微分方程组的消元法与首次积分法

1、微分方程组的消元法和首次积分法微分方程组的消元法和首次积分法 这一节这一节, ,我们介绍微分方程组的两种求解方法我们介绍微分方程组的两种求解方法: :消元法和首次积分法消元法和首次积分法, ,这两种方法对求解一些简单的这两种方法对求解一些简单的微分方程组是很有效的方法微分方程组是很有效的方法, ,但在学习这两种方法时但在学习这两种方法时必需注意它们的局限性必需注意它们的局限性. .一、一、 微分方程组的消元法微分方程组的消元法 将一阶微分方程组：将一阶微分方程组：),(),(),(2121222111nnnnnyyyxfdxdyyyyxfdxdyyyyxfdxdy中的未知函数中的未知函数nyy

2、y,21只保留一个，消去只保留一个，消去其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数其他未知函数. .这种方法常用于对由二个或三个这种方法常用于对由二个或三个先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出方程构成的常系数微分方程组的求解方程构成的常系数微分方程组的求解. .例例1 1 求解方程组求解方程组212211223yydxdyyydxdy解解 保留保留2y，消去，消去1y. .由方程组的第二个方程由方程组的第二个方程解出解出1y，得，得)(21221ydxdyy（5.15.1）对上式两边关于对上式两边

3、关于求导，得求导，得x)(2122221dxdydxyddxdy（5.25.2）将（将（5.15.1）和（）和（5.25.2）代入原方程组的第一）代入原方程组的第一个方程得个方程得0222222ydxdydxyd这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为xexccy)(212（5.35.3）将上式代入（将上式代入（5.15.1）得）得xexcccy)22(212211故原方程组的通解为故原方程组的通解为xxexccyexcccy)()22(212122211其中其中21,cc是任意常数是任意常数. .注注 上面把上面把（5.35.3）代入（）代入（5.15.1

4、）经过求导，）经过求导，而没有经过求积分就求出了而没有经过求积分就求出了1y，若把（，若把（5.35.3）代入原方程组中的第一式，使得代入原方程组中的第一式，使得xexccydxdy)(232111这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为xxecexcccy332211)22(21（5.45.4）在（在（5.45.4）中出现了三个任意常数）中出现了三个任意常数321,ccc这与前面求得不一致，事实上，当把（这与前面求得不一致，事实上，当把（5.45.4）及及xexccy)(212代入原方程组就发现，当代入原方程组就发现，当且仅当且仅当03c时，（时，（5.4

5、5.4）才可成为方程组的）才可成为方程组的解，故（解，故（5.45.4）不是原方程组的通解，其中）不是原方程组的通解，其中3c是一个多余的任意常数是一个多余的任意常数. .因此为避免出现增解，因此为避免出现增解，在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方法来求其他的未知函数法来求其他的未知函数. .例例2 2 求解方程组求解方程组.,2xydtdyydtdx解解 将第一个方程求导得将第一个方程求导得dtdydtxd22代入第二个方程得代入第二个方程得0)(1222dtdxxdtxd（5.55.5）此方程是不显含自变量此方程是不显含自变量t t的可降阶的方程

6、，设的可降阶的方程，设dxdppdtdxdxdpdtdpdtxdpdtdx22,012pxdxdpp即有即有0)(xpdxdpp（5.65.6）0 xpdxdp由由，分离变量并积分得，分离变量并积分得xcp1代入方程（代入方程（5.55.5）得）得从而有从而有xcdtdx1对上式积分得对上式积分得ctcx1lntcecx12或或再由第一个方程得再由第一个方程得tceccy121由（由（5.65.6）还可得）还可得, 0p从而有从而有, cx 由由第一方程得第一方程得, 0y该组解包含在上面所得的该组解包含在上面所得的.,11212tctceccyecx通解中通解中, ,故原方程组的通解为故原方

