2020届江西省高三上学期第二次大联考数学(理)试题(解析版)

1、2020届江西省高三上学期第二次大联考数学（理）试题、单选题21,已知集合 A x|x 2x 15 0 , Bx | x 2n 1, n N，则 AIA.1,1,3B.1,1C.5, 3, 1,1,3D.3, 1,1【答案】A【解析】化简集合A,按照交集定义，即可求解.【详解】因为 A x| 5< x< 3 , B x|x 2n 1,n N ,所以 A B 1,1,3 .故选；A.【点睛】本题考查集合的运算，要注意集合元素表示的意义，属于基础题2,若复数z满足(2 3i)z 13i ,则z ()A. 3 2iB. 3 2iC.3 2iD. 3【答案】B13i 【解析】由题意得,z

2、3,求解即可.2 3i【详解】2i因为（23i)z 13i,所以 z13i2 3i13i(2 3i)26i 39 3 2i(2 3i)(2 3i)4 9,第3页共20页故选:B.【点睛】 本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题,1c3.已知函数f x，则f 2log2一,x 0 xf x 4 ,x 0A. -1B. 0【答案】AC. 1D. 2【解析】 根据解析式特征，将自变量2转化为2,即可得出结论【详解】1由题息可得f 2 f 210g 21.2故选:A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，理解解析式是解题的关键，属于基础题r4.若ar r2 ,则a b的取值范围是（A. 1,

3、9B. 1,9【答案】Cr r , 一, 【解析】设向量a , b的夹角为利用cos有界性，即可求解.【详解】r r设向重a，b的夹角为，因为v v 2 v2 v v v2a b a2a b b5v v氏vT则 a b Jab 1,3 .C. 1,3,由向量数量积运算律将r ra 1, b 2,4cos 1,9 ，D. 1,3r r 2 一、a b表本为cos 关系式,故选:C.本题考查向量模长取值范围，考查向量的数量积运算，属于基础题5.在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣，放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半，

4、羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?( )25 50 100A . 一, 一, 7 77【答案】D25 25 50B. ，14 7 7100 200 40050 100 200C. 一, D.，,777777设羊户赔粮a1升，马户赔粮a2升，牛户赔粮a3升，易知a1,a2, a3成等比数列，q 2,a1 a2 a3 50 ,结合等比数列

5、的性质可求出答案【详解】设羊户赔粮ai升，马户赔粮a2升，牛户赔粮a3升,则aha2,a3成等比数列，且公比q 2,a a2 a3 50,则 a1(150,故5050a1 2 , a21 2 27故选：D.2a1100, a3722 ai2007本题考查数列与数学文化，考查了等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.6 .已知函数f(x) Asin( x )的部分图象如图所示，则f (九)A . 一3B. 一3f (劝一 “一一 一，,一 一 一，上冗结合图象，可求出T,的值，由f 一21,可求得Asin3的值再由Asin可求出答案.由图象知，T44,即T2冗pi/，则2，从而f

6、(x) Asin( 2x ).因为fAsin(71、1 ,)，所以Asin3f (n)Asin( 2 汽Asin故选：B.第7页共20页【点睛】本题考查三角函数求值，考查三角函数的图象性质的应用，考查学生的推理能力与运算求解能力，属于中档题.7 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 16 石学 B. 16由 4?D. 166也【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱，分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱，则上半部分的半个圆锥的体积 V

7、1 114712v3 43t，下半部分的正2 33三棱柱的体积V2 1 4 2 3 4 16、3,故该几何体的体积2V M V2 t32t 16.3.3故选：D.【点睛】本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.8 .已知f x是定义在R上的偶函数，且在 ,0上是增函数.设a f log80.2 ,1.1b f 10go.34 , c f 2 ，则a , b, c的大小关系是（）A.cbaB.abcC.acbD.cab【解析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比 较出log8 0.2、log0.3 4、21的大小关系从而比

