3.2全集与补集

1、3. 2全集与补集、题型补集的运算典例已知全集 U = x| 1 <xw 4, A= x| 1< xw 1, B= x|OvxW 3，求?uA, (?uB)n A;(2)设U = x| 5W xv 2, 或 2<xw 5, x Z , A = x|x2 2x 15= 0, B= 3,3,4，求 ?uA, ?uB.解/ U = x| 1w xw 4, A= x| 1w xw 1, B= x|0<xw 3,结合数轴(如图),uA11叭L 01 23 &可知?uA= x|1<xw 4,?uB = x|3<xw 4,或1 w xw 0. 结合数轴(如图).-

2、10 13 4 1可知(?uB)n A= x| 1w xw 0.(2)法一：在集合u中， x Z,贝U x 的值为一5, 4, 3,3,4,5,U = 5，一 4，一 3,3,4,5.又 A = x|x2 2x 15 = 0= 3,5, B= 3,3,4, .?uA= 5, 4,3,4 , ?uB= 5, 4,5. 法二：可用Venn图表示：则?uA= 5, 4,3,4 , ?uB= 5, 4,5.(1)在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集 '合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解 '答过程中注意边界

3、问题.' (2)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义 来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于 Venn图求解.活学活用已知全集 U，集合 A = 1,3,5,7,9 , ?uA = 2,4,6,8, ?uB= 1,4,6,8,9，求集合 B.解:借助 Venn，如右图所示，得 U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9, ?uB= 1,4,6,8,9,交、并、补的综合运算.B = 2,3,5,7.典例 设U = x N|xv 10, A= 1,5,7,8 , B= 3,4,5,6,9，求 A n B, AU B, (?uA) n (?uB),

4、(?uA)U (?uB).解 U= x N|xv 10 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 , A= 1,5,7,8 , B = 3,4,5,6,9, A n B= 1,5,7,8 n 3,4,5,6,9 = 5,AU B = 1,5,7,8 U 3,4,5,6,9 = 1,3,4,5,6,7,8,9.?uA= 0,2,3,4,6,9 , ?uB= 0,1,2,7,8, - (?uA)n (?uB)= 0,2,(?uA)U (?uB) = 0,1,2,3,4,6,7,8,9.(1) 解决集合的混合运算时， 一般先运算括号内的部分，如求？ u(AU B)时，先求出AU B,再求补集.(2

5、) 当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合； 当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.活学活用已知 u = R, A= x|x> 0, B= x|xW 1，贝 HA n (?uB) U B n (?uA)=()A. ?B. x|x< 0C. x|x> 1D. x|x>0,或 x< 1解析：选 D / B= x|x< 1,. ?uB= x|x> 1.又 A= x|x> 0, An (?uB)= x|x>0.又T ?uA= x|x< 0. Bn (?uA) = x|x< 1

6、.A n (?uB) U Bn (?uA) = x|x> 0,或 x< 1.3av 2a + 5,MH ?时，如图可得52a+ 5w 22典例(1)设全集 S= 1,2,3,4，且 A= x S|x 5x+ m = 0，若？ sA= 2,3，则 m=.(2)设全集 U = R , M = x|3a v xv 2a + 5, P= x| 2< x< 1，若 M ? uP,求实数a的取值范围.解(1)因为 S= 1,2,3,4, ?sA= 2,3，所以 A = 1,4，即 1,4 是方程 x2 5x+ m= 0 的 两根，由根与系数的关系可得m = 1X 4 = 4.故填4

7、.(2) ?uP= x|xv 2或 x> 1.T M ?uP,分M = ? , M工?，两种情况讨论.3a v 2a+ 5,或 aw 7，或a v 5.23 M= ?时，应有 3a> 2a + 5? a> 5.综上可知，实数a的取值范围为(一33a > 1,2o+53a 2«+5 2张(1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的'交、并、补运算时，常借助数轴求解.(2)不等式中的符号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集.活学活用1. 设 U = 0,1,2,3 , A= x U|x2 + mx= 0

8、，若?uA= 1,2，则实数 m=.解析：T ?uA = 1,2, A= 0,3, 0,3 是方程 x2 + mx= 0 的两个根， m = 3. 答案：32. 设全集 U= 1,2, x2 2, A = 1 , x，求？uA.解：若x = 2,则x2 2 = 2, U= 1,2,2，与集合中元素的互异性矛盾，故x丰2,从而x=x2 2,解得 x= 1 或 x= 2(舍去).故 U = 1,2, 1, A = 1, 1，则?uA = 2.补集思想的应用典例若集合A = x|ax2+ 3x+ 2 = 0中至多有1个元素，求实数a的取值范围.解假设集合A中含有2个元素，即ax2 + 3x+ 2 =

9、 0有两个不相等的实数根，则f az 0,qq<解得av9且az0，则此时实数a的取值范围是 aav且az0.在全集U = R_= 9 8a> 0,88中，集合,aav9且az0 的补集是aa>9或a= 0.所以满足题意的实数 a的取值范围是L 8L. 8丿舟0.补集思想的解题方法当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想其解题步骤为：(1) 否定已知条件，考虑反面问题；(2) 求解反面问题对应的参数范围；(3) 取反面问题对应的参数范围的补集.活学活用已知集合A= y|y>a2+ 1,或yv a, B = y|2< yw 4，若An Bz ?，

