完整版点差法弦长公式

1、点差法1.过点(1, 0)的直线l与中央在原点,焦点在x轴上且离心率为椭圆C相交于A、B两点,直线y=：x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.命题意图：此题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的 方法,设计新奇,根底性强,属级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问 题,对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问题是解决好此题的关键.技巧与方法：此题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二,用韦达定理.解

2、法一：由 $=£=三,得.1b2 =1,从而 a2=2b2,c=b.a 2a22设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(Xi,yi),B(X2,y2)在椭圆上.贝U Xi2+2yi2=2b2,X22+2y22=2b2,两式相减得,(x X22)+2(y y22)=0, 32 二一上Xi -X22(yi V2)设AB中点为风块),那么kAB=一,又(Xo,yo)在直线y=-x±, yo=iX0, 2y02' 21Kab= 1,设 l 的方程为 y=-x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x',y'),'y' -1那么?x'b

3、解得x =y,x,+by=1 -b=+1、22由点(1,1 b)在椭圆上,得 1+2(1 b)2=2b2,b2=*,a2=(.2.所求椭圆C的方程为"+竺y2 =1,1的方程为y=-x+1.99解法二：由e=£=四,得=,从而a2=2b2,c=b.a 2 a22'设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,1的方程为y=k(x- 1),将1的方程代入 C的方程,得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,那么4k22kXi+X2=7T27 ,yi+y2=k(xi 1)+k(x2 1)=k(xi+x2) 2k= 172kl直线l ： y=gx过AB的中点(x1 ；x2y

4、iy22),那么- k1 2k21 2k2=2 1 2k2,解得k=0,或 k= 1.假设k=0,那么l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k= 1,直线l的方 程为y= (x1),即y= x+1,以下同解法一.2.()圆Ci的方程为(x2)2+(y一堂AT)2=20,椭圆 C2 的方程为$=1(a>b>0),C2的离心率为 会 如果Ci与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为 圆Ci的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.解：由,去可设椭圆方程为=i,又设 A(Xi,yi)、B(X2,y2),那么 Xi+X2=4,

5、yi+y2=2,22222222又今音/券卷4两式相减,得 J T=0,即(Xi+X2)(xi X2)+2(yi+y2)(yi y2)=0.X1 - X2化简得"二幺=i,故直线AB的方程为y=-X+3,代入椭圆方程得3X2椭圆,+当=Ka>b>0)的离心率e =2, A、B是椭圆上关于坐标不对称的 a2 b23两点,线段ABft中垂线与X轴交于点Ri 0) (力设AB中点为C(x0, y0),求x0的值.(2)假设F是椭圆的右焦点,且AF +|BF =3,求椭圆的方程.-i2X+i8-2b2=0.有 =24b2- 72> 0,又|AB|=有匹T薪"工藐=

6、得及、空士、隹,解得b2=8.9. 322故所求椭圆方程为 L=i.i6 8(1)令A (x1,y1)、B (x2,y2)贝 1 x1 x2 =2x0, y1 - y2 =2y0 y1 V21 -'x0X1 一 X2V.2一 32x2.2a b22. 2二a b,22, 222, 2b x2 +a y2 =a b又A、B在椭圆b2x12 a2y12.2a-b2- ab2a.2/、/、2/、b (x1 +x2)( x1 -x2)+a (y1 +y2)22(x1 -x2)b x0 +a y0(y1 -y2)=0(V1_ V2)=0,2y1 2 b x0X1 -'x25 x09 y0

7、9 x° =一4(2 AF| -|BFp AF又 2 a一 x1 c2a y0 1 x0二3Vo5 x09 y0=- -5xo =9 -9xoBF|2 a一 -x2 cAFBF=a ex1=a -ex2a -exi a -ex2 =3一 2/、 一2a - - (x1 , x2)=3_3-y99x1 x2 =2x0 =一 22a =3 3= a =3 |2c-c =23b2二5,所求椭圆方程为二1(2006年江西卷)如图,2. x椭圆 Q x_ a2 J b2(a>b>0)的右焦点 F (c, 0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于 求点P的轨迹H的方程A、B两

8、点,P是线段AB的中点在Q的方程中,令 a2=1 + cos 0+ sin6,b2 = sin冗6(0/一),确定a的值,使原点距椭圆2的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大22解：如图,(1)设椭圆 Q: x-+ y-=1 (a>b>0) a b上的点AX1, y1、BX2, y2,又设P点坐标为P x, y,那么,2 2.22 b x1 a y1,2 2 .2 2b x2 a y2a2ba2b(1)(2)1名 AB不垂直x轴时,xi邦2,由(1) ( 2)得22b (xi x2)2x + a (y-y2)2y = 0y1

