第七章 椭球面元素归算至投影面

1、河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学1 1河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2 2 本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算

2、。讨论在工程应用中，工邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。程测量投影面与投影带选择。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3 3 知识点及学习要求知识点及学习要求 1高斯投影的基本概念（掌握）；高斯投影的基本概念（掌握）；2正形投影的一般条件（理解）；正形投影的一般条件（理解）；3高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换 高斯投影的正算与反算（高斯投影的正算与反算（ 掌握）掌握）4椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算（掌握）；椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算（掌握）；5高

3、斯投影的邻带换算（掌握）；高斯投影的邻带换算（掌握）；6工程测量投影面与投影带的选择（掌握）。工程测量投影面与投影带的选择（掌握）。难点难点在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的选择。选择。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件4 48.1 地图数学投影的基本概念地图数学投影的基本概念一一.投影

4、变换的意义和方程投影变换的意义和方程 所谓所谓地图投影地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫问题的专门学科叫地图投影学地图投影学。 ),(),(21blfyblfx椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差面上，就会和原来的距

5、离、角度、图形呈现差异，这一差异称作异称作投影的变形投影的变形 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件5 5二二.地图投影的变形地图投影的变形 1.长度比长度比 p1p2snxyp1p2椭球面投影面2121021limppppmpp或dsdsm 长度比与点的位置及线段的方向有关。长度比与点的位置及线段的方向有关。 投影面上的边长与原面上的投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为相应长度之比，称为长度比长度比。 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件6 62.主方向和变形椭圆主方向和变形

6、椭圆 主方向主方向：最大及最小长度比的方向，称为主方向。：最大及最小长度比的方向，称为主方向。abocaboc原面原面投影面投影面 在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的在平面上的投影也必是相互垂直的 ，这两个方向就是长度，这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。比的极值方向，也就是主方向。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件7 7 变形椭圆：变形椭圆：设在椭球面上有一单位微分圆设在椭球面上有一单位微分圆,投影后投影后为一微分椭圆，该椭圆即变形椭

7、圆为一微分椭圆，该椭圆即变形椭圆。p(,)xyoop(x,y) 变形椭圆的形状和大小及方向完全由投影条件确定。某定点o处的变形椭圆是描述该点各方向上长度比的椭圆。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件8 83.投影变形投影变形长度比与长度比与1 1之差，称为长度变形，即：之差，称为长度变形，即：1 mvmv vmm00，投影后长度变大，反之，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。投影后长度变短。1）长度变形）长度变形2）、方向变形）、方向变形某方向（以主方向起始）某方向（以主方向起始） 投影后为投影后为 1， 当当 = 1（等于（等于0或或

8、90度时），亦即在主方向上没有方向变度时），亦即在主方向上没有方向变形时形时当当 + 1 = 90或或 270 时，方向变形最大时，方向变形最大op3）角度变形。最大角度变形是最大方向变形的）角度变形。最大角度变形是最大方向变形的2倍。倍。4）面积变形。）面积变形。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件9 91. 1. 按变形性质分类按变形性质分类（1 1）等角投影）等角投影 又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上面上相

9、应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。（2 2）等积投影）等积投影 在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。面积变形等于零。（3 3）等距投影）等距投影 定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为该特定方向长度比为1 1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变

10、形。它只是在特定方向上没有长度变形。（4 4）任意投影）任意投影河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件10102.按投影面的形状分类按投影面的形状分类 （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 （2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平

11、面而成。面展为平面而成。 （3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。面展为平面而成。3.按投影面和原面的相对位置进行分类按投影面和原面的相对位置进行分类正轴投影、斜轴投影和横轴投影正轴投影、斜轴投影和横轴投影河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件1111河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件1212 4、中国各种

12、地图投影：、中国各种地图投影：1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。圆锥投影。 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投克吕格投影（宽带）。影（宽带）。 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆

13、锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。克吕格投影（解放以后）。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件1313 从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最常用的有常用的有横轴等角椭圆柱投影横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国等。中华人民共和国成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克拉索夫斯基椭球体元

