中考复习专题——圆切线证明

1、知识考点:中考复习专题圆的切线的判定与性质-1 -1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用 以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：一、若直线1过00上某一点A,证明1是。的切线，只需连0A,证明0AL1就行了，简称“连半径, 证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与00相切.例2如图，AD是NBAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA

2、=PD.求证：PA与00相切.例3如图，AB=AC, AB是。0的直径，。交BC于D, DM_LAC于MA求证：DM与00相切.-5 -例4如图，已知：AB是。0的直径，点C在。0上，且NCAB=30, BD=OB, D在AB的延长线上.求证：DC是。0的切线例5如图，AB是。0的直径，CDLAB,且0AW)D 0P.求证：PC是00的切线.例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE与4CFG的外接圆相切.二、若直线1与。0没有已知的公共点，又要证明1是。的切线，只需作OAJLL A为垂足，证明0A是。的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7如图

3、，AB=AC, D为BC中点，OD与AB切于E点.求证：AC与。D相切.例8已知：如图，AC, BD与切于A、B,且ACBD,若NCOD=90.求证：CD是。的切线.习题练习例1如图，AB是00的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且0C=0D,求证：AC=BD.求证:AC=CD.例2已知：如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。0与BC交于点D,与AC交于点E,求证：ZkDEC为等腰三角形.例3如图，AB是。的直径，弦AC与AB成30角，CD与。0切于C,交AB的延长线于D,-7 -例4如图20-12, BC为。0的直径，AD1BC,垂足为D, AB = AF , BF和AD交于E,

4、求证:AE=BE.例5如图，AB是如0的直径,以OA为直径的。0,与。0二的弦相交于D, DE0C,垂足为E.(1)求证：AD=DC. (2)求证：DE是。(X的切线.例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C, ZA=28 .(1)求NACM的度数,(2)在MN上是否存在一点D,使ABCD=ACBC,说明理由.例 7 如图，在 RtZkABC 中，ZC=90 , AC=5, BC=12, 00 的半径为 3(1)若圆心0与C重合时，。与AB有怎样的位置关系(2)若点0沿CA移动，当0C等于多少时，与AB相切19.如图，RtzABC内接于。0, AC=BC, NBAC的平分线AD与。

5、0交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC 的延长线交于点F,连结CD, G是CD的中点，连结0G. (1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明： (2)求证：AE=BF： (3)若OGDE = 3Q-0),求。的面积。12、如图，割线ABC与。0相交于B、C两点，D为。上一点，E为8c的中点，0E交BC于F, DE交AC 于 G, ZADG=ZAGDo(1)求证：AD是。的切线；(2)如果 AB=2, AD = 4, EG=2,求。0 的半径。13、如图，在AiABC中,NABC=90,。是 AB 上一点,以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D, AD=2, AE

6、=1,求名比“。1如图，等腰三角形月5。中，AC=BC=10.AB=12.以5。为直径作。交于点，交月。于点G, DEL AC,垂足为尸，交的延长线于点瓦口求证：直线出是。的切线；求的值。2如图，AB是。0的直径，AC是弦，NBAC的平分线AD交。0于点D, DE1AC,交AC的延长线于点E, 0E交sr 3AFAD于点F.求证：DE是。0的切线：若上=二，求七的值。AB 5DF-9 -A3如图，Rt ABC中，NA3C = 90,以A8为直径作。交AC边于点。，E是边BC的中点，连接OE.(1)求证：直线。上是。的切线;(2)连接OC交。上于点/，若OF = CF ,求tanZACO的值.4

7、.如图，点0在NAPB的平分线上，。与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与。0相切：(2) P0的延长线与。0交于点E.若。0的半径为3, PC=4.求弦CE的长.已知：如图，在RtZXABC中，NC = 90 ,点。在A8上，以。为圆心，。4长为半径的圆与AC, A3分别交于点。，E,且NC8E = NA.(1)判断直线8。与的位置关系，并证明你的结论：c(2)若A):47 = 8:5, BC = 2,求3。的长.解：如图18,四边形A38内接于8。是。的直径，AECD,垂足为E, DA平分 4DE. (1)求证：AE是0。的切线；(2)若NO8c = 30, DE = 1cm,求3。的长