9、一y2.2bx_ y2x1 x2 a y x cb2x2+ a2y2 b2cx= 0(3)2名AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程3故所求点P的轨迹方程为:b2x2 + a2y2 b2cx = 02由于,椭圆Q右准线2l方程是x=,原点距c2的距离为,由于c2= a2ca2= 1 + cos 升 sin 小b2= sin 1 ( 0 G )22那么a-=c1 + cos" sin 二1 + cos 二. .9 冗、=2sin (I)24IT当8=时,上式到达最大值.此时2a2 = 2, b2=1, c=1, D (2, 0), |DF| = 1设椭圆Q:s= - |y 1l h

10、|y 2I1 .=|y 1 y2|2设直线m的方程为x= ky + 1,代入2+y2= 1 中,得(2 + k2) y2+2ky-1=02由韦达定理得y1 +2ky2=2,yy=22+k22+k22,、2,、28 (k=1上的点A Xi, y.、B x2, y2,三角形ABD的面积+1)4S = (y1 y2)= (y + y2) 4 y 以2=-(k2+ 2)2令 t = k2+ 1 M ,得 4S2= 一8一(t + 1)8.一 .一<-=2,当t = 1, k=0时取等号.4因此,当直线 m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形 ABD的面积最大.222006 年湖南卷椭圆 .：x-+L

11、=1,抛物线.：y m2 =2pxp >0,且 0、C2 43的公共弦AB过椭圆Ci的右焦点.(I )当AB! x轴时,求m、p的值,并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB上；(n)是否存在m、p的值,使抛物线C2的焦点恰在直线 AB上假设存在,求出符合条件的 m、 p的值；假设不存在,请说明理由._ ,、-945. ( I ) m =0, p =；86 -6. 4(n ) m =,或 m = , p =一. 333解 (I)当AEJ± x轴时,点A、B关于x轴对称,所以 m= 0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,0)或(1, 3).22由于点A在抛物线上,所以

12、9 =2p ,即p = 9.48此时G的焦点坐标为(-9,0),该焦点不在直线 AB上.16(n)解法一 当C2的焦点在AB时,由(I)知直线 AB的斜率存在,设直线 AB的方 程为 y =k(x -1).y =k(x -1)由 Jx2 v2消去 y 得(3+4k2)x2 8k2x+4k2 12=0.L+匕=143设A、B的坐标分别为(x1,yO , (x2, y2),口r8k2那么x1,x2是方程白两根, x1+x2=.3 4k由于AB既是过G的右焦点的弦,又是过 G的焦点的弦,111 .所以 AB| =(2 x1)+(2 x2) =4 (x +x2),且AB =(x +"p) +

13、优 +"p) = K +乂2 + p.,1 ,、从而x x2 p =4-3(% x?).所以8k23 4k24 -6p解得 k2 =6,即 k =±J6.由于G的焦点f ( , m)在直线y=k(x-1)上,所以m=k. 33即m =逆或m =-.33当m=W6时,直线AB的方程为y=河x1)； 3当m=立时,直线AB的方程为y= 6(x_1). 3解法二 当G的焦点在AB时,由(I)知直线 AB的斜率存在,设直线 AB的方程 为 y =k(x 一1).(一)2 9一 a由)3消去y得(kx_k_m)2 =8x.y =k(x -1)32由于G的焦点F(,m)在直线y=k(x

14、1)上,2 1一2k c 8所以 m =k(- 1),即m = -k.代入有(kx-) =-x.3 333即 k2x2 -(k2 +2)x+土 =0 .39设A、B的坐标分别为(x1,y., (x2, y2),/I 2 c、那么x1,x2是方程白两根,x1+x2= 处一2).3k2y =k(x -1)由丫2v2消去 y 得(3+4k2)x2 8k2x+4k2 12=0d +y- =143由于x1,x2也是方程的两根,所以x1+x2= -8-3 4k2,八22从而 4(k2) = 8k .解得 k2 =6,即 k =±V6 .3k23 4k22 1由于G的焦点F (-,m)在直线y=k

15、(x-1)上,所以m=k.3 366即 m =或 m =.33、6当m=-时,直线 AB的方程为y=f'6(x-1);6当m=-6时,直线AB的方程为y=、6(x-1).3解法三 设A、B的坐标分别为(x1, yO , (x2, y2),由于AB既过C的右焦点F(1,0),又是过C2的焦点F, m),3AB =(x1 +) +(x2 +) =x1 +x2 + p = (2 x1) +(2x2)2222-即 x1x2=(4.p)=1639由(I )知xi #x2 ,于是直线 AB的斜率k =21二yl =巴二0 =3m ,x2 -xi2 _13 且直线AB的方程是y =-3m(x -1)

