371837年，德国数学家狄里克莱（年，德国数学家狄里克莱（DirichletDirichlet）认为怎样去建立认为怎样去建立x x与与y y之间的关系无关紧要，之间的关系无关紧要，所以他的定义是：所以他的定义是：“如果对于如果对于x x的每一值，的每一值，y y总有完全确定的值与之对应，则总有完全确定的值与之对应，则y y是是x x的函的函数。数。”根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：被说成是函数（狄里克莱函数）： )(0)(1)(为无理数为有理数xxxf函数概念的产生及

15、其背景在这个函数中，如果在这个函数中，如果x x由由0 0逐渐增大地取值，则逐渐增大地取值，则f f（x x）忽）忽0 0忽忽1 1，在无论怎样小的区间里，在无论怎样小的区间里，f f（x x）无限止地忽）无限止地忽0 0忽忽1 1。因此，它难用一个或。因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题。但是不管其能否用表达达式也是一个问题。但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个式表示，在狄里克莱的定义下，这个f f（x x）仍是一个函数。仍是一个函数。狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数狄里克莱的函数定义，出色地避

16、免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。定义。函数概念的产生及其背景（四）生产实践和科学实验的进一步发展，（四）生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪2020年代，人类开始研究微观物理现象。年代，人类开始研究微观物理现象。19301930年量子力学问世了，

17、在量子力学中需要用年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数到一种新的函数函数，函数， 即即。0,0, 0)(xxx函数概念的产生及其背景 - - 函数的出现，引起了人们的激烈争论。按照函数的出现，引起了人们的激烈争论。按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把关系，而没有把“”作为数。另外，对于自作为数。另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的。然而，等于零，这也是不可想象的。然而， - - 函数函数确实是实际模型的抽象，例如，当汽车、火车确实是实际模型

18、的抽象，例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力，从理论上通过桥梁时，自然对桥梁产生压力，从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点触点x x = 0 = 0处的压强是处的压强是P P（0 0）= = 压力接触面压力接触面 =1=10 = 0 = ；其余点；其余点x x 0 0处，因无压力，故处，因无压力，故无压强，即无压强，即P P（x x）= 0= 0。另外，我们知道压强。另外，我们知道压强函数的积分等于压力。函数的积分等于压力。函数概念的产生及其背景函

19、数概念就在这样的历史条件下能动地向前函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集发展，产生了新的现代函数定义：若对集合合M M的任意元素的任意元素x x，总有集合，总有集合N N确定的元素确定的元素y y与之对应，则称在集合与之对应，则称在集合M M上定义一个函数，上定义一个函数，记为记为y = fy = f（x x），元素），元素x x称为自变元，元素称为自变元，元素y y称为因变元。称为因变元。函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上

20、的重大转折，近代的泛是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系。的是一般集合上的函数关系。函数概念的产生及其背景函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了。成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了。不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概年来，数学家们又

21、把函数归结为一种更广泛的概念念“关系关系”。设集合设集合X X、Y Y，我们定义，我们定义X X 与与Y Y 的积集的积集X X Y Y 为为X X Y Y = =（x x ，y y ）x x X X ，y y Y Y 积集积集X X Y Y 中的一子集称为中的一子集称为 R R 与与 Y Y 的一个关系，的一个关系，若（若（x x ，y y ）R R，则称，则称 x x 与与 y y 有关系有关系 R R ，记，记为为x R yx R y。若（。若（x x，y y）R R，则称，则称 x x 与与 y y 无关系。无关系。函数概念的产生及其背景现设现设 f f 是是 X X 与与 Y Y 的

22、关系，即的关系，即f X f X Y Y，如，如果（果（x x，y y），（），（x x，z z）f f，必有，必有y = zy = z，那么称那么称 f f 为为 X X 到到 Y Y 的函数。在此定义中，的函数。在此定义中，已在形式上回避了已在形式上回避了“对应对应”的术语，全部的术语，全部使用集合论的语言了。使用集合论的语言了。从以上函数概念发展的全过程中，我们体会从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要。发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要。 函数概念的产生及其背景早期函数概念几何

23、观念下的函数十七世纪伽俐略十七世纪伽俐略(G(GGalileoGalileo，意，意，156415641642)1642)在在两门新科学两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。达函数的关系。16731673年前后笛卡尔年前后笛卡尔(Descartes(Descartes，法，法，159615961650)1650)在他的解析几何中，已注意到一在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念

24、，因此直到意识到要提炼函数概念，因此直到1717世纪后期牛世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。16731673年，莱布尼兹首次使用年，莱布尼兹首次使用“functionfunction” （函数）（函数）表示表示“幂幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量流量”来表

25、示变量间的关系。来表示变量间的关系。 函数概念的产生及其背景十八世纪函数概念十八世纪函数概念代数观念下的函数代数观念下的函数17181718年约翰年约翰贝努利贝努利(Johann Bernoulli (Johann Bernoulli ，瑞，瑞，166716671748)1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的由任一变量和常数的任一形式所构成的量。量。”他的意思是凡变量他的意思是凡变量x x和常量构成的式子都叫做和常量构成的式子都叫做x x的函数，并强调函数要用公式来表示。的函数，并强调函数要

26、用公式来表示。 17551755欧拉欧拉(L(LEulerEuler，瑞士，瑞士，170717071783) 1783) 把函数定义把函数定义为为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 1818世纪中叶欧拉世纪中叶欧拉(L(LEulerEuler，瑞，瑞，170717071783)1783)给出了给出了定义：定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常一个变量的函数是由这个

27、变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰他把约翰? ?贝努贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数随意函数”。不。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。更普遍、更具有广泛意义。 函数概念的产生及其背景十九世纪函数概念十九世纪函数概念对应关系下的函数对应关系下的函数18211821年，柯西年，柯西(Cauchy(Cauchy，法，法，178917891

28、857) 1857) 从定义变从定义变量起给出了定义：量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。用多个解析式来表示

29、，这是一个很大的局限。 18221822年傅里叶（年傅里叶（FourierFourier，法，法，1768176818301830）发现）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。又推进了一个新层次。 函数概念的产生及其背景18371837年狄利克雷年狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet，德，德，180518051859) 1859) 突突破了这一局限

30、，认为怎样去建立破了这一局限，认为怎样去建立x x与与y y之间的关系之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在对于在某区间上的每一个确定的某区间上的每一个确定的x x值，值，y y都有一个或多个都有一个或多个确定的值，那么确定的值，那么y y叫做叫做x x的函数。的函数。”这个定义避免这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。定义。 等到康托尔等到康托尔(Cantor(Cantor，德，德，184518451918)1918)创立的集合创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen(Veblen，美，美，188018801960)1960)用用“集合集合”和和“对应对应”的概念给的概念给出了近代函数定义，通过