8、.力 如图所示，A3C是直角三角形，ZABC = 90 ,以A8为直径的。交AC于点E，点。是8C边的中点，连结。石.A(1)求证：DE与。相切：（2）若0。的半径为、6，DE = 3,求力E.如图，AB是。的直径，ZBAC=30 , M是0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E, 直线CF交EN于点F,且NECF=NE.（1）证明CF是。的切线：（2）设00的半径为1,且AC=CE,求M0的长.【例1】如图，AC为。0的直径，B是。外一点，AB交。于E点，过E点作。的切线，交BC于D 点，DE=DC,作EF_LAC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是。0的切线：（2

9、） EM=FM./B证明:例1图【例2】如图，ZiABC中，AB=AC,。是BC的中点，以0为圆心的圆与AB相切于 点D。求证：AC是。的切线。【例3】如图，已知AB是。的直径，BC为。的切线，切点为B, 0C平行于弦AD, 0A= r o(1)求证：CD是。的切线；(2)求A)OC的值；9(3)若 AD+0C=-r,求 CD 的长。2探索与创新:【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为0, CG切半圆于E,交AD于F,交BA的延长线于G, GA=8c(1)求NG的余弦值：(2)求AE的长。【问题二】如图，己知ABC中，AC=BC, ZCAB=a (定值)，O

10、 0的圆心0在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q.(1)求NP0Q：(2)设D是CA延长线上的一个动点，DE与。0相切于点M,点E问题二图-11 -在CB的延长线上，试判断/DOE的大小是否保持不变，并说明理由。圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型1、己知:点E.(1)如图，在矩形A3CO中，点。在对角线8。上，以的长为半径的。与A0, 点尸，且 N ABE=/ DBC.F判断直线与。的位置关系，并证明你的结论：.若sinNA8E = J, 8 = 2,求。的半径.32、已知：如图，。的半径3垂直弦月6于点乂连接加;长线于点，延长8交花于点色(1)求证：勿为。的切线；(2)若磨=

11、5, AB=8,求0r的长.3、如图，M8C是等腰三角形，A3 = AC,以AC为 直径的。与8c交于点Q, DEABt垂足为E, 上。的延长线与AC的延长线交于点F.(1)求证：是。的切线；过点月作弦月瓦7SC过点。作缈胡交民延(2)若。的半径为2, BE=1,求cosA的值.-25 -4、已知：如图，A8是。的直径，BC切0O于B,A。交。于p,。为8c边的中点，连结。P.(1)。尸是。的切线；BDC(2)若cosA = 3,。的半径为5,求0 P的长.B5、如图，在中，AB = AC 9 AE是角平分线，BM点G,交AB于点F,尸8恰为。的直径.(1)求证：AE与0相切;平分NA3C交A

12、E于点M,经过8 M两点的。交8C于BC = 4, cosC =-(2)当3时，求。的半径.6、如图，AB是。的直径，ABAC = 30 M是0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且NECF = NE.(1)证明CF是。的切线(2)设。0的半径为1.且AC=CE,求M0的长.7、如图，已知也为。的直径。切。于点G过点作应，被垂足为石底交月。于点五 求证：4DFC是等腰三角形.8、在此码 中，N尺90 ,点从C分别在皿FDE 以四为直径的半圆。过点。，联结月。，将月回C沿月。翻折得AEC,且点E恰好落在直径AB上.1)判断：直线必与半圆由勺位置关系

13、是:并证明你的结论.(2)若g盼2,求闵的长.9、已知：如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别交BC、AC于点D、E,联结EB交0D于点F.(1)求证:0D1BE；(2)若DE二布，AB二5,求AE的长.10、如图所示，四是。的直径，ODL弦5c于点、尸,且交。于点后苯/AEO/ODB.(1)判断直线劭和。0的位置关系，并给出证明: (2)当阴10, 6G8时，求劭的长.11、己知：月5是。的弦，0aL也于.”交。于点交相的延长线于C(1)求证：AD=DC(2)过，作。的切线交SC于月 若龙=2, CE=1, 求。0的半径.12、如图，A8为。的直径，AO平分N8AC交。于点。