16、,2m_所以 y1 +y2 =-3m(x1 +x2 -2)=.d3二 2 , ,2 -cp 巾4 3x1 +4yl =12y2 -yi又由于,所以 3(x1 +x2) +4(y1 +y2)=0.3x2 4 y2 = 12x2 - x1将、代入得=Z,即m=通或m=3333当m=工6时,直线AB的方程为y=-T6(x1)； 3当m = -噂时,直线AB的方程为y 6(x -1).弦长公式1 .椭圆的中央在坐标原点,焦点在 x轴上,它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭 圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2,且|M1M2|=生",试求椭3

17、圆的方程.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a c那么(a+c)(a c)=a2 c2=b2,b2=4,设椭圆方程为m十二=1a 4设过M1和M2的直线方程为y=-x+m将代入得：(4+a2)x2 2a2mx+a2m2 4a2=0设乂1(为/1)、乂2区?2)川丹2的中点为(x0,y.),那么 %=1 (x#X2)=2,y°=一乂鹏=事.代入尸%得*=f, 4 a 4 a由于 a2>4,. m=0,.,由知 Xi+x2=0,XiX2= /又 MiM2|= 2 (Xi X2)2 -4X1X2 =4 1° 3代入Xi+X2,XiX2可解a2=5,故所求椭圆方程为

18、:4a24 a2,l2,经过右焦点F垂直于l12. (2021全国一 21).(本小题总分值 12分) 双曲线的中央为原点 O,焦点在X轴上,两条渐近线分别为11,的直线分别交l1,1于A, B两点.成等差数列,且BF与FA同向.(I)求双曲线的离心率；(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.解：(I)设 OA = md, AB=m, OB = m + d由勾股定理可得:222(m d) m = (m d)b_ AB 4tan AOF =b, tan AOB=tan2 AOF = B =-由倍角公式二2b aaOA 34 b 15=一,斛得一=一,那么离心率e =22(n)

19、过F直线方程为y =-a(x,与双曲线方程与一工=1联立 ba2 b2.一.15 c 8； 5将 a=2b, c =病代入,化简有-2x2 -8-Zx+21 = 04b b将数值代入,有4 =-428b2,解得b1522故所求的双曲线方程为 x-上=1.3692山东卷设直线l:2x+y+2 = 0关于原点对称的直线为假设1'与椭圆x2+E=1的交4点为A、R,点P为椭圆上的动点,那么使 APAB的面积为1的点P的个数为B 2A 1B 2C 3D 4福建卷方向向量为V =i, J3的直线1过点0,-2 J3和椭圆22线上.I求椭圆c的方程；Tn是否存在过点 E 2, 0的直线 m交栉/

20、MON= 0 .为原点.假设存在,求直线I解法一：直线 l:y=43x3"Q,r .3过原点垂直l的直线方程为y = -x ,3, 一 一3解得x = 3.2.椭圆中央0, 0大于直线l的对称点在椭圆a23二2 一 3.c2直线l过椭圆焦点,该焦点坐标为2, 0_2_2J.c2,a -6,b -2.故椭圆C的方程为一1解法二：直线l : y =.3x -3,. 3 .有圆C于点M N,满足OM,oN =f J6cot 3m的方程；假设不存在,请说明理由 .C的右准线上, .22-+-=1.62C ：2+=13 >b >0的焦点,且椭圆 C的中央关于直线1的对称点在椭圆 C

21、的右准 a b =.p-23设原点关于直线l对称点为p, q,那么j22 解得p=3.3 q =一1.,p.椭圆中央0, 0关于直线l的对称点在椭圆 C的右准线上,2=3. c直线l过椭圆焦点,该焦点坐标为2, 0.2+匕=1.2222x,c=2,a =6,b =2. 故椭圆C的方程为一 6(II )解法一：设 M( xi,y1),n (X2,y2).当直线m不垂直x轴时,直线 m : y = kx+2代入,整理得(3k2 1)x212k2x 12k2 -6 =0,x1 x2_ 212k2_ 2 一12k2 -62, x1 x2 23k2 13k2 12|MN|=F k2 (x x2)2 &q

