高三数学第一轮复习 直线与圆锥曲线 新人教B版

1、名师伴你行名师伴你行名师伴你行直线直线与圆与圆锥曲锥曲线线1.能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题转化为研究方程组的解的问题. 2.会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个量后，将交点问题（包括公共点个数、消去一个量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题问题.3.能够运用数形结合，迅速判断某些直线和圆能够运用数形结合，迅速判断某些

2、直线和圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性粹性.名师伴你行 从近两年的高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置从近两年的高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦的问题等是高考的热点问题，题型关系、弦长、中点弦的问题等是高考的热点问题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高.客客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弧长问题，观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弧长问题，解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，注重考解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，注重考查函数与方程、转

3、化与化归、分类讨论等思想方法查函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想方法. 预测预测2012年高考仍将以直线与圆锥曲线的位置关系年高考仍将以直线与圆锥曲线的位置关系为主要考点，重点考查运算能力、逻辑推理能力以及分为主要考点，重点考查运算能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力析问题、解决问题的能力. 1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线曲线 ，解决的方法是转化为直线方，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组程与圆锥曲线方程组成的方程组 ，进而转，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究化为一元（一次或二次）方程解

4、的情况去研究. 设直线设直线l的方程为：的方程为：Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为圆锥曲线方程为f(x,y)=0. Ax+By+C=0 f(x,y)=0 由由 消元（消元（x或或y）相交、相切、相离相交、相切、相离 解的个数解的个数 名师伴你行 若消去若消去y后得后得ax2+bx+c=0: （1）若）若a=0，此时圆锥曲线不会是，此时圆锥曲线不会是 .当圆锥曲线当圆锥曲线为双曲线时，直线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线与双曲线的渐近线 .当圆当圆锥曲线是抛物线时，直线锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴与抛物线的对称轴 . （2）若）若a0，设，设=b2-4ac. 0时，直线与圆锥曲线

5、相交于时，直线与圆锥曲线相交于 ； =0时，直线与圆锥曲线时，直线与圆锥曲线 ； 0)相交于相交于A,B两两个不同的点，与个不同的点，与x轴相交于点轴相交于点C，记，记O为坐标原点为坐标原点.（1）证明：）证明：a2 ;（2） 若若AC=2CB,求求OAB的面积最大值的面积最大值.名师伴你行22k31k3 【解析】【解析】(1)证明：依题意证明：依题意,当当k=0时时,a20显然成立显然成立;当当k0时时,故故y=k(x+1)可化为可化为x= y-1.将将x= y-1代入代入x2+3y2=a2,消去消去x，得，得( +3)y2- y+1-a2=0.由直线由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得与椭

6、圆相交于两个不同的点，得化简整理得化简整理得a2 .名师伴你行k1k12k1k20)a1(3k14k222222k31k3(2)设设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知，由题意知C(-1,0).由由，得，得y1+y2= .因为因为AC=（-1-x1,-y1),CB=(x2+1,y2) ,由由AC=2CB,得得y1=-2y2. 由由联立，解得联立，解得y2=OAB的面积的面积S= |OC|y1-y2|= |y2|= 上式取等号的条件是上式取等号的条件是3k2=1,SOAB的最大值为的最大值为 .名师伴你行2k31k22k31k2212323k32k3k31k3223设过原点的直线设过原点

7、的直线l与抛物线与抛物线y2=4(x-1)交于交于A，B两点两点,且且以以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求求:(1)直线直线l的方程的方程;(2)|AB|的长的长.名师伴你行 【分析】【分析】(1)要注意讨论斜率要注意讨论斜率k是否为是否为0. (2)利用弦长公式利用弦长公式. 【解析】【解析】 (1)设设l:y=kx,抛物线的焦点为抛物线的焦点为F(2,0), y2=4(x-1) y=kx当当k=0时时,l与与x轴重合轴重合,不合题意不合题意.k0.设设A(x1,y1),B(x2,y2),则则x1+x2= ,x1x2= ,AFBF,AFBF=0(或用或用kAFk