14、素计算的高斯拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。克吕格投影。我我国新编国新编1:100万地形图，采用的则是正轴等角圆锥万地形图，采用的则是正轴等角圆锥投影。投影。5、常用的几种地图投影、常用的几种地图投影河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件14141、控制测量对地图投影的要求、控制测量对地图投影的要求 1）等角投影（又称正形投影）等角投影（又称正形投影） 2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。的改正数。 在微小的范围内保持了在微小的范围内保持了形状的相似

15、性。长对比与点的位置形状的相似性。长对比与点的位置有关，与方向无关。有关，与方向无关。3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体的计算公式和用表把各带联成整体 。8.2 高斯投影概述高斯投影概述（重点）（重点）河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件1515高斯投影是等角横切椭圆柱投影。高斯投影是等角横切椭圆柱投影。高斯投影是一种高斯投影是一种等角投影等角投影。它是由德国数学家高斯。它是由德国数学家高斯(gauss(gauss，1777 1777 1

16、855)1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格提出，后经德国大地测量学家克吕格(kruger(kruger，185718571923)1923)加以补充完善，故又称加以补充完善，故又称“高斯高斯克吕格投影克吕格投影”，简称简称“高斯投影高斯投影”。 2、高斯投影的基本概念、高斯投影的基本概念河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件1616nsc赤道赤道高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中央子午线中央子午线 高斯投影高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。分带，分别进行投影。河南城建学院测绘

17、与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件17172) 2)、高斯投影必须满足：、高斯投影必须满足：（1 1）高斯投影为正形投影，）高斯投影为正形投影， 即等角投影；即等角投影； （2 2）中央子午线投影后为直）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；线，且为投影的对称轴；（3 3）中央子午线投影后长度）中央子午线投影后长度 不变。不变。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件1818（1 1）中央子午线中央子午线投影后为直投影后为直线，且长度不变。线，且长度不变。（2 2） 除中央子午线外，除中央子午线

18、外，其余其余子午线子午线的投影均为凹向中央的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子子午线的曲线，并以中央子午线为午线为对称轴对称轴。投影后有长。投影后有长度变形。度变形。（3 3） 赤道线赤道线投影后为直线，投影后为直线，但有长度变形。但有长度变形。赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈子午线子午线o ox xy y河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件1919（4 4） 除赤道外的其余纬线，投除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。道为对称轴。（5 5）经线与纬线投影后仍然保）经线与纬

19、线投影后仍然保持正交。持正交。 （6 6） 所有长度变形的线段，其所有长度变形的线段，其长度变形比均大于长度变形比均大于l l。（7 7）离中央子午线愈远，长度离中央子午线愈远，长度变形愈大。变形愈大。赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈子午线子午线o ox xy y河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2020 我国规定按经差我国规定按经差66和和33进行投影分带。进行投影分带。 66带自首子午线带自首子午线开始，开始，按按66的经差自西向东分成的经差自西向东分成6060个带个带。 33带自带自1.5 1.5 开始，按开始，按33的经

20、差自西向东分成的经差自西向东分成120120个带个带。高斯投影带划分高斯投影带划分河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2121 6 6 带与带与3 3 带中央子午线之间的关系如图带中央子午线之间的关系如图: : 3 3 带的中央子午线与带的中央子午线与6 6 带中央子午线及分带子午线重带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。合，减少了换带计算。 工程测量采用工程测量采用3 3 带，特殊工程可采用带，特殊工程可采用1.5 1.5 带或任意带带或任意带河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课

21、件课件2222 按照按照66带带划分的规定，第划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： l l。=6n=6n33 （n n为为66带的带号）带的带号） 例：例：2020带中央子午线的经度为：带中央子午线的经度为： l l。66 20 2033117 117 按照按照33带带划分的规定，第划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：其余各带中央子午线经度与带号的关系是： l l。=3n=3n （n n为为33带的带号）带的带号） 例：

22、例：120120带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为 l l。33 120 120360 360 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2323 若已知某点的经度为若已知某点的经度为l l，则该点的，则该点的66带的带号带的带号n n由下式计算：由下式计算： 若已知某点的经度为若已知某点的经度为l l，则该点所在，则该点所在33带的带号按下式计算：带的带号按下式计算： （四舍五入）（四舍五入）1)6int(ln3ln 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2424的建立：的建立：x