8、较函数值的大小关系由题意可知f x在因为 2 log03 9,0上是增函数，在(0,+?)上是减函数.1.10,10g 0.3 4 10g 0.3 1 ,31 log 3 0.125 10g8 0.2 10g 81 0, 21.1 2,所以 log80.21og0.3 4 21.1 ,故 c b a.故选：A【点睛】本题考查函数的性质， 利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题 .9.给出下列三个命题： “xO R,x2 2x0 1 0”的否定；在VABC中，“B 30 ”是CosB 立”的充要条件；2一一一_.一. 一一. 一 一.冗.一将函数

9、y 2cos2x的图象向左平移 一个单位长度，得到函数y 2cos 2x 一 的图 66象.其中假命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】结合不等式、三角函数的性质，对三个命题逐个分析并判断其真假，即可选出答案.【详解】2对于命题，因为x022x01x010,所以“x°R,Xo2Xo1 0”是真命题，故其否定是假命题，即是假命题；B 180，由余弦函数的单调性可对于命题，充分性：VABC中，若B 30，则30知，cos180cosB cos30，即 1cosB近,即可得到cosB2-32，即充分性成立必耍性：VABC中,0 B 180，若cosB B，结合余

10、弦函数的单调性可2知，cos180 cosB cos30，即30B 180，可得到B 30 ,即必要性成立.故命题正确；对于命题,将函数y 2cos2x的图象向左平移 个单位长度，可得到 6TTTT 一,一一,y 2cos 2 x 2cos 2x 的图象，即命题 是假命题.63故假命题有.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断，考查了余弦函数单调性的应用，考查了三角函数图象的平移 变换,考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.10.已知函数 f(x) 2cos x (30)在的取值范3,2B.C.|,1D. (0,2第13页共20页【解析】由x S,可得323兀 兀 兀 .x ,结合y c0s

11、x在兀0上3 23、.一 一 71717t 兀 _.一单调递增，易得一一，一一砥0,即可求出的范围.33 23【详解】, 冗冗冗 冗71717t由一x 一,可得一 一 x -,32333 23x 0 时，f(0) 2cos ，而 0-,-,33 2.一.一一 兀一 一又y cosx在兀,0上单调递增，且-耳0,冗 冗冗力332所以二明，则,0,即工,故02.3323233300故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了学生的逻辑推理能力 ，属于基础题.11 .在平面五边形 ABCDE 中， A 60 , AB AE 6 J3, BC CD, DE CD, 且BC DE 6 .将

12、五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面 ABE与平面BCDE所成的二面角为120 ,则沿对角线BE折起后所得几何体的外接球的表面积为（）A. 84763B. 84C. 252D. 126【答案】C【解析】先确定球心位置，球心为过ABE的中心。1且垂直于平面 ABE的直线，与过矩形BCDE的中心。2且垂直于平面BCDE的直线的交点，由已知通过解直角三角形，求出外接球的半径，即可求解 .【详解】设 ABE的中心为。1 ,矩形BCDE的中心为。2 ,过。1作垂直于平面 ABE的直线11 ,过O2作垂直于平面 BCDE的直线12,则由球的性质可知，直线 11与12的交点O,即几何体 ABCDE外接球

13、的球心.取BE的中点F ,连接O1F , O2F ,由条件得O1F O2F 3,QFO2 120 .连接 OF ,因为 OFO1 OFO2,从而OO1 3由.连接OA,则OA为所得几何体外接球的半径.222又 QA 6,则 OA2 OO12 01A2 27 36 63,故所得几何体外接球的表面积等于252 .故选:C.【点睛】4Bgl2本题考查几何体的外接球的表面积，应用球的几何性质确定球心是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题12.已知函数f(x)mxmeln x ,当 x 0时,f(x) 0恒成立，则m的取值范围为【解析】分析可得况即可,f (x)g(x) xex(xB.1 一,eeC