10、求实数a的取值范 围.解：因为 A= y|y> a2+ 1,或 yv a, B= y|2< yw 4，我们不 妨先考虑当A n B = ?时a的取值范围，如图所示.一対 肚一；rraw 2,aw 2,由*2得'la + 14,、a3 或 a w 3,故aw J3或-J3w aw 2.即A n B= ?时，a的取值范围为 aw 、3或 3w aw 2,故A n Bz ?时，a的取值范围为a|a> 2,或一3v av3.二、课后练习层级一学业水平达标1. 设集合 U= 1,2,3,4,5, A= 1,2 , B = 2,3,4，则？u(AU B)等于()A. 2B. 5C

11、. 1,2,3,4D. 1,3,4,5解析：选 B / A = 1,2 , B= 2,3,4 , a A U B= 1,2,3,4 又 U = 1,2,3,4,5 , a ?u(AU B)= 5.2. 已知集合 A= x R| 2 v xv 6, B = x R|xv 2，则 AU (?rB)=()A. x|xv 6B. x| 2 v xv 2C. x|x > 2D. x|2w xv 6解析：选 C 由 B= x R|xv 2，得?rB= x|x> 2.又 A= x R| 2v xv 6，所以 A U (?rB) = x|x> 2.3. 若 P = x|xv 1, Q= x|

12、x> 1，则()A. P? QB. Q? PC. ?rP? QD. Q? ?rP解析：选 C/ P= x|xv 1, a ?rP= x|x> 1,又 Q = x|x> 1, a ?rP? Q.4. 已知全集 U = 1,2,3,4,5,6,7 , A= 3,4,5 , B= 1,3,6，那么集合2,7是()A. AU BB. An BC . ?u(A n B)D. ?u(AU B)解析：选 D A = 3,4,5, B= 1,3,6 a AU B = 1,3,4,5,6又 U = 1,2,3,4,5,6,7 a ?u(AU B)= 2,7.5. 已知 A= x|x+ 1>

13、;0, B= 2, 1,0,1，则(?RA)n B =()A 2, 1B. -2C 1,0,1D. 0,1解析：选 A 因为 A= x|x> 1，所以？rA = x|xw 1，所以(?rA) n B = 2, 1.并集、补集符号表示图中的阴影部分.(1)；答案： ? u(AU B) (2)( ?uA) n B(:6.设全集为7. 已知全集 U = x|x> 3，集合 A= x| 3v x< 4，则？uA=.解析：借助图形可知？uA= x|x = 3或x>4.答案：x|x = 3 或 x> 48. 已知全集 U = 2,3, a2 a 1, A= 2,3，若？uA=

14、1，则实数 a的值是 解析：/ U = 2,3, a2 a 1, A = 2,3, ?uA = 1,a? a 1 = 1，即 a? a 2 = 0 , a= 1 或 a= 2.答案：1或29.已知集合 A= x| 2v xv 3, B= x|mv xv m+ 9，若(?rA)Q B= B.求实数 m范围.解：?rA= x|x< 2,或 x> 3,由(?rA) n B= B,得 B? ?rA , m+ 9< 2,或 m >3.故m的取值范围是m|m< 11 ,或 m> 3.10.已知全集 U = x|xw 4,集合 A= x| 2 v xv 3 , B= x|

15、 3< x< 2,求 A n B, ?uAU B , A n ?uB , ?u(AU B).解：如图所示./ A = x| 2 v xv 3 , B = x| 3< x< 2 , U = x|x< 4,- ?uA = x|x< 2,或 3< xW 4 , ?uB= x|xv 3,或 2v x< 4 , AU B_=x| 3W xv 3. A n B= x| 2v x< 2 , (?uA)U B= x|x< 2,或-10 1243W x< 4 , An (?uB)= x|2v xv 3 , ?u(A U B) = x|xv 3,或

16、 3W x< 4.层级二应试能力达标1 设全集 U = M U N = 1,2,3,4,5 , M n (?uN)= 2,4，则 N =()A 1,2,3B. 1,3,5C . 1,4,5D . 2,3,4解析：选B由M n (?uN) = 2,4，可得集合N中不含元素2,4,集合M中含有元素2,4,故N=1,3,5.2.已知全集U = Z,集合A = 0,1 , B= - 1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为()A. 1,2B. - 1,0C . 0,1D . 1,2解析：选A 图中阴影部分表示的集合为(?uA)n B,因为A = 0,1 ,B = - 1,0,1,2,所以(?

17、uA) n B= 1,2.3设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是() 若 An B = ?，则(？sA) U (?SB)= S; 若 AU B = S,则(?sA)n (?sB)= ?; 若 AU B = ?，则 A = B.A. 0B. 1C . 2D . 3解析：选A 如图，(?sA) U (?sB)= S,正确. 若 AU B = S,则(?sA) n (?sB)= ?s(AU B) = ?，正确. 若AU B = ?，贝U A= B= ?，正确.4.已知M , N为集合I的非空真子集，且 M , N不相等，若N n ( ?iM)= ?，则M U N等于()A . MB . NC

18、. ID. ?解析：选A 根据题意画出 Venn图，由图可知 M U N = M.5 .设全集U是实数集R, M = x|xv 2,或x > 2, N = x|1< x < 3，如图所示，则阴影部分 所表示的集合为.解析：/ M = x|x< 2,或 x> 2 , N= x|1< x< 3, M U N = x|x< 2，或 x> 1.阴影部分所表示的集合为?u(M U N)= x| 2< x< 1.答案：x| 2< x< 16 .某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱 ，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 人.解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15 x + x+ 10 x + 8= 30? x= 3,喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15 3= 12(人).