轴对称——最短路径问题

1、名师堂校区地址:南充咨询电话:优学小班提分更快、针对更强、时效更高名师堂学校优学小班讲义轴对称一一最短路径问题现在的数学教学遵循标准的理念，以“生活?数学”，“活动？思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马 问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型 做一个简单的归纳。例1 .如图，牧童在 A处放马，其家在 B处，A、B到河岸的距离分别为 AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从 A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米?分析

2、：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A B,得到最短距离为 A B,再根据全等三角形的性质和kA到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出AB的值.日 A B=1000 米.故最短距离是1000米.例2.如图，正方形ABCD AB边上有一点 E, AE=3, EB=1,在AC上有一点 P,使EP +BP为最短.求:最短距离EP+BP分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B，动点P所在有直线作为对称轴相当于例1中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有 PD=PB故均有EP+BP=PE+PD成立；所以原题可以转化为求PE+PD勺最小值问题,分析易得连

3、接 DE与AC,求得交点就是要求的点的位例3 如图,/ XOY内有一点P,在射线 OX上找出一点 M 在射线OY上找出一点N,使PM+MN+N最短.分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角 形的另两点.分别以直线OX0Y为对称轴，作点P的对应点Pi与P2，连接PiP2交0X于M交0Y于N,贝yPM+MN+N最例4.如图,短.荆州古城河在 CC处直角转弯，河宽均为 5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD ,EE （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,A、B在东西方向上相距 65米，南北方向上相距85米,恰当地架桥可使 ADD E

4、 EB的路程最短，这个最短路程是多少米?匚乃E= -= J -:=-= =匚=.=分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD E EB通过轴对称直接转化为线段，常用的方法是构造平行四边形,将问题转化为平行四边形的问题解答.这就是“造桥选址问题”解：作AF丄CD且AF 宽,作BGI CE且BG 宽,由两点之间线段最短可知,连接GE与河岸相交于 E、D.作DD、EE即为桥.证明：由作图法可知，AF/ DD , AF=DD,则四边形AFD D为平行四边形,于是ad=fd ,同理，be=ge ,GF最小;即当桥建于如图所示位置时，ADD E EB最短.例5.（ 2008?内江）如图，当四边形P A

5、BN的周长最小时，a=OO分析：因为AB, PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB勺长度就行了.问题就是 P A+NB十么时候最短.把B点向左平移2个单位到B点；作B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于P,从而确定N点位置，此时PA+NB最短.再求a的值.此题中的PN就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称 将折线转之和最短转化为两点之间线段最短.至于“抛物线”这一类型的问题，由于综合性较强，这里就不介绍了。但中纵观上述几题我们不难发现，这一类题型的解题思路是一样的:找到关于线的对称点实现“折”转“直”，再利用“两点之间线段最短”这一性质来解决。攀登

6、高峰一一综合提升1、（一定点两线型）如图，/有一点R.画出周长最小的 PQR,并求出最小周长。AOB=30 ，/ AOB 内有一定点2、（两定点两线型）已知：/MON 和/ MON内两点A , B .求作：点C和点D，使得点C在0M上，点 D 在 ON 上，且 AC+CD+BD+ AB最短.提示：用1题的解答可以帮助分析出2题的解答谈谈收获一一自我反思想一想这节课你有什么收获 ?答:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题课堂检测如图：在边长为2的正三角形 ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点 P为线段EF上一个动点,连接BP, GP,则 BPG的周长的最小值是

7、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马,再到河边饮水,然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。巩固训练:1.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1,4）和（3, 0）,点C是丫轴上一个动点，且 A、的动点，当 PEF的周长最小时，点 P到EF距离是（）2.如图，等边 ABC的边长为4, AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点,若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则/3.如图所示，正方形 ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为 （）4.如图，四边形 ABCD中，/ BAD = 120 / B = / D = 90在BC、CD上分别找一点 M、N，使AMN周长最小