指数与对数及其运算

1、第1章排列組合 9列組合节-1乘法原理與樹狀圖-VIIWI*V(1) (1)612191 3667J 23111A依據加法原理可得走法有19種。1. 中華職棒聯盟總冠軍賽中，由 A、B兩隊爭霸，約定先勝三場者為冠軍，今 已比賽一場，結果是A隊勝出。禾用樹狀圖描述往後比賽所有的情形。往後比賽的局數與結果，共有多少種可能的情形？5护由上圖可知，共有10種可能的情形。2. 龍鳳百貨公司出售兩種品牌香水，其中青春牌有5種不同的香味，美麗牌有6種不同的香味，阿玲欲在該公司購買一瓶香水，試問有多少種選購方法？ 邂依據加法原理，選購方法共有5 + 6=11 （種）。3. 如右的街道圖中，由A到B的捷徑走法（

2、即只許向 右、向上走）有多少種？邂.如圖所示：4. 某校教務處有10人，學務處有8人，總務處有12人，今欲由各處各選出1 人組成委員會，有多少種組成方法？方法有方法有 方法有10x8x1210種；8種；12種，= 960 （種）。觀分成三個步驟完成： 第一步：由教務處任選一人， 第二步：由學務處任選一人， 第三步：由總務處任選一人， 依據乘法原理得組成方法有5.用四種顏色塗右圖小丑面具中的七個區域，每個區域恰塗 一種顏色，但相鄰區域不得同色，試問有幾種塗法？G七個區域,邂V如圖，我們依序塗A、方法有4咒3咒2咒1咒3咒3=216 （種）。6.如下的街道圖中，若規定每一街道必須經過一次且只能經過

3、一次 ，則由A到B 的走法有多少種？rA題依據乘法原理知,由A到B的方法有1：3咒2咒1勺3咒1天1 =36 （種）。7.求正整數a = 23 X 32 X 51的所有正因數中，4的倍數有幾個? 霹a的正因數必可表成233，3. 若m為自然數且C*，試求C；之值。由 C m = C m_6，得 C 10_m = C m_6，即 10-m=m6，故 m=8， 所以 C；=C82 = Ci2=g=495。4X3X2X14. 因乾旱水源不足，自來水公司計畫在下週一至週日的7天中選擇2天停止供水，試問自來水公司有多少種選擇方式？邂即自7天中任選2天的組合數為c2 = =21 （種）。2x15.6.自班

4、上10位數學高手中，任選4位參加龍鳳盃數學競試，試問選法有多 少種？即自10位中任選4位的組合數為C40=2idl=210 （種）。有一籃球隊，其隊員中有6個白人、5個黑人，每次選5人上場（假設11位 均是全能球員），試求下列組合各有多少種？（1）（2）（3）矽1 * * * *）4x3x2咒19.設m、n為自然數且 值。m1 , y 1 , z1 ,所以令x=x-10,yy -130,z = z-10,則X + y + z =12的正整數解組數，相當於x + y + z=9的非負整數解組數，故為H 9 =c 9书丄=c91 = C21 = 55（組）。2.將6張相同的優待券全部分給甲、乙、丙

5、、丁四人，試問下列分法各有幾種?(1) (1)每人可兼得。 每人至少得一張。 設甲、乙、丙、丁分別得貝 X + y + z + u =6且 x0, y 0, z0, u0, 即求其非負整數解組數為H 6 =c6*=c6=84 (組),故分法有84種。第一步：先分給每人一張，分法只有 1種, 第二步：將剩下的2張，任意分給4人， 分法為x + y+z+u =2的非負整數解組數H 2 =c2*=c2 =10 (組),u張,由乘法原理得每人至少得一張的分法有 100=10 （種）。3.龍龍冰店每天準備 8種不同配料供客人選擇，若每碗剉冰可以任選4種配料，每種配料可以重複選取，則一碗剉冰的配料，有多少

6、種不同可能的情形？ 巒相當於8類不同物品，每次取4件的重複組合數，故有H 4 =c4审丄=c4 =330 （種）。4.由相異的6本書中，至少取一本來閱讀，試問其方法有幾種? 灌A每一本均可分取與不取兩種，故至少取一本的方法有26 -1 =63 （種）。5. 設有相同蘋果2個、梨子3個、西瓜4個，現由你任意取，試問你至少取一 個的方法有幾種？馆，至少取一個的方法有（2+1 ）（3+1 X4+1 ）1 =59 （種）。6.設候選人3位，選舉人6位，若每人限投一票且無廢票，試問下列開票結果,採記名投票。採無記名投票。因為每位選舉人均有3種投法，所以6位選舉人投票給3位候選人的情形有36 =729 （

7、種）。 設3位候選人所得票數分別為3人得票的情形各有多少種？（1）矽1）X1、X2、 X3，則 X1 +X2 +X3 =6且 X1 30，X2 30，X3 30，即其非負整數解組數為H 6 =C6占亠=C6 =C2 = 28 （組），故有 28種。第1章排列組合23IX列組合*1-6二項式定理1.請利用二項式定理，寫出(x+2i之展開式。(x+2i =c4x4 +c4x3%2+c2x2 天 22+c4xx23+C衣 24=x4 +8x3 +24x2 +32X+16 o2.試問(X -y 10依x的降幕展開式中共有多少項？第四項為何？ X4 y6項的係數為何？ 共 10+1 =11 (項)0 第