23、x轴轴 中央子午线的投影中央子午线的投影y y轴轴 赤道的投影赤道的投影原点原点o o 两轴的交点两轴的交点oxyp（x，y）高斯自高斯自然坐标然坐标注：注：x x轴向轴向北北为为正正， y y轴向轴向东东为为正正。赤道赤道中央子午线中央子午线河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2525 由于我国的位于由于我国的位于北半球，东西横跨北半球，东西横跨1212个个66带，各带又独自带，各带又独自构成直角坐标系。构成直角坐标系。 故：故：x x值均为正，值均为正， 而而y y值则有正有负。值则有正有负。世界地图世界地图赤赤 道道河南城建学院测绘

24、与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2626xyo1p2pmymxpp280.272440180.23283622mymxpp360.136780650.30285511mymxpp720.227559180.23283622（带号）mymxpp360.636780)(650.30285511带号500km =500000+ = 636780.360m = 500000+ = 227559.720m1py2py2py1py国家统一坐标：国家统一坐标：2211,ppppxxxx （带号）（带号）（带号）（带号）一带的宽度是一带的宽度是667km667km河

25、南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2727例：例：有一国家控制点的坐标有一国家控制点的坐标: :x=3102467.280m ,y=19367622x=3102467.280m ,y=19367622380m380m，（1 1）该点位于）该点位于6 6 带的第几带？带的第几带？（2 2）该带中央子午线经度是多少？）该带中央子午线经度是多少？（3 3）该点在中央子午线的哪一侧？）该点在中央子午线的哪一侧？ （4 4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？（第（第19带）带） （l。=619-19-3=11

26、1）（先去掉带号，原来横坐标（先去掉带号，原来横坐标y367622.380500000-132377.620m，在西侧），在西侧）（距中央子午线（距中央子午线132377.620m，距赤道，距赤道3102467.280m）河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件28283、椭球面三角系化算到高斯平面、椭球面三角系化算到高斯平面 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件2929将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：将起始点的大地坐标将起始点的大

27、地坐标b，l归算为高斯平面直角坐标归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检；为了检核还应进行反算，亦即根据核还应进行反算，亦即根据x，y反算反算b，l。通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算

28、到高斯平面上通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。的直线长度。当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3030 eaaeabbam长度比长度比:投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比长度比。 8.3 正形投影的一般条件（了解）正形投影的一般条件（了解） 研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上

29、高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：在正形投在正形投影中，长度比与方向无关。影中，长度比与方向无关。 在微小的范围内保证了形状的相似性，当在微小的范围内保证了形状的相似性，当abcdeabcde无限接近时，无限接近时，多边形可看作是一个点，因此在正行投影中，长度比与位置有多边形可看作是一个点，因此在正行投影中，长度比与位置有关，与方向无关。关，与方向无关。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课

30、件课件31318.3 正形投影的一般条件（了解）正形投影的一般条件（了解） lyqxqylx正形投影方法都必须正形投影方法都必须遵循的法则遵循的法则 ：柯西柯西(cauchy)黎曼黎曼(riemann)条条件件bbnmdbq0cos等量纬度等量纬度河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3232222222)cos()(dydxdsbdlnmdbds22222222222cos)cos()cos()(dlbnmdbbndydxbdlnmdbdydxdsdsm建立长度比关系在微分直角三角形p1p2p3和p1/p2/p3/中有： 则长度比为 22

31、2222)cos()(dydxdsbdlnmdbdsbnmdbdqcosbbnmdbq0cos引进等量纬度 ，则 222222)()(dldqdydxm故河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3333全微分得 dllxdqqxdxdllydqqydy 2222222dldqdlgdldqfdqem22qyqxelyqylxqxf22lylxg其中：),(),(lqyylqxx河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3434 若想使上式中m与a无关，必须满足条件：引入方向，由图知：dldqb

32、dlnmdbppppatgcos9031320bnmdbdqcos则dqtgadl222sincossin2cosmragaafaef=0、e=g lyqxqylx 即正形投影的一般条件，是各类正形投影方法都必须遵循的法则，高斯坐标正、反算公式均以此为基础。 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3535河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3636),(),(lbyylbxx河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3737河南城建学院

