全等三角形压轴题分类解析

1、三角形全等综合题归类精选范本双等边三角形模型1. (1)如图1，点0是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三角 形OCD,连结AC和BD,相交于点 E,连结BC.求/ AEB的大小；(2)如图2,A OAB固定不动，保持 重叠)，求/ AEB的大小.C,连接AF和BE.2、如图a, ABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论;(2) 将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度，得到图 b,(3) 若将图a中的 ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出 吗？作出判断不必说明理由(1) 中的结论还成

2、立吗？作出判断并说明理由； 一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成立3.如图1，若 ABC和 ADE为等边三角形，M ,N分别为EB,CD的中点(ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD BE是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2) ADE绕A点旋转到图3的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明 理由.图B4、已知，如图所示，在 ABC和° ADE中，AB AC , AD AE , BAC DAE，且点B, A, D在 一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1) 求证： BE CD ；笑 AM AN

3、；(2) 在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图所示的图形请直接 写出(1)中的两个结论是否仍然成立 CE图5.如图，四边形 ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接 BG与DE相交于点H.(1) 证明： ABG = ADE ;2)试猜想BHD的度数，并说明理由;(3) 将图中正方形 ABCD绕点A逆时针旋转(0°vBAE v 180°)，设 ABE的面积F为$ , ADG的面积为 色，判断3与S2的大小关系，并给予证明.6已知：如图， ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG / BC ,交AC于点G,在GD的延长线上取

4、点 E，使 DE DB，连接 AE, CD .(1) 求证： AGE = DAC ；(2) 过点E作EF / DC ,交BC于点F ,请你连接AF ,并判断 AEF是怎样的三 角形，试证明你的结论.垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1 ：利用垂直证明角相等1、如图， ABC中，/ ACB= 90° , AC= BC, AE是BC边上的中线，过 C作CF丄AE,垂足为 F,过B作BD丄BC 交CF的延长线于D.求证：(1) AE= CD;(2)若 AC= 12 cm,求 BD 的长.2、如图，已知 ABC中，/ BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直

5、线，且B、C在A、E的异侧，BD丄AE于D, CE丄AE于E。(1)试说明：BD=DE+CE.若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？说明理由。若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？说明理由。3.直线CD经过BCA的顶点C, CA=CB E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA(1)若直线CD经过 BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题:如图1，若BCA 90°,90°，则efBE AF (填“”，“”或“”号)；如图2，若0o B

6、CA 180o，若使中的结论仍然成立，则 与BCA应满足的关系 (2)如图3,若直线CD经过 BCA的外部, 予证明.BCA，请探究EF与BE、AF三条线段的数量关系，并给图1图2图3考点2 :利用角相等证明垂直1、如图，在等腰 RtA ABC中，/ ACB=90°, D为BC的中点，DE丄AB,垂足为 E,过点B作BF/ AC交DE的延 长线于点F,连接CF. (1)求证：CD=BF 求证：AD丄CF; (3)连接AF,试判断 ACF的形状.2、如图9所示， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90°, AD是BC边上的中线，过 C作AD的垂线，交AB于点 E,交 AD

7、 于点 F,求证：/ ADC=Z BDE.A图9B3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE , GC .（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2） 将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使 E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC .你认为（1） 中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4.如图1， ABC的边bc在直线1上，AC BC,且AC BC, EFP的边FP也在直线1上，边EF与边AC重 合，且EF FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;（2）将 EFP沿直线I

8、向左平移到图2的位置时，EP交AC 于点Q连接AP，BQ .猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将 EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延 长线交AC的延长线于点q,连结AP,BQ，你认为（2）中所 猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1:等腰三角形性质的应用1. 如图，ABC中，AB AC , BAC 90 , D是BC中点，ED FD , ED与AB交于E , FD与AC 交于F 求 证：BE AF , AE CF 2.两个全等的含300, 600角的三角

9、板ADE和三角板ABC，如图所示放置,E,AC三点在一条直线上,连结BD ,取BD的中点M ,连结ME,MC 试判断EMC的形状，并说明理由.3、已知 Rt ABC 中，ACBC ,C 90 , D为AB边的中点，EDF 90 ,分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F .当 EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1）,易S defS cef丄SABC 2当 EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图 2和图3这两种情况下，上述结 论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF , SCEF , Sabc又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明.EDF绕D点旋转，它的两边DEA图1图

10、24、已知：如图， ABC中，/ ABC=45°, CD丄AB于D, BE平分/ ABC,且BEX AC于E,与 CD相交于点 F, H是BC边的中点，连结1DH与BE相交于点G。BF=ACce=2bfce与BC的大小关系如何。考点2 :等腰直角三角形（45度的联想）1、如图1，四边形 ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 在AB边上滑动（点E不与点A, B重合），另一条直角边与 / CBM的平分线BF相交于点F.如图14 1，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE，EF的长度，猜想 DE与EF满足的数量关系是 ; 连接点E与AD边的中点N，猜想N

11、E与BF满足的数量关系是一 请证明你的上述两猜想D，且直角顶点EA E囲】4一1 如图14 2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找 到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时 DE与EF有怎样的数量关系并 证明2. 在 RtAABC 中，AC= BC,/ ACB= 90 ° D 是 AC 的中点，DG丄 AC 交 AB 于点 G.(1) 如图1 , E为线段DC上任意一点，点 F在线段DG上，且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH丄FC,交直 线AB于点H. 求证：DG=DC 判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2) 若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上

12、，(1)中的其他条件不变，借助图 2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论，不必证明)3、已知： ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A,且60o角的顶点E在BC上滑动，(点E不与点B、C重合)，斜边与/ ACM的平分线 CF交于点F(1)如图(1)当点E在BC边得中点位置时猜想AE与EF满足的数量关系是连结点E与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是 请证明你的上述猜想；(2)如图(2)当点E在EC边得任意位置时，AE和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？BCM图（1）四、角平分线

13、问题1. 如图：E在线段 CD上，EA、EB分别平分/ DAB和/ CBA, / AEB=90°，设AD= x,BC= y，且 x，y满足 x2 y2 6x 8y 25 0(1)求AD和BC的长；(2)你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；(3) 你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由2.如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60°, AD、CE分别是/ BAC/ BCA的平分线，AD、CE相交于

14、点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；2）如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而中的其它条件不变，请问，你在 中所得结论是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3如图，在四边形ABCD中，AC平分 等于多少？BAD，过 C 作 CE1A盯E，并且 AE 2（Ab AD），则 ABCADC4. 如图， ABC中，AD平分/ BAC, DG丄BC且平分 BC, DE丄AB于E, DF丄AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.五、中点问题1在 ABC中，D为BC的中点， 过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线CBG

15、于点G。DEGF ,并交AB于点E .连结EG .(1)求证：BGCF ;(2)请猜想BECF与EF的大小关系，并加以证明2、已知 ABC中，AB AC , BD为AB的延长线，且BD AB , CE为 ABC的AB边上的中线. 求证CD 2CE3、以 ABC的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 连接DE , M、N分别是BC、DE的中点.探究： AM与DE的位置关系及数量关系.如图 当 ABC为直角三角形时， AM与DE的位置关系是 ;线段 AM与DE的数量关系将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图 所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.E图E图DG于H，且GH DH，点E,F分ari¥bF4、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形,M为对角线BD （不3、已知：如图，矩形ABCD中点