第三章 不等式（规律方法与数学思想）

1、第三章不等式§3.1不等关系与不等式材拓展1不等式的基本性质对于任意的实数a，b，有以下事实：a>bab>0；abab0；a<bab<0.这三条基本性质是差值比较法的理论依据例如：已知a>b>0，m>0，要比较与的大小，就可以采用以下方法：.m>0，a>b>0，ba<0，<0，<.2不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面单向性：(1)a>b，b>ca>c.(2)a>b，c>dac>bd.(3)a>b，c>0ac>bc.(4)a>b，c<

2、;0ac<bc.(5)a>b>0，c>d>0ac>bd.(6)a>b>0，n为正实数an>bn.双向性：(1)ab>0a>b；ab0ab；ab<0a<b.(2)a>bb<a.(3)a>bac>bc.单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)若把c>0作为大前提，则a>bac>bc，若把c<0作为大前提，则a>bac<bc.这两条性质也经常用于解不等式例如，下面这个简单的一元一次不等式也需要在上述性质下才能完成解不等式：x<

3、;x.解x<x2x9<8x1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)2x<8x10 (不等式两边都加上9)10x<10 (不等式两边都加上8x)x>1 (不等式两边都乘以，不等式方向改变！)3正分数的一个有趣性质在a>b>0，m>0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：<<1<<.由<可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大例如：<<<<<<<.由<可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小例如：>>>>

4、;>>>.从函数的观点看：当a>b>0时，函数f(x)在x0，)上是单调递增的；函数f(x)在0，)上是单调递减的法突破一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法例1已知mR，a>b>1，f(x)，试比较f(a)与f(b)的大小解可将f(a)与f(b)分别表示出来，然后根据m，a，b的取值范围进行比较，但由于m的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解由于f(x)，所以f(a)，f(b)，于是f(a)f(b)，由于a>

5、;b>1，所以ba<0，(a1)(b1)>0.当m>0时，<0，所以f(a)<f(b)；当m<0时，>0，所以f(a)>f(b)；当m0时，0，所以f(a)f(b)二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a，b都是正数，则a>b>1；a<b<1；ab1.(2)若a，b都是负数，则a>b<1.a<b>1；ab1.作商比较法的基本步骤为：作商；变形；与1比较大小；下结论例2设a>0，b>0，且ab，试比较aabb，abba，(ab)三者的大小

6、解aa·bba·b当a>b>0时，>1，ab>0，>0>01，aabb>(ab).当0<a<b时，0<<1，ab<0，<0.>01，aabb>(ab).所以，不论a>b>0还是0<a<b，总有aabb>(ab).同理：(ab)>abba.综上所述，aabb>(ab)>abba.三、利用不等式的性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断例3对于0<a<1，给出下列四个不等式loga(1

7、a)<logaloga(1a)>logaa1a<a1a1a>a1其中成立的是()A与 B与C与 D与解析0<a<1，a<1<，1a<1，而yloga x在(0，)上与yax在R上均为减函数，loga(1a)>loga，a1a>a1.答案D四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明例4是否存在实数a，使不等式>loga (a1)对一切

8、大于1的自然数n都恒成立？如果存在，试确定a的取值范围，否则说明原因解记f(n) (nN*，且n1)如果存在题意中要求的实数a，那么loga(a1)<f(n)minf(n)f(n1)<0，f(n)为增函数，故f(n)minf(2)，loga(a1)<，由此可解得1<a<，所以满足本题的实数a存在，其取值范围是.区突破误用不等式的性质而致错例已知：1ab2且2ab4，求4a2b的范围错解由于1ab22ab4得32a6a3×(1)得02b30b×4×(2)得34a2b12.点拨上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的

9、那到底是为什么呢？我们先看不等式4a2b3什么时候取等号，由上述解题过程可知，当a且b时，才取等号，而此时ab0，不满足式，因此4a2b是不能等于3的同理可验证4a2b也不能等于12，出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形因此结论是错误的正解换元法令ab，abv，则24,1v2.由解得.4a2b4·2·22vv3v.而24,33v6，则53v10.54a2b10.题多解例设0<x<1，a>0，a1，试比较|loga(1x)|和|loga(1x)|的大小解方法一首先判断对数式loga