33、测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件3838河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件39391 1、电磁波测距的归算的内容？、电磁波测距的归算的内容？ 复习：河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件40402三差改正三差改正河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件41413.椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面的内容？河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系

34、控制测量学控制测量学课件课件42428.4高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式1 1、高斯投影坐标正算公式：、高斯投影坐标正算公式： b,b,l l x,yx,y 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。 对于任何一种投影：对于任何一种投影：坐标对应关系是最主要的；坐标对应关系是最主要的；如如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条件

35、。的特殊条件。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件4343赤赤 道道oxh0llllqp,oxh0llyxp,xyxy河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件4444ll0330l20/ 1/ ll553316644220lmlmlmylmlmlmmx由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称对称于中央子午线，于中央子午线，的偶函数，的偶函数，y y为为的奇函数；的奇函数；，即，即，如展开为，如展开为的级数，收敛。的级数，收敛。,10mmqylx

36、lyqx,式中式中是待定系数，它们都是纬度是待定系数，它们都是纬度b b的函数。的函数。由第三个条件知：由第三个条件知：x为为5533156342442204523164253ldqdmldqdmldqdmlmlmlmldqdmldqdmdqdmlmlmm求偏导数求偏导数（1）河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件4545，dqdmmdqdmmdqdmm2312013121 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x x应等于投影应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长前从赤道量至该点的子午线弧长x x，即，即

37、(1)(1)式第一式中，当式第一式中，当 l=0l=0时有：时有：0mxx顾及顾及( (对于中央子午线对于中央子午线) )bvmrmbndqdbmdbdxcoscos2故故bvcbnrdqdbdbdxdqdxdqdmmcoscos01得：得：依次求得依次求得65432,mmmmm ， oxh0llyxp,xyxy河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件46462322442452466sincossincos(594)224sincos(6158)720nnxxbb lbbtlnbbttl3223352422255coscos(1)6cos(

38、5181458)120nnyb lbtlnbtttl222tan,costbeb 自赤道量起的到所求点的子午线弧长自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与该点所在带所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差的中央子午线的大地经度之差oxh0llyxp,xyxybababababax8sin86sin64sin42sin286420子午线弧长：河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件47472 2、高斯投影坐标反算公式：、高斯投影坐标反算公式：x,yx,y b,lb,l 满足以下三个条件：满足以下三个条件：x坐标轴投影后为

39、中央子午线是投影的对称轴；坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变；坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。22242552233642542222328624285cos12021cos6cos459061720935242ffffffffffffffffffffffffffffftttbnytbnybnylyttynmtyttnmtynmtbb过所求点过所求点p p作中央子午线的垂线，作中央子午线的垂线，该垂线与中央子午线的交点的纬该垂线与中央子午线的交点的纬度，称垂足纬度。其值由子午线度，称垂足纬度。其值由子午线弧

40、长计算公式反算求得。弧长计算公式反算求得。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件4848 底点纬度计算底点纬度计算( (迭代法迭代法) )在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设8611.111134/1xbf以后每次迭代按下式计算：以后每次迭代按下式计算：8611.111134/)(1ififbfxbififififbbbbf6sin0220. 04sin8281.162sin4803.16036)(重复迭代直至重复迭代直至 为止。为止。ififbb1在在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。年

41、国际椭球上计算时，也有类似公式。bbbbx6sin022. 04sin828.162sin480.16036861.111134河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件49493 3、高斯投影坐标正反算公式的几何解释、高斯投影坐标正反算公式的几何解释 ：高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件5050高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件5151当当b=0时时x=x=0，y则

42、随则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为为y轴。当轴。当l=0时时,则则y=0,x=x,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。当当l=常数时常数时(经线经线),随着随着b值增加，值增加，x值增大，值增大，y值减小，这就告诉我们，经值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-b代替代替b时，时，y值不变，而值不变

