第三讲三角形的等面积变形

1、第三讲三角形的等面积变形第一个模型：面积比例关系模型在这个模型中，有“同高模型”、“鸟头模型”等需要同学们掌握。例1. 如图，BDA长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。（1）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？（2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？分析：AB H D C(1)三角形ABC和三角形ABD共用一个顶点、并且这个顶点的对边分别在同一条直线上，因此，这样的两个三角形是高是相同的三角形,都是AH线段的长度。我们简单记为“同高模型”。显然三角形ABC的面积与三角形ADC的面积之比为他们的底边BC与DC长度之比。BC=12+4=16厘米，即：=16

2、：4=4：1.因此，三角形ABC的面积是三角形ADC的4倍。（2）分析方法同上，=BD:DC=12:4=3:1.所以，三角形ABC的面积是三角形ADC面积的三倍。总结：“同高模型”的三角形面积之比等于底边长之比，像例1就是“同高模型”。拓展1如右图，AE在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米。DE=3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？EBDC分析：三角形ABC的面积=BC×AD÷2，而三角形EBC的面积=BC×ED÷2,所以面积之比为AD:ED=12:3=4:1。总结：这是典型的“同底模型”，面积之比等于高之比。拓展2，如图，在三角形A

3、BC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与三角形ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？AEBDC分析：D是中点，所以=BD:DC=1:1.即，三角形ABD面积等于三角形ADC的面积；E是AD的中点，所以三角形AEB等于三角形BED的面积都等于三角形ABD面积的一半，也就是三角形ABC面积的四分之一，同理三角形AEC的面积等于三角形EDC的面积都等于三角形ADC面积的一半，即等于三角形ABC面积的四分之一。所以，与三角形ABE面积相等的有三个：三角形AEC,BED,DEC.转化为“同高模型”的“鸟头模型”。例2，（第四届“迎春杯”试题）如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3A

4、B,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？ A B EC分析：方法一：连结CE.此时出现两个“同高”模型，D因为AE=3AB，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC面积：三角形BCE面积=1：2，三角形ABC面积为1，所以三角形BCE的面积为2，又因为BD=2BC，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE的面积：CDE的面积=1：1，所以三角形CDE的面积是2，所以三角形BDE的面积是4.方法二：AB ECD如图，连接AD,因为BC:CE=1：1，所以三角形ACD的面积：三角形ABC的面积=1：1，所以三角形ACD的面积=1，三角形ABD的面积=2，因为AB:BE=1:2,所以三角形ADE

5、的面积为4.拓展1，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？A甲乙EBCD方法一：连接EC，因为BD:DC=1:1,设甲部分面积是1个单位，那么三角形EDC的面积为1个单位，所以三角形BCE的面积为2个单位，因为BE:AE=3:6=1:2,所以三角形ACE的面积为4个单位，所以乙部分的面积为4+1=5个单位，所以乙部分面积是甲部分面积的5倍。方法二：A乙甲EBDC连接AD.因为BE=3,AE=6,所以BE:AE=3:6=1:2,设甲部分的面积为1个单位，那么三角形AED的面积为2个单位，这样ABD的面积为3个单位，因为BD:CD=1:

6、1,所以三角形ADC的面积也为3个单位，这样乙部分的面积为3+3-1=5个单位，所以乙部分是甲部分面积的5倍。注意：B拓展1中的模型我们称为“鸟头模型”。D ACE“鸟头定理”：如图三角形ABC中CD:BC=a:b,EC:AC=c:d，那么鸟头部分即三角形CED的面积与三角形ABC的面积之比为：（a×c）：（a+b）×(c+d)。这个证明我们会在暑假班讲解。第二个模型：平行线间等面积模型。例3，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？ADGFHBEC分析:连接CF.则CFBD。则三角形BCD与三角形BDF就是这两

7、条平行线之间的等积模型。因为他们有一条公共的底边BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。所以面积相等，而三角形BDC的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。拓展1，下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。ABFED C分析：连接AD。则ADBC，而三角形BCD与三角形BCA就是这两条平行线之间的等积模型。所以面积相等，都是4×4÷2=8平方厘米。总结：一般，两个正方形像例3或者像拓展1这样放置时候，我们可以考虑连接对角

8、线。例4，图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。ADO BC三角形AOB的面积为15平方厘米，OB:OD=3：1，所以三角形AOD的面积为5平方厘米，而梯形中ADBC,所以三角形ADC与三角形ADB是平行线间的等积模型，所以他们面积相等，而他们的重叠部分是三角形AOD，所以都减去这部分之后就剩下三角形AOB与三角形DOC,所以面积也相等，所以三角形DOC的面积为15平方厘米。同样因为OD:OB=1:3,所以三角形DOC面积：三角形BOC的面积=1：3，所以三角形BOC的面积为45平方厘米。所以梯形面积为15+15+5+45=80平方厘米。 拓展

9、1如下图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F,若三角形ADE的面积为1，求三角形BEF的面积。 C BED A F分析：连接AC，因为DCAB,所以三角形ADE和三角形ACE的面积相等，这样把三角形ADE的面积转化成求ACE的面积，又因为AFBC,所以三角形ABC的面积与三角形BCF的面积相等，而他们的重叠部分为三角形CBE的面积，所以都去掉它之后剩下的面积也相等，即三角形ACE与三角形BEF的面积相等。所以三角形BEF的面积为与三角形ADE的面积也相等，即是1个单位。拓展2，三个正方形ABCD、BEFG、FHKP如图排列，正方形BEFG的边长是3厘米，求三角形DEK