10、(1x)和loga(1x)的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较解题过程必须注意对数函数的单调性0<x<1，0<1x<1,1<1x<2.(1)当a>1时，loga(1x)<0，loga(1x)>0P|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0<1x2<1，loga(1x2)>0.故P>0，得|loga(1x)|>|loga(1x)|.(2)当0<a<1时，loga(1x)>0，loga(1x)<0P|loga(1x)|loga(1x)|lo

11、ga(1x)loga(1x)loga(1x2)0<1x2<1，loga(1x2)>0.即P>0.故|loga(1x)|>|loga(1x)|综上所述，当a>0，a1时，均有|loga(1x)|>|loga(1x)|.方法二将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论Plog(1x)log(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)loga由已知0<x<1，得0<1x2<1,0<1x<1,1<1x<2，0<1

12、x<1x，0<<1.(1)当a>1时，loga(1x2)<0，loga <0，P>0；(2)当0<a<1时，loga(1x2)>0，loga >0，P>0综合(1)、(2)知，当a>0，a1时总有log(1x)>log(1x)故|loga(1x)|>|loga(1x)|.方法三将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式|log(1x)(1x)|0<x<1，0<1x<1,1<1x<2.0<1x2<1，1x<log(1x)(1x)<log(1x)1.|

13、log(1x)(1x)|>1，|loga(1x)|>|loga(1x)|.题赏析1(2011·北京)如果logx<logy<0，那么()Ay<x<1 Bx<y<1C1<x<y D1<y<x解析不等式转化为1<y<x.答案D2(2008·江西)若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是()Aa1b1a2b2 Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1 D.解析方法一特殊值法令a1，a2，b1，b2，则a1b1a2b2，a1a2b1b2，a

14、1b2a2b1，>>，最大的数应是a1b1a2b2.方法二作差法a1a21b1b2且0<a1<a2,0<b1<b2，a21a1>a1，b21b1>b1，0<a1<，0<b1<.又a1b1a2b2a1b1(1a1)(1b1)2a1b11a1b1，a1a2b1b2a1(1a1)b1(1b1)a1b1ab，a1b2a2b1a1(1b1)b1(1a1)a1b12a1b1，(a1b2a2b1)(a1a2b1b2)ab2a1b1(a1b1)20，a1b2a2b1a1a2b1b2.(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)4a1b112a

15、12b112a12b1(2a11)(2a11)(2b11)4>0，a1b1a2b2>a1b2a2b1.(a1b1a2b2)2a1b1a1b1b1(2a11)(2a11)(2a11)2>0，a1b1a2b2>.综上可知，最大的数应为a1b1a2b2.答案A§3.2一元二次不等式及其解法材拓展1一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax>b.若a>0，则其解集为.若a<0，则其解集为.若a0，b<0，解集为R；b0，解集为.2三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2bxc>0或ax2bxc<0 (

16、a>0)不妨设方程ax2bxc0的两根为x1、x2且x1<x2.从函数观点来看，一元二次不等式ax2bxc>0 (a>0)的解集，就是二次函数yax2bxc (a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2bxc<0 (a>0)的解集，就是二次函数yax2bxc (a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值3简单的高次不等式的解法数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x1)(x2)(x3)>0.我们可以列表如下：x的区间x<11<x<

17、;22<x<3x>3x1x2x3(x3)(x2)·(x1)把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x1)(x2)(x3)>0的解集是x|1<x<2或x>3一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p(x)(xx1)(xx2)(xxn)>0 (或<0)的标准形式；(2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线；(3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p(x)的符号变化规律，标出p(x)的正值区间和负值区间；(5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内

