相似三角形培优精彩试题

1、1、(本题满分7分)AD相交于点N.求证：(1)AE=CG；(2)AN DN=CN MN.2、(本题满分7分)如图11,已知ABC的面积为3,且AB=AC现将到EFA.(1)求四边形CEFB的面积；(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；(3)若/BEC=15:求AC的长.图10如图10,四边形ABCDDEFGtB是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点MCG与ABC沿CA方向平移CA长度得3、如图，在平行四边形ABCN,过点A作AE，BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且/AFE=/B.(1)求证：ADMDEC(2)若AB=4,AD=3J3,AE=3,求AF的长.4、如图

2、(4),在正方形ABCD中，E、F分别是边ADCDh的点，AE=E,DD=F1，连结EF并延长交BC的延长线于点G.4(1)求证：ABEs/XDEF；(2)若正方形的边长为4,求BG的长.图(4)5.如图(15),在梯形ABCD中，DC/AB,/A=90,AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BTCTD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.(1)求边BC的长；(2)当t为何值时，PC与BQ相互平分；(3)连结PQ,设4PBQ的

3、面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？6 .(本题满分9分)一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m,面积为1.5宿，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1,乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由.(加工损耗忽略不计，计算结果中可保第6题图留分数)图1图27、如图1,O为正方形ABCD勺中心，分别延长OAODU点F、E,使OF=2OAOE=2OD连接EF.将EOF绕点O逆时针旋转a角得到E1OF1（如图2）.（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；（2）当a=30时，

4、求证：AOE伪直角三角形.8、（本题满分12分）将矩形ABCD氏片沿又角线AC剪开， 得到ABCACD,如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点DNA）、B在同一条直线上，如图2所示.观察图2可知：与BC相等的线段是,/CAC=.图1图2问题探究如图3,ABC,AGLBC于点G,以A为直角顶点， 分别以ABAC为直角边， 向ABC外作等腰RtABE和等腰RtAACI过点E、F作射线GA勺垂线，垂足分别为P、Q试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸如图4,ABC中，AGLBC于点G,分另ij以ABAC为一边向AB卜作矢|形ABM库口矩形ACNF射线

5、GA交EF于点H若AB=kAEAC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.9.(本小题12分)如图，有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与AD重合)，在AD上适当移动三角板顶点P:(1)、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；(2)、再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。参考答案1、证明：（1）丫

6、四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,AD=CD,DE=DG,.ADC=/EDG=90，AZADE=ZCDG,.AADEACDG,3分二AE=CG4分（2）由（1）得AADE三ACDG/./DAE=NDCG,又/ANM=NCND,：AMI.：CDN2、解：（1）由平移的性质得AFBC且AF=BC,AEFAAABC,二四边形AFBC为平行四边形，J.四边形EFBC的面积为9.3分（2）BE_LAF.证明如下：由（1）知四边形AFBC为平行四边形二BFAC且BF=AC,又AE=CA4.BFAE且BF=AE,四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC,.AB=AE,二平行四边形EFBA为菱形，:

7、BE_LAF5分BD_LAC于D,丫/BEC=15:AE=AB,./EBA=/BEC=15:二/BAC=2/BEC=30：在RtBAD中，AB=2BD.设BD=x,贝UAC=AB=2x,丁S&BC=3,且SaBC=1AC*BD=；2x,x=x2，二x2=3,丁x为正数二x=V3,AAC=2437分3、（1）证明：二四边形ABC虚平行四边形AD/BCABCCD /ADF4CED/B+/C=180 /AFE吆AFD=180/AFE土B /AFD4C .ADMDEC（2）解：二四边形ABC比平行四边形.AD/BCCD=AB=4ANCNMNDN即AN*DN=CN*MNS.EFA=S.BAF=S

