2008年高考试题——数学理(天津卷)

1、绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)120本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时分钟。第I卷1至2页，第n卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项:1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码。用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动答在试卷上的无效。共用橡皮2 .每小题选出答案后 擦干净后，再选涂其他答案标号。3 .本卷共10小题，每小题5分,参考公式：如果时间A, B互斥，那么P (A+B) =P (A) +P (B

2、)如果事件A, B相互独立，那么P (A B) =P (A) P (B)50分。球的表面积公式S 4 R2.其中R表示球的半径.、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的(1)(A)1(B)1(C) i (D) ix y 0(2)设变量x, y满足约束条件x y 1 ,则目标函数z 5x y的最大值为x 2y 1(A)2(B)3(C)4(D) 5(3)设函数f x sin 2x - ,x 2R,则f x是(A) 最小正周期为 的奇函数 (B) 最小正周期为 的偶函数(C)最小正周期为的奇函数(D)2最小正周期为的偶函数2(4)设a,b是两条直线,是两个平面,ab的一个充分条件是

3、(A),b/ ,(B) a,b/(C),b/(D) a,b/ ,2(5)设椭圆三 m2y2m则P点到右准线的距离为(A)6(B)2上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,(C)(D)2、, 77(6)设集合S3,Tx a 8,S TR,则a的取值范围是(A)(C)(B)(D)设函数(A)(B)(C)(D)(8)已知函数(A) x|(C) x|(9)已知函数1的反函数为在其定义域上是增函数且最大值为在其定义域上是减函数且最小值为在其定义域上是减函数且最大值为在其定义域上是增函数且最小值为x -2 1(B) x|x(D) x| . 211的解集是x是R上的偶函数,且在区间0,上是增函数.

4、令a f sin , b f cos5- ,c77f tan57(A) b a c (B) c b a (C) b(10)有8张卡片分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6,c a (D) a b c7, 8,从中取出6张卡片排成3行23列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为(A) 1344 种 (B) 1248 种 (C)1056 种5,则不同的排法共有(D)960 种注意事项:1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3.本卷共12小题，共100分。二、填空题(11) X(本大题共 6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)5与 的二项

5、展开式中，X2的系数是一 X(12) 一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为4<3 ,则该正方体的表面积为(13)已知圆C的圆心与抛物线 y2 4x的焦点关于直线 y x对称.直线4x 3y 2 0与圆C相交于A, B两点，且AB 6,则圆C的方程为(14)如图，在平行四边形 ABCD中,AC 1,2 ,BD(15)(16)则 AD AC已知数列an 中，a11, an1*n若仅有一个常数c使得对于任意的xa,a2满足方程10g a X 10g a yc,这时，a的取值的集合为三、解答题(本题共6道大题，满分76分)(17)(本小题满分12分)已知cos X 4.210 ,

6、X 2 , 4(I)求sin x的值;(n)求 sin 2x的值.(18)(本小题满分12分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1均未命中的概率为16'(I)求乙投球的命中率 p ；(n)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求 的分布列和数学期望.(19)(本小题满分 如图，在四棱锥P已知AB 3, AD(I)证明AD(n)求异面直线(m)求二面角 P12分)ABCD中，底面 ABCD是矩形2, PA 2, PD 2 . 2, PAB平面PAB ;PC与AD所成的角的大小；BD A的大小.(20)(本小题满分12分)a .-已知函数f x x bx

7、0 ,其中a,b R.x(i)若曲线yf x在点P 2, f 2处的切线方程为y 3x 1 ,求函数f x的解析式;(n)讨论函数 f x的单调性;11(出)若对于任意的 a 一,2 ,不等式f x 10在一，1上恒成立，求b的取值范围. 24(21)(本小题满分14分)已知中心在原点的双曲线 C的一个焦点是F1 3,0 , 一条渐近线的方程是 <5x 2y 0.(I)求双曲线C的方程；(n)若以k k 0为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点 M, N,线段MN的垂81直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为一，求k的取值范围.2(22)(本小题满分14分)在数列an与bn中，a1

8、1,b1 4 ,数列an的前n项和Sn满足nSn 1 n 3 Sn 0 ,2an 1 为 bn 与 bn 1 的等比中项，n N* .(i)求a2, b2的值;(n)求数列 an与bn的通项公式;(m)设 Tnan J1 bn, n.证明Tn2n2,n 3.选择题:(1)(6)(2)(7)(3)(8)二.填空题:(11)40(12) 24(14)(15)76.解答题:(17)解：(I)因为参考答案(4)(9)(13)(16)sin x 一 41 cos2 x72sin x sin x1010(n)因为x10sin故 cosxsin2x2sin xcosx24,cos2x25所以sin2x 3c

9、os441 sin222cos xsin 2x cos cos2xsin 一cos(5)(10)sin 一42524 7 35021 2 10(21)解:(I)设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件B由题意得 2211 P B 1 p 163 5 3解得p 或(舍去)，所以乙投球的命中率为 4 441 13 1(n)由题设和(I)知 P A , P A , P B ,PB 2244可能的取值为0, 1, 2, 3,故111P 0 P A P B B24321 P A P B B C2P B P BP A1327322394321532的分布列为012317159P32323

10、232的数学期望E。工1 Z2竺3232323232解：(I)证明：在 PAD中，由题设PA 2, PD 2J2可得PA2 AD2 PD2 于是 AD PA.在矩形 ABCD 中，AD AB.又 PA AB A,所以AD 平面PAB.(n)证明：由题设， BCAD,所以 PCB (或其补角)是异面直线 PC与AD所成的 角.在PAB中，由余弦定理得PB . PA2 AB2 2PA AB cosPAB 7由(I)知AD 平面PAB , PB 平面所以AD PB ,因而BC一 一PB角形，故tanPCB BC所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan-7 2PAB,PBC是直角三(m)解：