18、4分式不等式的解法(1)>0f(x)·g(x)>0.(2)<0f(x)·g(x)<0.(3)0.(4)0.注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式例如：解不等式：>.解原不等式>0>0>0x<或<x<或x>3.原不等式的解集为(3，)5恒成立问题(1)f(x)a，xD恒成立f(x)mina，xD恒成立；f(x)a，xD恒成立f(x)maxa，xD恒成立；(2)ax2bxc>0恒成立或ax2bxc<0恒成立或.6一元二次方程根的分布我们以ax2bxc0 (a>0)为例，借助开

19、口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x1<k<x2f(k)<0x1<x2<kk<x1<x2k1<x1<x2<k2k1<x1<k2<x2<k3法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)例1解不等式：x.解原不等式x000000.由图可知，原不等式的解集为x|x<1或2x<3二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类

20、讨论，即要产生一个划分参数的标准例2解不等式：<x1 (kR)解原不等式>0(x2)(kx3k2)>0当k0时，原不等式解集为x|x>2；当k>0时，(kx3k2)(x2)>0，变形为(x2)>0.3>3>2，<2.x<或x>2.故解集为.当k<0时，原不等式(x2)<0由(2).当2<k<0时，<0，2<，不等式的解集为；当k2时，2，原不等式(x2)2<0不等式的解集为；当k<2时，>0，2>.不等式的解集为.综上所述，当k0时，不等式的解集为x|x>2

21、；当k>0时，不等式的解集为；当2<k<0时，不等式的解集为；当k2时，不等式的解集为；当k<2时，不等式的解集为.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a(“客”)的取值范围，反过来求x(“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a为“主”，未知数x为“客”，则关于x的一元二次不等式就立即转化为关于a的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解例3已知不等式x2px1>2xp.(1)如果不等式当|p|2时恒成立，求x的取值范

22、围；(2)如果不等式当2x4时恒成立，求p的取值范围分析题中不等式含有两个字母x，p，由(1)的条件可知，应视p为变量，x为常量，再求x的范围；由(2)的条件可知，应视x为变量，p为常量，再求p的范围解(1)不等式化为：(x1)px22x1>0，令f(p)(x1)px22x1，则f(p)的图象是一条直线又因为|p|2，所以2p2，于是得：即即x>3或x<1.故x的取值范围是x>3或x<1.(2)不等式可化为(x1)p>x22x1，2x4，x1>0.p>1x.由于不等式当2x4时恒成立，所以p>(1x)max.而2x4，所以(1x)max1，

23、于是p>1.故p的取值范围是p>1.四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件常常从以下几个关键点去限制，判别式，对称轴，根所在区间端点函数值的符号例4已知关于x的一元二次方程x22mx2m10.若方程有两根，其中一根在(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围解设f(x)x22mx2m1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m满足不等式组解得：<m<.五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实

24、际含义”例5国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项调整前调整后税率8%(8x)%收购量m(吨)(12x%)m(吨)税收总收入2 400m×8%2 400(12x%)m×(8x)%解设税率调低后的“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)·(8x)%m(x242x400) (0<x8)依题意，y

25、2 400m×8%×78%即：m(x242x400)2 400m×8%×78%整理得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知0<x8，所以0<x2为所求区突破1忽略判别式的适用范围而致错例1若不等式(a2)x22(a2)x4<0对xR恒成立，求实数a的取值范围错解不等式(a2)x22(a2)x4<0，对xR恒成立2<a<2.点拨当a20时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立正解当a20，即a2时，原不等式为4<0，所以a2时成立当a20时，由题意得，即，解得2&

26、lt;a<2.综上所述，可知2<a2.温馨点评在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断在处理形如ax2bxc的问题时，要注意对x2系数的讨论2混淆“定义域为R”与“值域为R”的区别而致错例2若函数ylg(ax22xa)的值域为R，求a的取值范围错解1函数ylg(ax22xa)的值域为R.ax22xa>0对xR恒成立，即，a>1.错解2函数ylg(ax22xa)的值域为R.代数式ax22xa能取遍一切正值44a20，1a1.点拨上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a<0时，