8、BF=-1),又又AF=(2-x1,-y1),BF=(2-x2,-y2),得得k2x1x2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,代入得代入得k= , l:y= x.名师伴你行k2x2-4x+4=0.2k42k42222(2)由由(1)求解得求解得x1+x2=8,x1x2=8,|AB|=弦弦AB的长为的长为4 . 34xx4xxk121222212名师伴你行3（1）弦长公式）弦长公式|AB|= |x2-x1|中，中，k指的是直线指的是直线的斜率的斜率.在计算弦长时要特别注意一些特殊情况在计算弦长时要特别注意一些特殊情况:直线直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;直线过圆锥

9、曲线的焦直线过圆锥曲线的焦点点.在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的统一定在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化义把弦长进行转化. （2）用公式之前首先验证斜率不存在的情况）用公式之前首先验证斜率不存在的情况. （3）弦长公式的另一种形式）弦长公式的另一种形式|AB|= |y1-y2|也经常用到，原则是计算方便、快捷也经常用到，原则是计算方便、快捷. 21+k211+k名师伴你行椭圆椭圆ax2+by2=1与直线与直线x+y=1相交于相交于A,B两点，若两点，若|AB|=2 ，且，且AB的中点的中点C与椭圆中心连线的斜率与椭圆中心连线的斜率为为 ，求实数，求实数a,b

10、的值的值.2名师伴你行22设椭圆与直线交于设椭圆与直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点两点, ax2+by2=1 x+y=1 x1+x2= ,x1x2= . |AB|= |x2-x1|= . (a+b)2=a+b-ab. a= b. 把把代入代入得得b= ,a= .可得可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.则由则由2 ba + bb -1a + b21+(-1)22 a+b-ab=2 2a+b121212OC12121212y +yy +y(1-x )+(1-x )2a22k= =-1=,x +xx +xx +xx +xb22222313 又又名师伴你行若抛物线若抛物线y=x2上存

11、在关于直线上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求对称的两点，求实数实数m的取值范围的取值范围.两点所在的直线与抛物线有两个交点，可利用两点所在的直线与抛物线有两个交点，可利用判别式求判别式求m的范围的范围.名师伴你行设直线设直线l:y=- x+b与与y=x2两交点为两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为中点为M(x0,y0). y=- x+b y=x2, =1+4m2b0.x0= ,y0= ,又又M在对称轴在对称轴y=m(x-3)上上, +b=m(- -3),m m1 1m m1 1由由得得mx2+x-mb=0.2 2m m1 1- -2 2x xx x2 21 1=+

12、b b2 2m m1 1b b) )2 2m m1 1( (- -m m1 1- -2 2+=+2 22 2m m1 12 2m m1 1名师伴你行b=- -3m- .又又=1+4m2b=1+4m2(- -3m- )=-12m3-2m2-10,12m3+2m2+10.即即(2m+1)(6m2-2m+1)0.m- ，即，即m的取值范围为的取值范围为(-,- ) .2 22 2m m1 12 21 12 22 2m m1 12 21 12 21 12 21 1名师伴你行若若A,B两点关于直线对称，则直线两点关于直线对称，则直线AB与对称轴垂与对称轴垂直，且线段直，且线段AB的中点在对称轴上的中点在

13、对称轴上.即对称轴是线段即对称轴是线段AB的垂直平分线的垂直平分线.解对称问题应注意条件的充分利用，解对称问题应注意条件的充分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系.名师伴你行在已知抛物线在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点上存在两个不同的点M,N关于直线关于直线y=-kx+ 对称对称,求求k的取值范围的取值范围.29 【解析】【解析】解法一解法一:由题意知由题意知,k0.设设M(x1,y1),N(x2,y2)是关是关于直线对称的两点于直线对称的两点,则则MN的方程可设为的方程可设为y= x+b,代入代入y=x2,得得x2- x-b=0, 且且= +4b0. 又又x1+x2= ,中点中点x0= y0= +b.(x0