7、程组的通解为)(tx设设是定义在某区间是定义在某区间I I上的具有上的具有n n阶连续阶连续二二 微分算子与线性微分方程组微分算子与线性微分方程组 这里介绍微分算子这里介绍微分算子D D及其用消元法解线性及其用消元法解线性微分方程组的应用微分方程组的应用. .1 ,nkdtxdxDdtdxDxkkk导数的函数，微分算子导数的函数，微分算子D D被定义为被定义为这里相应地定义算子多项式：这里相应地定义算子多项式：,111nnnnaDaDaDL.1)1(1)(xaxaxaxnnnnxaDaDaDLxnnnn)(111由算子多项式由算子多项式L L的定义可以看出的定义可以看出L L是线性算子是线性算

8、子. .例如设例如设, 23, 13221txDLDL则则,29,6) 1(3223321ttxLtttDxL)29)(1()(3222121ttDxLLxLL32291218ttt)6)(23()(31212ttDxLLxLL32291218ttt下面用微分算子的方法求解常系数线性微下面用微分算子的方法求解常系数线性微分方程组分方程组. .设设4321,LLLL是四个线性微分算子多是四个线性微分算子多项项式，且给定如下的线性微分方程组：式，且给定如下的线性微分方程组：)()(2241312211tgxLxLtgxLxL（5.75.7）3L用算子用算子作用第一个方程的两边，用算子作用第一个方程

9、的两边，用算子1L作用第二个方程的两边，得作用第二个方程的两边，得)()(2124113113223113tgLxLLxLLtgLxLLxLL（5.85.8）由上面的第二个方程减去第一个方程得由上面的第二个方程减去第一个方程得)()()(132122341tgLtgLxLLLL（5.95.9）用算子表示的方程（用算子表示的方程（5.95.9）是一个仅依赖于变）是一个仅依赖于变2x量量的一个高阶微分方程，可以求出的一个高阶微分方程，可以求出2x再利用再利用（5.75.7）的任何一方程可把）的任何一方程可把1x求解出来求解出来. .例例 3 3 求解方程组求解方程组283223222121121x

10、xxxtxxx解解 设设82, 32,2, 324321DLDLDLDL2)(,)(21tgttg则则ttgLtgL32)(, 6)(1321222222234124168)(xdtdxdtxdxLLLLt 38由上面的方程得由上面的方程得txdtdxdtxd8313222222该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为12583212tececxtt（5.105.10）将（将（5.105.10）代入原方程组的第一个方程中得）代入原方程组的第一个方程中得ttecectxdtdx32111624132该一阶线性非齐次微分方程通解为该一阶线性非齐次微分方程通解为233

11、321132236113tttececectx（5.115.11）将（将（5.105.10）和（）和（5.115.11）代入原系统的第二个）代入原系统的第二个方程中得方程中得, 03c故原方程组的通解为故原方程组的通解为125836113132232123211tececxtececxtttt注注 对例对例3 3，也可以用下面的方法求解，也可以用下面的方法求解)(14224114tgLxLLxLL)(22242132tgLxLLxLL)()()(221413241tgLtgLxLLLLtxdtdxdtxd822416811212336113211tekekxtt形式的方程，该方程为一个原方程组

12、的首次积分形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分. .三三 微分方程组的首次积分法微分方程组的首次积分法首次积分法是将方程组首次积分法是将方程组 经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个),(21niixxxtfx), 2 , 1(ni例例 4 4 求解方程组求解方程组d xyd td yxd t方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式组合形式, ,积分此方程可以得到未知函数的组合积分此方程可以得到未知函数的组合解解 将两个方程相加得将两个方程相加得()d xyxydt以以作为一个未知函数，并对上式积分