43、，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。当当b=常数时常数时(纬线纬线)，随着的，随着的l增加，增加，x值和值和y值都增大，这就是说，纬线是值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用凸向赤道的曲线。又当用-l代替代替l时，时，x值不变，而值不变，而y值数值相等符号相反，值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。和纬线的投影是互相垂直的。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。

44、距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。高斯投影的特点高斯投影的特点河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件5252子午线收敛角的概念子午线收敛角的概念 如右图所示，、如右图所示，、 及及 分分别为椭球面点、过点的子午线别为椭球面点、过点的子午线 及平行圈及平行圈 在高斯平面上的描写。在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点由图可知，所谓点 子午线收敛角子午线收敛角就是就是 在在 上的切线上的切线 与与 坐坐标北之间的夹角，用标北之间的夹角，用 表示。表示。 在椭球面上，因为子午线同平行在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又

45、由于投影具有正形性质，圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线因此它们的描写线 及及 也必正也必正交，由图可见，平面子午线收敛角交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于也就是等于 在在 点上的切线点上的切线同平面坐标系横轴同平面坐标系横轴 的倾角。的倾角。 pnpqppppnpqpnppnp tp npqpqppqp y8.5 平面子午线收敛角公式平面子午线收敛角公式河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件53531、求、求的公式的公式 1）由大地坐标）由大地坐标l，b计算：计算：1pdydxtgr 12( , )( , )xf b

46、lyf b lxdxdllydydllxltgryl河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件54543224352451sincossincos(594)61sincos(6158)120 xnbb lnbbtllnbbttl 222242441c o s1c o s(1)21c o s(51 8)2 4ynbbtllbttl232445211sinsincos1 32sincos2315rblbb lbbltxltgryl河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件5555232445211s

47、insincos1 32sincos2315rblbb lbblt 1p在中央子午线上在中央子午线上l=0,r=0；在；在赤道上赤道上b=0,r=0。在同一经线上在同一经线上(l=常数常数)纬度愈高，纬度愈高，r的绝对值也愈大，在极点的绝对值也愈大，在极点处最大；在同一纬线上处最大；在同一纬线上(b=常数常数)，经差，经差l的绝对值愈大，的绝对值愈大，r的绝的绝对值也愈大。对值也愈大。r为奇函数，有正负，当描写为奇函数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为点在中央子午线以东时，经差为正，正，r也为正；当描写点在中央也为正；当描写点在中央子午线以西时，经差为负，子午线以西时，经差为负，r也

48、也为负。为负。 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件56562）由高斯平面坐标）由高斯平面坐标x，y计算：计算：2522224351253315fffffffffffyty ty trtttnnn底点纬度底点纬度 222tan,costbeb 河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件57578.6 方向改化公式方向改化公式方向改正数方向改正数就是指大就是指大地线的投影曲线和连地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之接大地线两点的弦之夹角。夹角。河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘

49、与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件58581、方向改化近似公式的推导、方向改化近似公式的推导baab00360360abba22abba12abba2pr()()2ababmabyypxxyxx2()2abmabyxxr2()2abmabyxxr 2()2mabbaabyxxr误差小于误差小于0.1，可适用于三、，可适用于三、四等三角测量的计算四等三角测量的计算河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件59598.7 距离改化公式（重点）距离改化公式（重点）dss由由s化至化至d所加的所加的s改正称为改正称为距离改正距离改正 1、研究

50、平面曲线长度、研究平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度d的关系；的关系；2、研究用大地坐标、研究用大地坐标b、l和平面坐标和平面坐标x、y计算长度比计算长度比m的公式；的公式；3、最后导出距离改化的计算公式。、最后导出距离改化的计算公式。m1河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件60601、平面曲线长度、平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度d的关系的关系vdsddcossvdsd0cos由于由于v是一个小角，最大不会超过方向改化值是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把，因此可把cosv展开为级数：展开为级数： 21cos2vvss

51、dsvvdsdss2)21 (cos2020式中用式中用v的最大值的最大值代替代替 v河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件6161myxxr)(21122最大已是二次项，已是二次项， d与与s之差之差 是四次项微小量。当是四次项微小量。当取最大取最大40,s=50km时，时，代入上式得代入上式得 ，化算为相对中误差为，化算为相对中误差为 ：22smms122812 1050000000 所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度认为大地线的平面投影曲线长度s