27、代数式ax22xa不可能取到所有正数，从而也是错误的正解当a0时，ylg(2x)值域为R，a0适合当a0时，ax22xaa2为使ylg(ax22xa)的值域为R，代数式ax22xa应取到所有正数所以a应满足，解得0<a1.综上所述，0a1.题多解例解不等式：3lg x.解方法一3lg x1lg x210x100.方法二设t，则lg xt21 (t0)3lg x0t1011lg x210x100.方法三解方程3lg x，解得：x100. 令f(x)，易知f(x)在10，)为增函数，g(x)3lg x在10，)为减函数且f(100)g(100)1.为使f(x)g(x)，则10x100.方法四

28、令lg xt，f(t)，g(t)3t.在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：易知交点为(2,1)当1t2时，f(t)g(t)即3lg x成立由1t2，即1lg x2，解得：10x100.题赏析1(2009·江西)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k_.解析令y1，y2k(x2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)的解集为a，b且ba2.结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)k.答案赏析本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法2(2009·天津)设0<b<1a，若关于x的不等式(xb)2>(ax)2的解

29、集中的整数恰有3个，则()A1<a<0 B0<a<1C1<a<3 D3<a<6解析(xb)2>(ax)2，(a21)x22bxb2<0，要使x的解集中恰有3个整数，必须有a21>0.又a1>0，a>1.不等式变形为(a1)xb(a1)xb<0.a>1，b>0，>0,0<<1，<x<，其中含三个整数，3<2,2<3.2a2<b3a3.1<a<3.答案C赏析本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性

30、规划问题材拓展1二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线AxByC0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集(2)若点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)在直线l：AxByC0的同侧(或异侧)，则Ax1By1C与Ax2By2C同号(或异号)(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，即在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(

31、x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C0时，常把原点作为测试点当C0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点3补充判定二元一次不等式表示的区域的一种方法先证一个结论已知点P(x1，y1)不在直线l：AxByC0 (B0)上，证明：(1)P在l上方的充要条件是B(Ax1By1C)>0；(2)P在l下方的充要条件是B(Ax1By1C)<0.证明(1)B0，直线方程化为yx，P(x1，y1)在直线上方，对同一个横坐标x1，直线上点的纵坐标小于y1，即y1>x1.(*)B2>0，两端乘以B2

32、，(*)等价于B2y1>(Ax1C)B，即B(Ax1By1C)>0.(2)同理，由点P在l下方，可得y1<x1，从而得B2y1<(Ax1C)B，移项整理为B(Ax1By1C)<0.上述解答过程可逆，P在l上方B(Ax1By1C)>0，P在l下方B(Ax1By1C)<0.从而得出下列结论：(1)B>0时，二元一次不等式AxByC>0表示直线AxByC0上方的平面区域(不包括直线)，而AxByC<0表示直线AxByC0下方的平面区域(不包括直线)(2)B<0时，二元一次不等式AxByC>0表示直线AxByC0下方的区域(不包括

33、直线)，而二元一次不等式AxByC<0表示直线AxByC0上方的平面区域(不包括直线)(3)B0且A>0时，AxC>0表示直线AxC0右方的平面区域(不包括直线)，AxC<0表示直线AxC0左方的平面区域(不包括直线)(4)B0且A<0时，AxC>0表示直线AxC0左方的平面区域(不包括直线)，AxC<0表示直线AxC0右方的平面区域(不包括直线) 法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域例1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，

34、y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为()A2 B1C. D.解析答案B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程AxByC0，根据代数式AxByC的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号例2如图所示，四条直线xy20，xy10，x2y20,3xy30围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组_表示解析(0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线xy20的同侧，把(0,0)代入到xy2，得002<0，所以直线xy20对应的不等式为

35、xy2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x2y2>0,3xy3>0，xy1<0，则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关若目标函数为形如z，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率若目标函数为形如z(xa)2(yb)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方例3(2009·山东济宁模拟)已知点P(x，y)满足点Q(x，y)在圆(x2)2(y2)21上，则|PQ|的最大值与最小值为()A6,3 B6,2 C5,3 D5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ|d，则由图中圆心C(2，