13、得作为一个未知函数，并对上式积分得yx1txyc e（5.125.12）方程（方程（5.125.12）就是原方程组的一个首次积分，）就是原方程组的一个首次积分，再将两个方程相减得再将两个方程相减得()()d xyxydt 以以作为一个未知函数，对上式积分得作为一个未知函数，对上式积分得yx2txyc e（5.135.13）方程（方程（5.135.13）是原微分方程组的另一个首次）是原微分方程组的另一个首次积分，由（积分，由（5.125.12）和（）和（5.135.13）可解出未知）可解出未知函数函数12121()21()2ttttxcec eycec e这里这里21,cc是任意常数，因此原方程

14、组通解为是任意常数，因此原方程组通解为1212ttttxc ec eyc ec e 例例 5 5 求解方程组求解方程组) 1() 1(2222yxyxdtdyyxxydtdx解解 把方程组中的第一个方程乘以把方程组中的第一个方程乘以, x第二个方第二个方程乘以程乘以, y然后两式相加得然后两式相加得) 1)(2222yxyxdtdyydtdxx即有即有dtyxyxyxd) 1)(2)(222222把把看作未知函数，积分得看作未知函数，积分得22yx 1222221ceyxyxt12222ceeyxtt（5.145.14）再利用原方程可得再利用原方程可得)(22yxdtdxydtdyx即有即有1

15、)(arctanxydtd由此得另一个首次积分由此得另一个首次积分由上式可得由上式可得2arctanctxy（5.155.15）积分（积分（5.145.14）和（）和（5.155.15）得）得采用极坐标采用极坐标,sin,cosryrx代入首次代入首次tcecrt221,11因此，原微分方程的通解为因此，原微分方程的通解为ttectcyectcx2222121)sin(1)cos(从上面两个例子可看出从上面两个例子可看出, ,利用首次积分可求出利用首次积分可求出微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程组中未知函数以及方程的个数组中未知函数以及方程

16、的个数, ,为此为此, ,我们下面介绍我们下面介绍首次积分的定义首次积分的定义, ,并叙述有关的结论并叙述有关的结论. .考虑一般的考虑一般的阶微分方程组阶微分方程组 n),(1niixxtfxni, 2 , 1（5.165.16）其中右端函数其中右端函数),(1nixxtf在某个区域在某个区域1nRD内对内对nxxxt,21是连续的，且是连续的，且对对nxxx,21是连续可微的是连续可微的. .微，且不是常数微，且不是常数，把（，把（5.165.16）的任一解）的任一解D设设在区域在区域内连续可内连续可),(21nxxxt( )iixx t代入代入使使), (21nxxxt成为成为), 2

17、, 1(ni与与t t无关的常数，此常数与所取解有关无关的常数，此常数与所取解有关, ,则称则称12( ,)nt x xxc为方程组为方程组（5.165.16）的）的是方程组是方程组（5.165.16） 的首次积分。的首次积分。设微分方程组设微分方程组（5.165.16）有有n个首次积分个首次积分nnnncxxxtcxxxt),(,),(211211如果在某区域内它们的如果在某区域内它们的JacobiJacobi行列式行列式0),(),(11nnxxDD称函数称函数), (21nxxxt一个首次积分，有时也一个首次积分，有时也则称它们在区域则称它们在区域G G内为互相独立内为互相独立. .定理

18、定理 1 1 设函数设函数),(21nxxxtD在区域在区域内内是方程组（是方程组（5.165.16）的首次积分的充要条件为）的首次积分的充要条件为连续可微，且它不是常数连续可微，且它不是常数，则，则12( , , ,)nt x xxc011nnfxfxt本定理给出了检验一个函数本定理给出了检验一个函数是否为方程组的是否为方程组的首次积分的方法首次积分的方法. .利用首次积分法可消去某些未利用首次积分法可消去某些未知函数知函数, ,从而减少微分从而减少微分方程组中方方程组中方程的个数程的个数. .定理定理 2 2 若若已知方程组（已知方程组（5.165.16）的一个首次积）的一个首次积分，则可把方程组求解问题转化为含分，则可把方程组求解问题转化为含n-1n-1个方程个方程的方程组的求解问题