8、四項為 c30x1(-yf =-120x7y3oX4y6 項為 C6oxz(-y 卜C 10x4y6 = 210x4y6得其係數為210 o(1) 巒3.設n為自然數，若(x + yn依X的降幕展開式中，第10項的係數與第20項的 係數相等，醪由已知得cn =6；則n之值為何?=n = 9 + 19 = 28 02展開式中的中間項。f 14. 試求j x lx/卫f1 IX2展開式共有13項, lx丿所以其中間項為第7項，故中間項為c62 -11 2 6 6 -(-X ) =924x 0第1章排列組合295.試求fzx3JO展開式中的常數項。蜜因為f2x31x丿1 0、 、-2丨展開式中一般項

9、為x丿Ck0(2x3 厂丄 Kck0c210U(1x35V X丿所以令30 -5k = 0 ,得k = 6 ,故其常數項為c60x24x(-1$ =3360。6. 求c10+c20 +c30+iii+c10之值。馆.原式10 10 10 10 10 10=心0十c1+c 2十心3十十心10心0=210 -1 =1024 -1 =1023。7.試求1110展開後的百位數字。1110 =(1 +10)0= cO0 +c10 勺0+C；0%102 +c10F03 + . +c10MO10=1+100+4500+ 1000(C 31+107 ),故得百位數字為6。1列組合自我評量1.2.3.4.龍鳳麵

10、包店出售三種蛋糕，其中幸福牌有3種口味,味，青春牌有5種口味，阿玲欲在該店選購一個蛋糕, 選購方法？(A) 12 (B) 15 (C) 20有一個地區街道線段如圖所示，現 在甲君擬從點S走到點T ;如果規 定甲君必須沿著街道向東或向南行 走，試問會有多少種不同路線走 法？(A) 44(B) 52(C) 74三位數中，十位數字是 個？ (A) 36(B) 40將 A、B、C、D、E、(D) 60 0北美滿牌有4種口 試問有多少種【1-1】東5.6.7.D不得相鄰的排列數有多少種？(D) 240 0(D) 95 0【1-1】7且個位數字是偶數，這樣的三位數共有多少(C) 45(D) 50 0【1-

11、1】F六個字母排成一列，規定 A、B須相鄰，C、(A) 120(B) 144(C) 156【1-2】將Pallmall一字中之8個字母全取排列，試問將 m排在首位的方 法有幾種？(A) 60 (B) 90 (C) 105 (D) 120 o如右圖，一棋盤式街道有直街 6條、橫街5條， 試問由A到B的捷徑中，不經過 種？ (A) 126(B) 96(C) 66【1-2】C點的走法有幾(D) 60。用7種不同顏色塗在右圖甲、乙、 中，若規定顏色不重複使用且每一區域只能塗滿一種顏 色，試問共可塗出幾種不同的著色樣式？(A) P； (B)C7(C) H7 (D) 75 o【1-2】丙、丁、戊等五個區域

12、戊渡船三艘，每艘最多可載 4人，現有6人欲安全渡過，試問有幾種安 排方式？(A) 729 (B) 726 (C) 720 (D) 690 o【1-3】)9.)10.)11.)12.)14.)17.)18.有5件不同的獎品分給甲、乙、丙、丁四位小朋友，若甲至少得一件， 其方法有多少種？(A) 120 (B) 369 (C) 781 (D) 2560。【1-3】有5對夫婦圍圓桌而坐，若規定男的坐在一起，女的也坐在一起，試 問坐法有多少種？(A)4!x4! (B)4!x5! (C)5!x5! (D) 9!。【1-3】由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9九個數字中任取二個相異數字，試問

13、其積為偶 數的個數有多少個？(A) 20 (B) 26 (C) 30 (D) 36。【1-4】平面上9條直線，若任兩線不平行且任三線不共點，試問此九條直線 可構成多少個三角形？(A) 30 (B) 40 (C) 50 (D) 84。【1-4】小明、小華與其他兩位同學負責掃教室。若兩人一組，則小明與小華不同組的分組結果有多少種？(A)1 (B)2(C)3 (D)4。【1-4】設x-1且y-2，求共有幾組整數解(x,y )滿足方程式x + y=2014 ？ (A) 2018 (B) 2019 (C) 2020 (D) 2021 o【1-5】某班同學共有50人，要舉辦班遊，提出三個不同地點進行無記名

14、投 票，若每人限投一票，不得有廢票，試問有多少種不同的得票結果？(A) p50 (B) 350 (C) C 30 (D) C 22 o【1-5】龍龍企業公司設有四個部門，每個部門均有經理一人，另有總經理一 人管理全公司之業務，年終時，董事會發放同面額之禮券10張給總經理及四個部門經理，總經理至少取得3張，其餘經理每人至少1張，試問共有多少種發放方法？(A)p5 (B)C3 (C)35 (D)C3 o【1-5】將8個相同的球放入4個相同的箱子，每箱至少放進一球，則其放法共 有多少種？ (A) 5 (B)6 (C)7 (D)8 o【1-5】設n為自然數，若(x + yf依x的降幕展開式中，第12項的係數與第 22項的係數相等，則n = 自相異的(A) 1000)20.設a 0,(A) 30(B) 31(C) 32(D) 33。10本書中，至少選一本來閱讀，其方法有多少種？(B)1011(C) 1023