52、等于其弦线长度等于其弦线长度d。ssdsvvdsdss2)21 (cos2020河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件6262河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件63632、长度比和长度变形、长度比和长度变形长度比长度比m是指椭球面上某一点的微分元素是指椭球面上某一点的微分元素ds，与其投，与其投影面上的相应的微分元素影面上的相应的微分元素ds之比，即：之比，即：dsdsm 由于长度比由于长度比m恒大于恒大于1，故称，故称 为为长度变形长度变形。 ) 1(m1）用大地坐标表示的长度比公

53、式）用大地坐标表示的长度比公式2222()()xyllmr22221()()cosxynbll)45(cos24)1 (cos2124442222tblblm 实用时一般取至二次项实用时一般取至二次项 在在6带的边缘及低纬度处，带的边缘及低纬度处，有时用到有时用到 项。项。2l4l河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件64642）用平面坐标表示的长度比公式）用平面坐标表示的长度比公式5222425532233)5814185(cos120)1 (cos6cosltttbnltbnlbny cosylnb22221cos(1)2lmb 222

54、1(1)2ymn 21nmrmn2212mymr 24241224mmyymrr 代入代入222coseb 22221cos(1)2lmb 大地线始末两端的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件6565)45(cos24)1 (cos2124442222tblblm 2212mymr m随点的位置随点的位置(b,l)或或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；而异，但在一点上与方向无关；当当 时，由于时，由于m是是y（或（或l）的偶函数，且各项都）的偶函数，且各项都为为“+”号，号，故故m恒大于恒大于1，即除中

55、央子午线外其它投影后都变，即除中央子午线外其它投影后都变长了；长了；00ly或长度变形（长度变形（m-1）与）与 成正比例地增大，愈离远中央成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。子午线长度变形愈大。)(22ly或 在同一纬线上，即在同一纬线上，即b=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随l的增大而的增大而 增大。增大。 在同一经线上，即在同一经线上，即l=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随b的减少而增的减少而增 大，在赤道处大，在赤道处(b=0)为最大。为最大。当当y=0 (或或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的的

56、m都等于都等于1，即中央子午线投影后长度不变；，即中央子午线投影后长度不变；河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件66663、距离改化公式：、距离改化公式：dsmdsddmds对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用可以认为是一个常数，因而可以用d/s来代替来代替dd/ds，即有：，即有：2212mymr dms代入代入22(1)2mmydsr242224(1)22424mmmmmyyydsrrr当当s70km,ym350k

57、m(6带的带的边缘边缘) 计算精度小于计算精度小于0.001m，对，对于一等边长的归算完全可满足要于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去求，对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归项，对于三四等边长的归算又可再略去算又可再略去 项。项。4my2y河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件676722222222(1)()224224mmmmmmyyyysdssssrrrr一等三角网的距离改正的实用公式：一等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：24242222422

58、4(1)()2242422424mmmmmmmmmmyyyyyysdssssrrrrrr三等三角网以下的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：2222(1)22mmmmyysdssssrr河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件6868产生换带的原因产生换带的原因 高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标

59、系。在工程应用中，往往使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 带、带、 带或任带或任意带，而国家控制点通常只有意带，而国家控制点通常只有 带坐标，这时就产生了带坐标，这时就产生了 带同带同 带带（或（或 带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：35 . 16635 . 18.8 高斯投影的邻带换算（掌握）高斯投影的邻带换算（掌握）河南城建学院测绘与城市空间信息系河南城建学院测绘与城市空间信息系控制测量学控制测量学课件课件6969

60、 需要进行坐标邻带换算的情况：需要进行坐标邻带换算的情况： 1、控制网跨越两个投影带；、控制网跨越两个投影带； 2、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带 的三角点作为控制点时；的三角点作为控制点时； 3、6带、带、3带、带、1.5带之间的换算。带之间的换算。 坐标邻带换算的一般方法：坐标邻带换算的一般方法： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把某投影带（如某投影带（如21带）内的有关点的平面坐标带）内的有关点的平面坐标x，y利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大