14、.1,)D.(,e)0显然memxmxme ln xln xmxmxe0,1上恒成立，只需讨论xelnxln x,然后构造函数0)，结合g(x)的单调性，不等式等价于 mxln x,进而求得m1时的情的取值范围即可.由题意，若m0，显然f (x)不是恒大于零，故m 0.m 0,则memx ln x 0在0,1上恒成立；当x 1时，f(x) 0等价于memx因为 x 1,所以 mxemx e1nx lnx.设 g(x) xex(x0),由 g (x) ex(1 x),显然 g(x)在(0,)上单调递增，因为 mx 0,ln x0，所以 mxemxelnxlnx 等价于 g(mx)g(ln x),

15、即 mxln x,则ln xm x设 h(x)ln x(x x一 ,10),则 h(x) -ln x , (x 0). x令 h (x)0,解得x e易得h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，11从而 h(x)max h(e),故m -.ee故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，利用函数单调性是解决本题的关键，考查了学生的推理能 力，属于基础题.二、填空题3x y 2 013.若实数x, y满足约束条件 x y 2 0 ,则z x 2y的最大值为 .x 4y 4 0【答案】3【解析】 作出可行域，可得当直线z x 2y经过点A(1,1)时,z取得最大值，求解即可.【详解

16、】，八 e, 3x y 20作出可行域(如下图阴影部分)，联立 7，可求得点A 1,1 ,x y 2 0当直线z x 2y经过点A(1,1)时，Zmax12 13.故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，属于基础题.214,若函数f(x) x2 -aJ 为奇函数，则a2x 1【答案】-2【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数，可知对任意的x,f( x) f(x)都成立，代入函数式可求得a的值.【详解】2由题意，f(x)的定义域为R,f(x) x2口 x2 1 Fa-2x 12x 1f(x)是奇函数，则f( x) f(x)，即对任意的2 a ,x,x 1 都成立,2x 1

17、aa故1 E 1厂7 ,整理得a 2 0，解得a 2.故答案为：2.【点睛】本题考查奇函数性质的应用考查学生的计算求解能力，属于基础题.Sn3n 5 15 .记等差数列 an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,若二 二，则Tnn 7【解析】根据题意设Snkn 3n 5 , Tnkn n 7 ,利用等差数列的性质(若STm n p q则am an ap aq）可得a5 , by 3,从而求得比值 913【详解】Sn3n5因为-,所以可设STnn7'kn 3n 5 , Tn kn n 7 ,QS9 a1 a2 LQ§3 b1 b2 La9 9a5,a5 19 32k,一Ta58bi

18、313a7, b7320k,故丁-.13b758故答案为：85本题考查等差数列的性质，属于基础题.2216 已知函数f x x 4 x ax b 的图象关于x 1 对称，记函数f x 的所有极值点之和与积分别为m ， n ，则 f m n .【答案】15f0 f2【解析】 根据f(x)图象关于x 1对称必要条件，有，求出a,b,并f 2 f4验证函数关于x 1 对称，求出f (x) ，进而求出极值点，即可得出结论.f x 的图象关于x1 对称，所以f0 f2f 2 f40 4b 0即16 4 16 4a ba，解得0b22所以 f x x 4 x 4x ，此时 f 2 x22(2 x)2 4)

19、(2 x)2 4(2 x)22(x 4x)(x4)f(x), f(x) 关于直线x 1 对称，f'x22322x(x2 4x) (x2 4)(2x 4) 4x3 12x2 8x 164(x3x2)2(x2x2)4 x1 x22x 4令 f ' x0 ，得 x1 或x22x 4 0 ，从而 m 1 2 3， n 144，故 f m n f 13 515.故答案为: 15 .【点睛】本题考查函数的对称性求参数，要注意必要条件应用，减少计算量，但要验证，考查函数的极值，以及根与系数的关系的运用，属于中档题三、解答题17.在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且a