10、的面积。DCG F PHKAB E连接FK 、GE、 DB，则这三条线段所在直线平行，所以三角形GEK与三角形GEF是GE 与FK之间的等积模型，所以三角形GEK与三角形GEF的面积为3×3÷2=4.5（平方厘米），同理GE 与DB平行，所以三角形GEB与三角形GEB的是这两条平行线之间的等积模型，所以三角形GED的面积为3×3÷2=4.5（平方厘米）。“一半模型”在长方形中或者平行四边形中，三角形AEB的面积是长方形或者平行四边形面积的一半如下图：注意：E点是在对边DC上任意取的点。EDCDECAB ABAD EBCADEBC另外一类“一半模型”如下图

11、所示：三角形AEB与三角形DEC的面积之和为平行四边形或者长方形面积的一半儿。DCDCEEABAB例5.如图所示，四边形ABCD与四边形AEGF都是平行四边形，请你说明它们的面积相等。FABGDCE证明：连接EB。则三角形AEB的面积为平行四边形ABCD的一半，并且也为平行四边形AEGF面积的一半，即这两个平行四边形的面积都等于三角形AEB的二倍，所以他们相等。E例6，将右图长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与长方形顶点及所有分点连接，已知长方形的面积是20平方厘米，求阴影部分面积。651423阴影部分的1、2、4、5部分面积和=长方形的长×宽÷2=长方形面积的倍

12、，而3、6部分的面积=长×宽÷2=长方形面积的，所以阴影部分的面积为长方形面积的+=倍，所以阴影部分的面积是×20=10（平方厘米）。学案1如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ADEBC分析：连接BE。因为AD:AB=1：5 ,所以三角形ADE的面积为1个单位，那么三角形ABE的面积为5个单位，因为AE:AC=1：3，所以三角形ABE的面积：三角形ABC的面积=1：3，所以三角形ABC的面积为：3×5=15.另外一种做辅助线的方法：请同学们自己试一试吧。学案2， FABBC

13、DE如上图，已知三角形ABC的面积为1，延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使CE=2BC,延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。分析：连接CD,AE.因为AB:BD=1:1,所以三角形DBC的面积：三角形ABC的面积=1：1，所以也是1个单位，因为BC:CE=1:2,所以三角形DCE的面积为2个单位，同理三角形ACE的面积也是2个单位，因为AC:AF=1:3,所以三角形AEF的面积为6个单位，因为三角形ADC的面积为2个单位，而AC:AF=1:3,所以三角形ADF的面积为6个单位，这样DEF的面积为6+6+2+2+1+1=18个平方单位。学案3AEDFGHOBC如图所示，

14、长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，则OG是多少厘米？分析：方法一：作EHFG,三角形EFO的面积=FO×EH÷2,三角形CFO的面积=FO×CG÷2,而三角形CEF的面积=三角形EFO的面积+三角形CFO的面积，即32= FO×EH÷2+ FO×CG÷2=FO×(EH+CG)÷2=FO×CD÷2=FO×8÷2,所以FO=32×2÷8=8(厘米)，所以OG=12-8=4(厘米)；方法二：如下图，E

15、DOFGC连接FD、OD,则三角形OFD与三角形OFE是等积三角形，所以面积相等，所以凹四边形CFDO的面积等于三角形CEF的面积，都是32平方厘米，而CDF的面积为长方形面积的一半模型，所以等于长方形面积的一半，即12×8÷2=48（平方厘米），所以三角形CDF的面积=48-32=16（平方厘米），所以OG=16×2÷8=4（厘米）。学案4如下图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点。三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？EABDCFAE:EB=3:1,而三角形AED与三角形BE

16、C的高相等，都等于平行四边形ABCD的高，所以面积之比等于AE:CE=3:1,所以三角形ADE的面积=3×20=60（平方厘米）。而三角形DEC的面积又是平行四边形DECF的一半，所以DECF的面积等于60×2=120（平方厘米）。家庭作业：1. 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连接BE、AE、CF、BF，那么与三角形BEC等积的三角形一共有哪几个？AFDEBC答案：三角形AEC、三角形AFC、三角形ABF。2，如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ADOBC答案：三角形ABD与三角形ACD、三角形ABC与三角形BCD、三角形A

17、BO与三角形DCO.2. 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？ BEACD方法一：连接CE.(请同学们自己试一试)。方法二：ABECD连接AD.因为BC:BD=1:2,所以三角形ABC的面积：三角形ADB=1：2，所以三角形ADB的面积等于2个单位；因为BE:AB=2:1,所以三角形BED的面积：三角形ADB的面积=2：1，所以三角形BDE的面积为4个单位。4， 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。DACB方法一：DACEB方法二：EDACB仍然连接BD,过A做BD的平行线交CD的延长线于点E,连接BE.则三角形EBC的面积等于四边形ABCD的面积。方法三：DACBE三角形AED即为所作的三角形。方法四：E DACB三角形ABE即为所做的三角形。方法五：DACBE三角形ADE即是所作的三角形。方法六：DAECB三角形DCE即是所作的三角形。方法七：DAEBC三角形ABE即是做作的三角形。方法八：EDACB三角形BCE即是所作的三