11、过点i 因为AD 平面 因而PH 平面 BD PE ,从而 由题设可得，P做PH AB于H,过点 PAB, PH 平面 PAB,H做HE所以ADBD于E,连结PEPH.又 AD AB A,PHPABHABHEADBD于是再RT所以二面角ABCD,故HE为PE再平面PEH是二面角P BDABCD内的射影.由三垂线定理可知, A的平面角。sin 60AHBH3,AH PA cos60222,BD AB2 AD24.13PHE 中，tanPEH,394P BDA的大小为arctan1,13,(20)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解

12、决问题的能力.满分12分.a(I)解：f (x) 1 2,由导数的几何意义得xf(2) 3,于由切点P(2, f(2)在直线y 3x 1上可得 2所以函数f(x)的解析式为f (x) xxa(n)解：f (x) 1.x当a 0时，显然f (x) 0(x 0) .这时f(x)在(,0),(0,)上内是增函数.当a 0时，令f (x) 0 ,解得xVa .当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:x ( , a .af (x)十0f (x)/极大值(.a。(0, )-.a0极小值所以f(x)在(石)，(ja,)内是增函数，在(ja。，(0,)内是减函数.(出)解：由(n)知,，1，-f

13、(x)在1,1上的最大值为一1、，一f (-)与f(i)的较大者，对于任意的41 一一一a ,2,不等式 f (x)2110在11上恒成立，当且仅当 4,1f(7)10,即 b3944af(1) 10 b 9 a，一一J对任意的a ,2成立. 2从而得b 7,所以满足条件的b的取值范围是(,7.44(21)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能 力.满分14分.22a 0,b 0).由题设得(D解：设双曲线 C的方程为与与 1 a ba2 b29b后，解得a 2b24-、土,所以双

14、曲线方程为5(n)解：设直线l的方程为y kx m ( k0) .点M (Xi, yi) , N %, y)的坐标满足方将式代入式，得22x (kx m)452此万程有两个一等实根， 于是5 4k 0 ,且一 222 一 一.(8km) 4(5 4k )(4 m 20) 0 .整y kx m程组x2v2y- 1452、221 ,整理得(5 4k )x 8kmx 4m 20 0.理得 m2 5 4k2 0 .由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0, y0)满足x1 x24km% 2，25 4k2从而线段MN的垂直平分线方程为y5m5 4k25m5 4k2此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(

15、；(x9km4km、5 4k2,0)，9m 、(0-)由题设可得1 , 9km - 9m 81-|21 |21 一 .整理得 m2 5 4k2 5 4k22(5 k|k|0., (5 4k2)2将上式代入式得(5)5|k|4k2一 .一20 ,整理得(4 k25)(4k |k| 5)解得0 |k| 一或|k|所以k的取值范围是(5,4)U(.5. 551"，0)U(0，15)U(?).(22)本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前 n项和公式、等比数列的概念、等比 中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想 方法.满分14分2(I)斛：由题设

16、有a1a24a10 ,a11,解得a23.由题设又有4a2bzb,bi4 ,解得b29 .rH少(n)解法一：由题设 nSn i (n 3)Sn 0, a i,可得 a36, b316, a410,b425,猜想 an吗),bn(n 1)2, n Nn(n 1) K1*先证 an , n N.2当n 1时，21 (1 0 ,等式成立.当n 2时用数学归纳法证明如下：2,2 (2 1)一，、(1当n 2时，a2 ()，等式成立.2假设n k时等式成立，即ak 吟2, k 2.由题设，kSk 1 (k 3)Sk(k 1)Sk (k 2)Sk1的两边分别减去的两边，整理得k 2ak 1- akkk

17、2 k(k 1)kak 1 (k 2)ak,从而(k 1)(k 1) 1 .2这就是说，当n k 1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式an n(n 1)对任何 2n(n 1)2的n 2成立.综上所述，等式 ann(n 1)对任彳s的n N*都成立an2再用数学归纳法证明 bn (n 1)2, n N* .(1)当n 1时，B (1 1)2,等式成立. 假设当n k时等式成立，即bk (k 1)2,那么bk 14ak 122_ 2(k 1) (k 2)(k 1)2(k 1) 112.这就是说，当n k 1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式bn (n 1)2对任何的 n N都成立.

18、解法二：由题设nSn 1 (n 3)Sn(n 1)Sn(n 2)Sm的两边分别减去的两边，整理得nan i(n 2)an , n 2.所以3a45a3，(n 1闻(n 1注1，n 3.将以上各式左右两端分别相乘，得 (n 1)!an 9a2,6n(n 1) n(n 1)-由(i)并化间得 an -a2 , n 3 .62止式对n 1,2也成立.22.2bb*由题设有 bn 1bn 4an 1 ,所以 b h (n 2) (n 1),即 n- 1, n N . (n 1) (n 2)令 Xnbn2-,贝UXnXn11 ,即Xn1 工.由X11 得 Xn 1 , n 1 .所以一bn21 ,(n 1)2Xn(n 1)2即 bn (n 1)2 , n 1., 一、一, _ _ _ _ _ _ *解法：由题设有 nSn 1 (n 3)Sn , n N ,所以S2 4S1,2S3 5s2 ,(n 1)Sn (n 2)Sn-n 2.将以上各式左右两端分别相乘，得n(n 1)(n 2)1 2 L (n 1)Sn 4 5 L (n 2)§ ,化简得S n(n 1)(n 2)Siq2 3由(I),上式对n 1,2也成立.所以anSnSn1n(n 1)2，2.上式对n 1时也