20、b c sin A sin B sinC csinC 2asin B.(1)求C的取值范围;(2)若cosC 通，求£的值. 3 a【答案】(1)0,-3；(2)二6或.23-第21页共20页【解析】(1)由正弦定理将条件等式中的角化为边，再由余弦定理和基本不等式，求出cosC的范围，即可得出结论;b用a,c表示，由已知结合余弦(2)根据所求为c,a比值，利用(1)中边的关系，将定理，得到a,c齐次关系式，即可求解【详解】csinC 2asinB,(1)因为 a b c sin A sin B sin C所以 a b c a b c c2 2ab,整理得 a2 b2 2c2,即 c2

21、 a2 b2.222.22由余弦定理可得 cosC a一b,2abcosC-b222abab 1 ,2ab 2一冗因为0 c ，所以C的取值范围为 0,-3(2)由(1)可得 b2 2c2 a2,即 b J2c2 a2 ,贝U cosC2,22a b c2ab2c 2a 2c2 a2、3整理得 3c4 8a2c2 4a4,即 3c2 2a2 c2 2a2 0,a 3 a2因为b2 2c2 a20,所以2a则c的值为26或.2.a 3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意基本不等式在解题的运用，属于中档题.18.已知首项为4的数列an满足an1n 12nan 2n 1na （

22、1）证明：数列 T 是等差数列.2n(2)令 bnlog 2 an ,求数列bn的前n项和Sn .【答案】（1）见解析；（2）Sn 10g2 n 1【解析】（1）根据等差数列的定义，将已知递推公式整理为nanFn的结构形式，即可2n得证;(2)由(1)求出数列斗的通项公式，进而求出bn的通项公式，并根据其通项特征，即可求出前n项和.（1）证明：因为an 1n 12nan 2,所以 nn 11 an 1n 12nan 2,所以n 1 an 12n 1nan2nn 1 an 12n 1nan 2n1.因为a14,所以 2.2故数列na_件是首项为2,公差为2n的等差数列.na（2）解：由（1）可知

23、一an 2则an2n.因为bn 10g 2 an ,所以bnlog 22nSnb1b2 b3bn10g 2 °,-n , n 1log 2 2 log 2 n ,n1og2 2 1log 2 "2 2log 21og2 2 10g 2n 110g2nn n 1log 2 n 1-.【点睛】本题考查用定义证明等差数列，以及求数列的前n项和，合理利用辅助数列是解题的关键，属于中档题.19.如图，底面ABCD是等腰梯形，AD /BC, AD 2AB 2BC 4 ,点E为AD的中点，以BE为边作正方形BEFG ,且平面BEFG 平面ABCD.(1)证明：平面 ACF 平面BEFG

24、.(2)求二面角A BF D的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)4.70 sin 35【解析】(1)先证明四边形ABCE是菱形，进而可知AC BE,然后可得到 AC平面BEFG,即可证明平面ACF平面BEFG ;(2)记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以。为坐标原点，以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz,分别求出平面 ABFir rur r和DBF的法向量m,n,然后由cos m, nir rm nr，可求出二面角 A BF D的余弦值， |m|n|进而可求出二面角的正弦值(1)证明：因为点E为AD的中点，AD2BC，所以 AE

25、BC ,因为AD/BC,所以AE/BC ,所以四边形ABCD是平行四边形，因为AB BC，所以平行四边形 ABCE是菱形，所以AC BE,因为平面BEFG 平面ABCD,且平面BEFG 平面ABCD BE ,所以AC 平面 BEFG .因为AC 平面ACF，所以平面ACF 平面BEFG .(2)记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知 AC,BE,OP两两垂直，故以O为坐标原点，以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.因为底面ABCD是等腰梯形，AD/BC,AD2AB 2BC 4,所以四边形 ABCE是菱形，且 BAD 60 ,所