36、2)到直线4x3y10的距离最小，则到点A距离最大由得(2,3)dmax|CA|1516，dmin12.答案B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数zaxby (ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值例4某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根

37、据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌，那么利润p15x20y.其中x，y满足限制条件.即点(x，y)的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x8y8 000(即AB)，2xy1 300(即BC)，x0(即OA)和y0(即OC)对于某一个确定的pp0满足p015x20y，且点(x，y)属于阴影部分的解x，y就是一个能获得p0元利润的生产方案对于不同的p，p15x20y表示一组斜率为的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低按题意，要求p的最大值，需把直线p15x20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，当直线通过B点时，

38、处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值由，得B(200,900)，当x200，y900时，p取最大值，即pmax15×20020×90021 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元区突破1忽略截距与目标函数值的关系而致错例1设E为平面上以A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z4x3y的最大值与最小值错解把目标函数z4x3y化为yxz.根据条件画出图形如图所示，当动直线yxz通过点C时，z取最大值；当动直线yxz通过点B时，z取最小值zmin4×(1)3×(6)14；zmax4×

39、;(3)3×218.点拨直线yxz的截距是z，当截距z最大即过点C时，目标函数值z最小；而当截距z最小即过点B时，目标函数值z最大此处容易出错正解把目标函数z4x3y化为yxz.当动直线yxz通过点B时，z取最大值；当动直线yxz通过点C时，z取最小值zmax4×(1)3×(6)14；zmin4×(3)3×218.2最优整数解判断不准而致错例2设变量x，y满足条件求S5x4y的最大值错解依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x4yS过点A时，S5x4y取最大值，Smax18 .因为x、y为整数，所以当直线5x4y

40、t平行移动时，从点A起通过的可行域中的整点是C(1,2)，此时Smax13.点拨上述错误是把C(1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B(2,1)，此时S14才是最大值正解依据已知条件作出图形如图所示，因为B(2，1)也是可行域内的整点，由此得SB2×51×414，由于14>13，故Smax14.题多解例某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A5种B6种C7种D8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒

41、磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1247(种)不同的选购方式方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点答案C题赏析1(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组且x，y为整数，则3x4y的最小值是()A14 B16C17 D19解析

42、作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x4y的最小值是3×44×116.答案B2(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件，目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A(1,2) B(4,2) C(4,0 D(2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知1<<2，即4<a<2.答案B赏析本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合§3.4基本不等式：材拓展1一个常用的基本不等式链设a>0，b>0

43、，则有：mina，b maxa，b，当且仅当ab时，所有等号成立若a>b>0，则有：b<<<< <a.2基本不等式的拓展(1)a，bR，都有ab成立(2)a2b22ab可以加强为a2b22|a|·|b|，当且仅当|a|b|时取等号(3)a，b，cR，都有a2b2c2abbcca成立(4)若ab>0，则2.3利用基本不等式求最值的法则基本不等式 (a，b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab2，当且仅当ab时，等号成立(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即ab2，当且仅

44、当ab时，等号成立注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：两个正数；两个正数的积或和为定值；取最值时，等号能成立概括为“一正、二定(值)、三相等”4函数f(x)x (k>0)的单调性在求最值中的应用有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)x (k>0)的单调性加以解决利用函数单调性的定义可以证明函数f(x)x (k>0)在(0，上单调递减，在，)上单调递增因为函数f(x)x (k>0)是奇函数，所以f(x)x (k>0)在(，上为增函数，在，0)上为减函数函数f(x)x (k>0)在定义域上的单调性如右

45、图所示例如：求函数f(x)sin2x，x(0，)的最小值解令tsin2x，x(0，)，g(t)t.t(0,1，易知g(t)在(0,1上为单调递减函数，所以当t1时，g(t)min6.即sin x1，x时，f(x)min6.法突破一、利用基本不等式求最值方法链接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察例1求函数y的最大值解设t，从而xt22(t0)，则y.当t0时，y0；当t>0时，y.当且仅当2t，即t时等号成立即当x时，ymax.二、利用基本不等式解恒成立问题方法链接：含参数的