8、.ABC=3,又A已BCAEXADED=2,CG=6.BG=BCCG=10.在RtCEB中，由勾股定理得：BC=JCE2+EB2=10.由DC/AB,在RtaADE中，DE=jAD2+AE2=1(33)2+32-6ADMDECADAF3.3AFDECDAF=2.34、(1)证明：；ABCD为正方形，二AD=AB=DC=BC,/A=/D=90.*_AEAE=EDAB一1又DF=DC,.1二一2DF4AEDFDEAB(2)解:,ED/又DFDEABCD为正方形，EDDFBG.，=.CGCF1-二一DC，正方形的边长为44.5.解：(1)作CE_LAB于点EAE=CD=4,CE=DA=6.又.i=3

9、：4,.CE=3.EB4,EB=8,AB=12.如图（3）所示,则四边形1分AECD为矩形.则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上）.即CQ=BP,.3t-10=12-2t.2222解得t=一，即t=一秒时，PC与BQ相互平分.5510(3)当Q在BC上，即0wtW10时,3作QF_LAB于F,则CE/QF.6、（本题满分9分）由图1,若设甲设计的正方形桌面边长为xm,由DE/AB,得RtzXCDEsRtACBA,_x一56二一m.7由图2,过点B作RtzXABC斜边AC上的高QFBQCEBCQF,1P63t59t.，QF=101-PBQF19t=_(12-2t产9=-(t-3)581十5当t

10、=3秒时,SAPBQ有最大值为81厘米2.105八，r1014当Q在CD上，即10wtW14时,c1-1.SAPBQ=-PBCE=(12-2t)622=36-6t.易知S随t的增大而减小.11一，.10故当t=一秒时,310SAPBQ有最大值为36-63=16厘米2.,8116,59t2+54tj0wtAG，/AGB/EPA=90,RRtAABGRtAEAF?.AGEP同理AGFQ，EP=FQ拓展延伸结论：HE=HF理由：过点E作EPLGAFQ!GA垂足分别为P、Q.四边形ABM遑矩形，BA自90,/BAG/EAP=90.AGLBC，/BAG/ABG90,/ABG/EAPAGAB，./ABGo

11、AEAPEP=EA.9.解：结论：能.设乙设计的桌面的边长为ym,；DE/ACRtBDEsRt/XBAC,BPDEBH即1.2-y1.2AC,解得y2.530=m37-630735，*22,xy，30一,37图2二:1.2m2.5AOEBOF全等，即可证得AE=BF/AGB/EPA=90同理ACFAQ.AB=kAE,AGkAF,AG_ACFP=FAABAC=kEAFAAG_AGEP=FPEP=FQ设AP=xcnp贝UPD=(10-x)cm.因为/A=/D=90,/BPC=90,所以/DPCWABP所以ABWADPC则AB/PD=AP/DC即AB-DC=PDAP.所以4X4=X(10-X),即x

12、2-10 x+16=0.解得x1=2,x2=8.所以AP=2cnm8cm.结论：能.设AP=XcmCQ=ycm由于ABC奥矩形，/HPF=90,所以ABAWECQBAWAPDQ所以AP-CE=ABCQAP PD=ABDQ所以2x=4y,即y=x/2,x(10-x)=4(4+y).消去y,得x2-8x+16=0,解得XI=X2=4,即AP=4cm一、选择题（每小题6分，共48分）1.在ABC中，DF是AB上的点,ABC分成面积相等的三部分，若线段A.15B.10E、H是AC上的点，直线DE/FH/BC,且DEFH将FH=56,则BC的长为()C.156D.2.15232.在ABC中，DEBC,D

13、E交AB于D,交AC于E,且SADE：S四边形DBC=1:2,则梯形的高与三角形的边BC上的高的比为（A.1:J2C.1:（,3-1）)B.1：(,2-1)D.(J31)：第3.在RtABC中，Z0=901,CD是斜边AB上的高，AC=5,BC=&B,竺64CUD.则SAACD25SACBD为（）894.如图151,0E、F是ABC的三边中点，设DEF的面积为4,ABC的周长为9,则DEF的周长与ABC的面积分别是（）A.92C.92165.如图(1)(3)(4)1-5-2,在ABC中，ADBC于D,下列条件:/B+ZDAC=90;/B=ZDACCDAC=；ADAB2AB=BD-BQ其