26、以 A(0, 33,0), B(1,0,0), E( 1,0,0), D(2,3,0), F( 1,0,2),LUT UUT 则 AB (1, 3,0), BFLUIT(2,0, 2), BD3, J3,0），设平面ABF的法向量为ITmXi,yz ,vmvmLUv AB uuu BFx1. 3y12x, 2z10，不妨取y0LT_1,则 m (瓜 1,J3),设平面DBF的法向量为X2,y2,Z2 ,LUU/ BD LUV BF3x22x23y22Z21,则 n(1,/3,1),it r 故 cos m,nITm-trr|m|n|. 7 . 5夜3514 v 703535BF D的大小为，故

27、sin记二面角a【点睛】本题考查了面面垂直的证明，考查了二面角的求法，利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法，属于中档题.20.已知函数f X.3u .a b sin x2V3b cos x ,且 f 01, f 13(1)求f x的解析式;(2)已知g x x2 2x m 3,若对任意的x10,，总存在x22,m ,使1,3得f x1g x2成立，求m的取值范围.a,b ,再由辅助角公式【答案】(1) f x 2sin x ； (2) 6【解析】(1)将已知点坐标代入 f(x),用待定系数法求出参数求出f (x);(2)求出f (x)在0,的值域，所求的问题等价为f(x)在0,

28、的值域，是g(x)在2,m值域的子集,根据二次函数图像和性质求出g(x)在2,m的最值，即可求解.(1)因为f 01, f 1,3第 25 页 共 20 页f 0 1a 3b 12f .3、3-1 1fa b a ：3b 13222 2解得a 1 , b旦.213一 cos x2 233isin x223 sin x cosx 2sin x 一6(2)因为x 0,，所以x -,66 61所以 sin x ,1 ,则 f x 1,262g x的图象的对称轴是 x 1.当 2 m 1时，g x min g m g x max g 22m12则 m m 31，解得 1 m 1，符合题意；m52 当

29、1 m 4时， g x g 1 m 4，ming x max g 2 m 5 ，1m4则 m 41 ，解得 1 m 3 ，符合题意；m52 当 m 4时， g x g 1 m 4，min2g x max g m m m 3 ，m4则 m 41 ，不等式组无解.m2 m 3 2综上， m 的取值范围是1,3 .【点睛】本题考查三角恒等变换化简函数式，考查正弦函数的性质，解题的关键是“任意 ”“ 存在的等式关系等价转化为函数值域关系，属于中档题.x21 已知函数f (x) me 2x m .( 1)当 m 1时，求曲线y f (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；( 2)若f (x) 0

30、在 (0,)上恒成立，求m 的取值范围【答案】 ( 1) y x； ( 2) 2,)【解析】(1) m 1,对函数y f(x)求导，分别求出f(0)和f(0)，即可求出f (x)在点(0, f (0) 处的切线方程;(2)对f(x)求导，分m 2、0 m 2和m 0三种情况讨论f(x)的单调性，再结合f (x) 0在 (0,)上恒成立,可求得m 的取值范围.【详解】( 1)因为 m 1,所以f(x) ex 2x 1 ,所以 f (x)ex 2 ,则f (0) 0, f (0)1，故曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y x.(2)因为 f (x) mex 2x m,所以 f

31、(x) mex 2,当m 2时，f(x) 0在(0,)上恒成立，则f(x)在(0,)上单调递增，从而f(x) f(0) 0成立，故m 2符合题意；2. -2 当0 m 2时，令f (x) 0,解得0 x ln ,即f(x)在0,ln 一 上单调递减，mm，2则f ln f (0) 0,故0 m 2不符合题意； m当m 0时，f (x) mex 2 0在(0,)上恒成立，即f (x)在(0,)上单调递减，则f(x) f(0) 0,故m 0不符合题意.综上，m的取值范围为2,).【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，利用分类讨论是解决本题的较好方法，属于中档题.222 .已知函数 f x x 5x 2lnx.(1)求f x的极值；(2)若fx f x2 f x3,且 xx2x3,证明：x3x 3._ 19【答案】(1)极大值为f 2ln2 ;f x的极小值为f 26 21n 2；24(2)见解析【解析】(1)求导求出f (x),求出单调区间，进而求出极