46、不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题a>f(x)恒成立a>f(x)max，a<f(x)恒成立a<f(x)min.例2已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A(，1) B(，21)C(1,21) D(21,21)解析由f(x)>0得32x(k1)·3x2>0，解得k1<3x，而3x2，k1<2，k<21.答案B三、利用基本不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍

47、性例3已知a>2，求证：loga(a1)·loga(a1)<1.证明因为a>2，所以loga(a1)>0，loga(a1)>0.又loga(a1)loga(a1)，所以<loga(a21)<logaa21.所以loga(a1)loga(a1)<1.四、基本不等式的实际应用方法链接：应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围例4某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术

48、人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用(总费用建筑费用征地费用)解设建造这幢办公楼的楼层数为n，总费用为y元，当n1时，y2.5·A·2 388445A6 415A(元)，当n2时，y2.5··2 388445A3 430A(元)，当n3时，y2.5··2 388445·(44530)·(44560)·44530(n2)·6 000·15nA400A2A400A1 0

49、00A(元)(当且仅当n20时取等号)即n20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元区突破1忽略应用基本不等式的前提条件而致错例1求f(x)2log2 x(0<x<1)的最值错解f(x)2log2 x2222.f(x)min22.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来点拨0<x<1，log2 x<0，<0，不能直接运用公式正解0<x<1，(log2 x)>0，>0.(log2 x)2 2.log2x2.f(x)2log2 x22.当且仅当log2 x时，即x2时取等号f(x)m

50、ax22.2忽略等号成立的条件而致错例2已知m2n2a，x2y2b (a、b为大于0的常数且ab)，求mxny的最大值错解mx，ny，mxny.当且仅当mx，ny时取“”点拨如果mx，ny，则会有m2n2x2y2ab，这与条件“ab”矛盾，如果mx，ny中有一个不成立，则“”取不到，则不满足使用基本不等式的条件正解利用三角代换可避免上述问题m2n2a，设 (0,2)，x2y2b，设(0,2)mxnycos cos sin sin (cos cos sin sin )cos()(mxny)max，当且仅当cos()1，时取“”3两次利用基本不等式而致错例3已知x>0，y>0，且x2y

51、1，求的最小值错解因为x>0，y>0，且x2y1，(x2y)2×24.所以的最小值为4.点拨上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式解题忽视了等号成立的一致性正解因为x>0，y>0，且x2y1，所以123232.当且仅当且x2y1，即x1，y1时，取得等号所以的最小值为32.题多解例若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围. 解方法一把代数式ab转化为a(或b)的函数abab3，bb>0，a>1.ab(a1)5a>1，a1>0，(a1)24.ab9，当且仅当a1，即a3，b3时，取“”方法二利用基本不等式ab2，把ab转化为a

52、b，再求ab的范围ab2，abab323.ab230，(3)(1)0.3，ab9，从以上过程可以看出：当且仅当ab3时，取“”方法三把a，b视为一元二次方程x2(3ab)xab0的两个根，那么该方程应有两个正根所以有：其中由(3ab)24aba2b210ab9(ab9)(ab1)0，解得ab9或ab1.x1x2ab3>0，ab9.又abab3，ab6，当且仅当ab3时取“”题赏析1(2011·重庆)已知a>0，b>0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析ab2，1.()()()2(当且仅当，即b2a时，“”成立)，故y的最小值为.答案C2(2009&

53、#183;天津)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.解析由题意知3a·3b3，即3ab3，所以ab1.因为a>0，b>0，所以(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立答案B赏析本题考查了等比中项的概念、基本不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到本章回顾识结构点回放1不等式的基本性质(1)比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab>0a>b；ab0ab；ab<0a<b.另外，若b>0，则>1a>b；1ab；<1a<b.(2)不等式的性质对称性：a>bb<a；传递性：a&