14、, OE_LAC交AC的延长线于点E, BF_LAB交AD的延长 线于点F,(1)求证：OE是。的切线；(2)若。石= 3,0。的半径为5,求3月的长.13、如图，等腰三角形胸中，AC=BC=6,垂足为区交3的延长线于点反(1)求证：直线周是。的切线;(2)求s立/的值.14、如图，A8为半圆。的直径，点C在半圆。上，过点。作8c的平行线交AC于点E，交过点A的直 线于点且NO = NA4C.(1)求证：AO是半圆。的切线；(2)若5C=2, CE = 2 ,求AO的长.15.已知：如图，在AABC中，AB=BC, D是AC中点，BE平分NABD交AC于点E,点。是AB上一点，。过B、E两点，

15、交BD于点G,交AB于点F.(1)求证：AC与。0相切：(2)当BD=2, sinC二,时，求。0的半径. 216、如图，AB是。0的直径，点C在。0上，M是R的中点，0弘交。的切线BP于点P.(1)判断直线PC和。0的位置关系， 并证明你的结论.(2)若 sinNBAC=,。的半径为 2, 求线段PC的长.17、如图，在。中，也是直径，血?是弦，NADE=60 , ZC = 30 .(1)判断直线是否为。的切线，并说明理由:(2)若=,求6。的长.18、己知，如图，直线必.交。0于儿方两点，月C是直径, 助平分Z C4Y交。0于，过。作DEL蛆.千E.(1)求证：应是。的切线；(2)若DE

16、= 6cm, A = 3cm,求。的半径.19、已知：如图，A3为。O的直径，弦AC7/O。，30切。O于3,联结 8.(1)判断CO是否为。的切线，若是请证明：若不是请说明理由.(2)若 AC = 2,。= 6,求。的半径.20、如图，。的直径心* C、，为圆周上两点，且四边形即是菱形，过点的直线4月。，交物、BC 的延长线于点E F.(1)求证：才是。的切线；(2)求应的长.21、已知：在00中，AB是直径，AC是弦，0EAC 于点E,过点C作直线FC,使NFCA=NA0E,交 AB的延长线于点D.(1)求证：FD是。的切线：(2)设0C与BE相交于点G,若0G=2,求。0 半径的长：(3

17、)在(2)的条件下，当0E=3时，求图中阴影 部分的面积.22、已知：如图，点A是。上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点3, OC = 8C, AC = -OB.2(1)求证：A8是。的切线；(2)若NAC) = 45。，OC = 2,求弦CO的长.23、如图，点。是。直径。的延长线上一点，点5在。上，且月月正月。(1)求证：劭是。的切线：(2)若点片是劣弧万。上一点，弦月汇与60相交2于点尸，且 步=9, cos/BFA=，求4的长.324、如图，已知相为。的弦，。为。上一点，NGN用切，且EDLAB于B.(1)求证：也是。的切线：(2)若O。的半径为3,胫4,求也?的长.25、己知

18、：如图，月6是。0的直径，E是相延长线上的一点，。是。上的一点，且月，平分及EDVAF交月尸的延长线于点C(1)判断直线团与。的位置关系，并证明你的结论:(2)若肝：5： 3,916,求。0的直径 四的长.26、己知：如图，在嫉中，AB = AC,点，是边5。的中点.以物为直径作圆0,交边也于点凡联结 产G交助于点瓦(1)求证：曲是圆。的切线：(第26题)(2)若尸。是圆。的切线，BC = 8.求应的长.27、已知：如图，在板中，ZACB = 90 N板的平分线勿交力。于点。，DEIDB交AB于BZV0点七过B、D、E三点作。(1)求证:月。是。的切线；(2)设。交EC于点尸，连结切 若 9,

19、 CA=12.求生的值.AC28、在中，NC=90, 旌：9, CA=12,的平分线 加交月。于点，,班士仍交也于点。是建的外接圆，交BC于点F(1)求证:片。是。的切线；(2)联结4,求变的值AC14、如图，AB是半圆(圆心为0)的直径，0D是半径，BM切半圆于B, 0C与弦AD平行且交成于如 (1)求证：CD是半圆的切线；第14题图(2)若AB长为4,点D在半圆上运动，设AD长为X,点A到直线CD的距离为y ,试求出y与工之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。15、如图，AB是。0的直径，点C在。0的半径A0上运动，PC_LAB交。0于E, PT切。0于T, PCO(1)当CE正好

