直线、圆位置关系

1、 直线，圆的位置关系 问题 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心， 半径为30km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西70km，港口 位于小岛中心正北40km,如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁 危险? 为解决这个问题，我们以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如下的直角坐标系，其中，取10km为单位长度。OXy347229xy轮船航线所在直线的方程为： 47280 xy问题归结为圆心为0的圆与直线l有无公共点。这样，圆的方程为：相离相切相交由平面几何知，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆

2、相离，没有公共点。思考？ 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线的方程和圆的方程判断他们之间的位置关系？ 下面我们先看几个例子:例1 已知直线l：360 xy和圆心为c的圆22240 xyy， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点坐标。 分析：方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的 方程组成的方程组有无实数解，有几组实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。解法一：由直线与圆的方程，得 360 xy22240 xyy消去y，得 2320 xx因为 = =10234 1 2 所以，直线与圆相交，有两个公共点解法二: 圆

3、可化为 ，其圆心C的坐标为（0,1），半径长为 ，点C（0,1）到直线L的距离为22240 xyy2215xy5223 0 1 6551031d 所以，直线L与圆相交，有两个公共点。 由 ，解得 2320 xx122,1xx把 代入方程 ，得 ；把 代入方程 ，得 。所以，直线L与圆有两个交点，它们的坐标分别是 A(2,0) , B(1,3)12x 10y 21x 23y 例2 已知过点M(-3，-3)的直线L被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程。224210 xyy4 5解：将圆的方程写成标准形式，得所以，圆心的坐标是（0，-2），半径长r=5如图，因为弦长是 ，所以弦心距为22225xy4

4、 5224 5552即圆心到所求直线L的距离为 。 因为直线L过点M（-3，-3），所以可设所求直线L的方程为即 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线L的距离因此即3(3)yk x330kxyk22331kdk223351kk23155kk两边平方，并整理得到解得 或 所以，所求直线L有两条，它们的方程分别为或即22320kk12k 2k 13(3)2yx 32(3)yx290 xy230 xy或 通过上述例子我们可以发现：判断直线L与圆C的位置关系有两种方法 方法一：判断直线L与圆C的方程组成的方程组是否有解。若有解，则有公共点。有两组实数解时，直线与圆相交；有一组解时，相切；无实数解时，相离。 方法二：判断圆心C到直线L的距离d与圆的半径r的关系。若dr,相离；若d=r,相切。练习1.试解本节引言中的问题。2.已知直线 与圆心在原点的圆C相切，求圆的方程。3.判断直线 与圆 的位置关系