14、中一定能够判定ABC是直角三角形的共有（A.3个B.C.1个D.0个6.如图153,在正二角形.ADABC中，D,E分另1J在AC,AB上， 且ACAE=BEA.则有()AEDBEDB.AEDCBDC. AEDABDD.BADBCD7.如图154,PQ/RS/AC,1、RS=6PQ=9QC=SC,则AB等于3A.514B.64C.7iD.5图 PS-1图1-5-Z13A15.在直角三角形中，斜边上的高为斜边上的中线的长为（56cm2C.56cm6cm,且把斜边分成3:2两段，则B.4.6cmD. cm28.如图155,平行四边形ABCD43,O、Q、Q是BD的四等分点，连接AO,并延长交AD.

15、BC于E,连接EQ,并延长交ADF,则一等于（）FDA.和：1B,3:1C.3:2D.7:39.如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（）A.等腰三角形B.任意三角形C.直角三角形图 1-5-5D.直角三角形或等腰三角形10.在ABCABC中，AB:AC=AB:AC,/B=ZB,则这两个三角形（）A.相似，但不全等B.全等C.一定相似D.无法判断是否相似11.如图161,正方形ABCD43,E是AB上的任一点，作EFBD于F,则变为（）BEA.B,1C.6D.、.222312.如图162,把ABC沿边AB平移到ABC的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是

16、ABC的面积的一半，若AB=J2,则此三角形移动的距离人4是（）21A.22-1B.-C.1D-13.如图163,在四边形ABCM,/A=135,/B=ZD=90,BC=23,AD=2则四边形ABCD勺面积是（）A.4,2B.4.3C.4D.614.如图164,平行四边形ABCD43,G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E,与DC交于点F,则图中相似三角形共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对A.16 .AD为RtABC斜边BC上的高，作D吐AC于E,空=5贝(J_CB=()AC4EAC.甲不正确、乙正确D.甲、乙都不正确18 .如图166,在直角梯形ABC邛,AB=7,AD=2BC=&a

17、mp;如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、BC为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（）A.1个B.2个C.3个D.4个、填空题（每小题4分，共16分）20.如图156,在RtABC中，/ACB=90,CDARAC=6,AD=3.6,贝UBC=。21.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则此三角形的面积是图 15622 .在ABC中，BD,CE分别为AGAB边上的中线，MN分别是BD,CE的中点，则MNBC=。23 .在ABC中,DE/BC,D、E分别在AB、AC边上，若AD=1,DB=2,那么DEBC=。DE24 .平行于ABC的边AB的直线交CA于E,交CB于F,若直线

18、EFffiAABC分成面积相等的两部分，则CECA=。25 .RtABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有x个三角形与ABC相似，则x=26.在ABC中，点D在线段BC上，/BAC=ZADC,AC=8,BC=16,则CD二cA,”25B.-5C.-4c25D.1617.如图165,ABC中,BC=n求CD的长。甲同学求得AB=AC/A=36,BD平分/ABC已知AB=m2CD=m-n,乙同学求得CD=上，下列判断正m确的是（）A.甲、乙都正确B.甲正确、乙不正确图 1-6-5图 1-6-6三、计算题（本大题共86分）27.如图157,ABC为直角三角形，/ABC=90,以AB为边向外作正方形

19、ABDE连接EC交AB于P点，过P作PQ/BC交AC于点Q证明PQ=PB28.如图158,已知DE/AB,EF/BC。求证：DEDABG图 1-5-730.如图159,在平行四边形ABCD43,E为AB的中点，在图卜 5-8AF1AD上取一点F,使=一,连接FE交CB的延长线于H,交ACFD2一一一1于G,求证AG=AC。529.在RtABC中,/C=90,CDLAB于D,SBC=SAABC-SAADO求证：BD=AC图 1-5-934.如图1510,已知AD是4ABC的中线，过ABC的顶点C任作一直线分别交ARAD于点F和点E,证明：AE-FB=2AF-ED=32.如图1511,在ABC中，