20、是。的半径时，PT=2,求。0的半径：(2)设PT? = y, AC = x,求出y与戈之间的函数关系式：(3) APTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形若能，请求出APTC的面积：若不能，请说明理 由。20.如图，在ZU8C中.AB=4C,以为直径的0。分 别交AC、BC于点0、,点尸在AC的延长续上，R. Z. C/?F =乙 CA/?.乙(1)求证:直线是。的切线;(2)若八8 = 5,乙C8F =亨，求RC和/苏的R.20.已知：如图，在ZUBC中，。是X3边上一点，圆。过。、3、C三点，p ZDOC=2Z4CD=90o (1)求证：直线X。是圆。的切线；言(2)如果4cB=75

21、。,圆。的半径为2,求助 的长。“20.已知：如时在AAC中，AA7CHE是向平分线，2W平分 /RC交A E于点M经过RM两点的。支HC于点G,交AR 于点FF5恰为QO的直轮.(1)求证：HE与0。相切:2当取7=4,cosG；时，求的半径.19 .(本小题满分5分)已知：如图，在RgABC中，ZC=90 点。在人也匕以。为圆心，QA K为 半径的阅与八C、八B分别交于点。、E,且NC3=NA(I)判断宜线BD与0。的位置关系，并证明你的结论；C(2)若 JZ) ： AO -S ： 5 RC=2,求月D 的 |J/ 20 .己知：月6是。0的弦，OD工AB于M交O0于点、D,交相的延长线于

22、C(1)求证：AD=DC(2)过，作。的切线交5C于瓦 茶DE=2, 公1,求。0的半径.21 .如图,足O0的直径CX延长线上一点，点H在00上，且48=40=4。.(1)求证：8。是。的切线；,(2)并E是劣弧BC上一点,4与B。相交于点F、 REF的面积为8 ,且cos乙BF4 =亨，.(求的面枳.20 .如图，八月为。0的直径，人氏4.点C在。上，CF1OC,且=.(1)证明8尸是。O的切线;(2)改AC与/?/的延K线交于点M,若MG6,求NMCF的大小.-27-(20题图)21 .已知；m.QO的半役。垂直弦AE于点H连按4C,过点4作弦过点e作CJJ/RA交兄A延K线于点D,延氏

23、co交4于点(1)求证;CD为。的切栽i(2)若比二5,M二&.求OF的长.20.在此ZkAFD中，N后90 ,点5,图别在必FD上,以至为直径的半圆。过点。，联结月C,将肝。沿月稣9折得AEC，且点E恰好落在直径AB上.(1)判断：直线先与半圆勺位置关系是(2)若屿盼2,求田I勺长.)20.如图所示，月6是。的直径，ODL弦EC于点、F,且交。于点用 率NAEU/ODB.(1)判断直线班和的位置关系，并给出证明；(2)当止10, 6信8时，求班的长.20.已知：如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别交BC、AC于点D、E, 联结EB交0D于点F.(1)求证：0DXBE：(2)

24、若 DE=，AB=5,求 AE 的长.20.如图，AB是。的直径，ABAC = 30, M是0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线 于点E,直线CF交EN于点F,且/ECF = NE.(1)证明CF是。O的切线卜(2)设。0的半径为L且AC=CE,求M0的长.20.如图，在ZU8C中.AB = /IC,以.4为直径的0。分别交才C、8c于点点F在，。的延长线I，, II(1)求证:直线是0。的切线;(2)若八8二5, sin乙C8F =甘，求BC和/汴的长.20.已知：如图，在ZUBC中，。是13边上一点，圆。过。、3、C三点，。 ZDOC=2Z4CD=90o (1)求证：直统HC是圆。的切线；。(2)如果4c8=75。,圆。的半径为2,求8。的长。“20,已知，如图，在AAC中一*是向平分线，AW平分 /八交A E于点M,经过RM两点的。交8c于点、G戈AB 于点FFB怡为。O的百径.(1)求证：AE与。相切:(2当AC=40C=：时,求。的半径.19 .(本小题满分5分)已知：如图，在nA8C中，ZC=9O，点。在人厅上，以。为附心，CM K为 半径的四与AC、AB分别交于点。、E，且NC步巨乙L(I)到惭直线月。与。的位