22、uot;xx； hj1 k2 (-12k )2 -4 3k2 1212k2 -623k2 12 6(1 k2)23k2 14cos. MON.6 - 0,3 sin. MON点O到直线MN的距离d = J 2k ,1 k2TOM ON =4 病 cot/MON ,即 |OM | |ON |cos/MON =/4 2 4 -.|OM | |ON |sin . MON 6,. S OMN = -.6. |MN | d 6, 333即 4 .6 |k | k2 1 =4、6(3k2 1).3整理得k2 = , k =3当直线m垂直x轴时,也满足S.OMN故直线m的方程为y =, 32.3x 332,

23、3八,或 x = - 2.3经检验上述直线均满足OM ON丰0,所以所求直线方程为y = W3 x + 迥33恒x.述,或x = -2.33解法二：设 M ( x1, y1), N ( x2, y2)当直线m不垂直x轴时,直线 m: y =k(x+2)代入,整理得(3k2 1)x2 12k2x 12k2 -6 = 0,.刈 x2 =12k23k2 1E ( 2, 0)是椭圆C的左焦点, . |MN|=|ME|+|NE|aac一e( x1) e(- x2)二一 (x1 x2) 2a 二_ 2_22 , 12k、02.6(k1)(一 一2-) 2 6 :2.6 3k2 13k2 1以下与解法一相同

24、.解法三：设 M ( x1, y1), N ( x2, y2)设直线m: x=ty 2 ,代入,整理得(t2 +3)y2 4ty2 = 0.4t-2yy2 = i, y1y2 =五,t2 3 t2 3|y1 -y2 |= 八 十丫2)-4丫也=水冷曰2.t 3 t 324t2 24.(t2 3)24- OM ON =: J6cot/MON ,即34 八 cos- MON|OM | | ON | cos._MON6 3 sin. MON:0,.|OM | |ON |sin . MON42 -=6,. S OMN 6.33S .OMN = S .OEM S. OEN1-=1|OE| |y一 y22

25、4t2 24；(t2 3)2Of®整理得t4 =3t2.解得 t =±J3,或 t =0.故直线m的方程为32-3 _32 3 _y = x +,或 y = x -,或 x 2.3333经检验上述直线均满足OM ON=0.32、. 3 332.33 八所以所求直线方程为 y=x+,或 y = _x ,或 X =2.3333广东卷在平面直角坐标系xOy中,抛物线y =x2上异于坐标原点o的两不同动点A、B满足AO _LBO 如图4所示.I求AAOB得重心G 即三角形三条中线的交点的轨迹方程；n AAOB的面积是否存在最小值假设存在,请求出最小值；假设不存在,请说明理由.x1

26、x2x 二解：(I)设4AOB 的重心为 G(x,y),A(x i,y i),B(x 2,y 2),那么y =3yiy23(i) OA! OBkOAkOB =-1,即 x1x2+yiy2=1,(2)又点A, B在抛物线上,有 y =x；,y2 =x2 ,代入(2)化简得xj2 = -iy1y2i 22 i2i 2 222 - y =二-(x1 x2)(x1x2) - 2x1x2(3x) 一 = 3x 333333所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+23(11)S&OB =11 OA |OB |=1 0(x；+ yi2)(x2 + y2) =1 x xi2x2 + x2 y2 + x2

27、y；+ y； y2 222山、/曰 Saob =:6x2F2 _丁2.6 x； 2 =1,2. (-1)6 2 = ； 2=1由(I)得2222当且仅当x； =x；即x1 = -x2 = 一1时,等号成立.所以 AOB勺面积存在最小值,存在时求最小值1；22(2006年安徽卷)如图,F为双曲线C: ' 4=1(a >0,b>0)的右焦点.P为双曲线Ca b右支上一点,且位于 x轴上方,M为左准线上一点, O为坐标原点.四边形 OFPM 为平行四边形,PF =?uOF(I)写出双曲线 C的离心率e与九的关系式；(n)当九=1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,

28、假设 AB =12,求此时的双曲线方程.解：四边形 OFPM是,| OF |4PM | P ,作双曲2线的右准线交PM于H,那么|PM|=|PH广2-,又 c2, e 2-25 e 一九e 2 = 0.e2 -2 2|PF | |OF | c c二2 二2 二-221PHic-2里 c-20- c2-2a2 cc2222X V(n)当儿=1时,e = 2 , c =2a , b =3a ,双曲线为一2 一亍=1四边形OFPM是 4a 3a菱形,所以直线OP的斜率为 忑3 ,那么直线AB的方程为y=J3(x-2a),代入到双曲线方程得：9x2 -48ax+60a2=0,AB =12,由 AB =?1 +k2 J(x1 +x2)2 -4x1x2 得:48a 212=2 % )2 一9127 x2一,