20、/A、/B、/C的对边分别是a、b、c。点P是AB上一个动点（P与A、B不重合）。连接PC,过P作PQ/AC交BC于Q点。33 .如图167,在ABC中，BD是AC边上的中线，BE=AB且AE与BD交于F点，求图 16734 .如图168,/APD=90,AP=PB=BC=CD找出图中两个相似的三角形，并给出证明。证:ABBCEFAFABH图 1-5-10 图35 .如图169,ADBE是4ABC的高，D。AB于F,DF交BE于G,FD的延长线交AC的延长线于H,求证DF=FG FH图 1-6-936 .如图1610,AP是4ABC的高，点DG分别在ARAC上，点E、F在BC上，四边形DEFG

21、矩形，AP=h,BC=a(1)设DG=xS矩形DEF=y,试用a、h、x表示y;(2)按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于ABC的面积？图1610选彳4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试【试题答案】、选择题（每小题6分，共60分）1.A4. A解析：如图D124所本,.aE、F分别为ABC三边中点_1_EF/1BC，.二MEF7ABC2 l.DEF=24,SDEF=4=16故1.，DEF，选A5. A解析：验证法：（1）3 /B+ZDAC=90,4 .ZBADhDAC同理/B=ZC,不能判定/BAD+/DAC等于90;（2）中/B=ZDAC/C为公

22、共角，ABSDAC.DAE直角三角形，.ABE直角三角形；一一一CDAC一在（3）中，=可得AACDBADADAB5 .ZBADhC,/B=ZDAC1.DEF1.,ABCEFBC1=,1ABC=92.D3.B二16不能判定ABE直角三角形而/B+/DAB=90,AD-匚6 /BAD吆DAC=90;2BDAB(4)中AB=BD-BC即一=一，/B为公共角,ABBC，AB8DBA即ABC为直角三角形。，正确命题有3个选Ao6. B解析：直接法。注意到/A=ZC=60故AEWCBD选Bo7. A9.D10.D11.A12.C13. C解析：由/B=/D=90。，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD

23、它们的延长线交于E,则彳#到RtBC讶口RtADE由题目条件知，ADE为等腰直角三角形，DE=AD=21.$ADE=-X2X2=2.2又可证RtAEBCRtEDAS志BCrBC、2一-S在DA0),贝U(a+d)2=a2+(ad)2,a=4d.，三边之比为3:4：5.20. 821.4822.1:423.425.2解析：ACDABC；ACBtDABC26.4三、解答题（本大题共74分）27.证明：PQ/BC,BC/AE,PQ/AE/CPQWCEA/CQPhCAE.CPQCEA解析：由4BASADCM知BC_ACAC-CD.PQ_CPEA一CEPBCPPQPB同理可得=，=EDCEAEED而AE

24、=DEPQ=PB28 .证明：DE/AB,.DEODOE,-=ABOAOB又EF/BC,.EFOEOF=BCOBOCDEEF二ABBC由知OD二而/FODWCOAOAOC.AB8DEF29 .证明：如图D-1-25ABCD_BDCDADCD-ADCDABBD2,BD=ABADBDAD由射影定理得，AC2=ADAB.AC2=BD,即AC=BD AE=EB/AEF=/HEB/FAE=ZEBH.AFABHEAF=BH.AF_1CH一4DFACODOA在ABC和DEF中，有DEEFABBCDFACS.ABCS.BDCS.BDCS-ADC30.证明:AF1FD一2AFAD3AFBCAFCHAGCG图 D-1-25.AGSCGHAGAC31.证明：过D作DH/CF交AB于点H,贝U/BDH=BCF/B=ZB,.BDHhBCF又D为BC的中点BDBH1=_BCBF211BH=-BF,即FH=BFAE