2两个计数原理(二)

1、2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第二课时）*学习目标*1 .进一步理解两个基本原理 .2 .会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题*要点精讲*1 .弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；分步计数原理中每（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事,步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事2 .元素能重复的问题往往用计数原理3 .计数过程做到既不重复，也不遗漏。*范例分析*5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传4人中互相赠送（每一个运动

2、员不能拿自己例1. （1）三人相互传球，由甲开始发球，经过球方法的种数是（A、6 B、8 C、10 D、16（2） 1, 2, 3, 4号足球运动员各有一件球衣在的球衣），则不同的赠送方法有（A. 6种B. 9种）C. 11 种评注：第（2）小题是著名的贝努利装错信封问题当了 n封不同的信和n只相应的不同的信封，D. 23 种n =4时的特例。原意是，若一个人写 问这个人把这n封信都装错了信封的装法有6多少种？问题可转化为：n个不同元素a1,a2,|,an进行排列，其中ai =1,2,|”，n ）不排第i个位置的排法种数。由容斥原理，可得相应的排法种数为:n!-Cn n-1 ! C2 k kn

3、-2 !-|ll -1 Cn - n-例2. （1）在一个正六棱锥的所有棱所在的直线中，异面直线共有多少对？（2）如下图，共有多少个不同的三角形 ？（几何问题）例3.如图一，要给，四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同涂色方法种数为()例4.用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字，(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？(4)可以组成多少个能被 3整除的数字不允许重复的三位数？(数字问题)*规律总结*1 .运用分类计数原理和分步计数原理解题要注

4、意两者的本质区别，分类计数原理要求各类 的每一种方法都能使事件独立完成，分类时应做到不重复、不遗漏；运用分步计数原理要求各步均是完成事件必不可少的彼此独立的步骤，分步时注意步与步之间的连续性2 .计数重复或遗漏的主要原因在于分类分步的标准不清，通常应检查分类是否按元素的性 质进行的，分步是否按事件发生的过程进行的.综合运用两个原理，一般是先考虑分类，然后再逐类考虑分步.分类时应设计好标准和方案，防止重复或遗漏*基础训练*一、选择题1 .某大学的信息中心 A与大学各部门、各院系 B, C, D, E, F, G, H, I之间拟建立信息联网工程，实际 测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形

5、，可 以不建部分网线，而使得信息中心A与大学各部门、各院系连通（直接或中转），则最少的建网费用是（A . 12万元B . 13万元C. 14万元D . 16万元A. 12B. 11C. 24D. 232 .从集合1 , 2, 3和1, 4, 5, 6中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确 定不同点的个数是（）.3 .甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中的一人，第二次由拿球 者再传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第四次仍传回到甲的方法共有（）A、21 种 B、24 种 C、27 种D、42 种4.1. 6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，

6、要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A. 300 种B. 240 种C. 144 种D. 96 种5 .在某市举行的 长城杯”足球比赛中，由全市的 6支中学足球队参加 上匕赛组委会规定：比 赛采取单循环赛制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分.在今年即将举行的 长城杯”足球比赛中，参加比赛的市第一中学足球队的可能的积分值有A.13 种B.14 种C.15 种D.16 种 （C ）二、填空题6 .从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有 种.FErD LJcAB7 .由0,1,2,3,4可以

7、组成没有重复数字的三位偶数的个数有 个。8 .如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A, B,C, D, E, F,如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路 不通了，那么焊接点脱落的可能性共有 种。三、解答题9 .将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异点，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数|10 .设集合A=2, 4, 6, 8, B=1 , 3, 5, 7, 9,今从A中取一个数作为十位数字，从 B中取一个数作为个位数字，问：(1)能组成多少个不同的两位数？(2)能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数?(3)能组成多少个能被 3

8、整除的两位数？*能力提高*5个开关共有25种可能.在这2511 .已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此 种可能中，电路从 P到Q接通的情况有()12A.30 种B.10 种C. 16 种D. 24 种12 .用数字0, 1, 2, 3, 4组成无重复数字的四位数(1)有多少个四位偶数？(2)若按从小到大排列，3204是第几个数？2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理(第二课时)*参考答案*例1.解：(1)画树枝图，共有10种不同的方法，选 Co(2)方法1:画树枝图，略。方法2：记1, 2, 3, 4号足球运动员对应的球衣为a,b,c,d ,5 X 4=20个,共有5+5=10个先

9、让1号运动员选择有3种方法，如选b；然后，让与球衣b对应的2号运动员选才3,也有 3种方法，如选d;再让与d对应的4号运动员选择，则只能选 a。因此，不同的赠送方法有 3 3 =9种。例2 .解：(1)每一条侧棱对应着 4对异面直线，共有 6 M 4 = 24对;(2)所有不同的三角形可分为三类”第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有 5个第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形由分类计数原理得，不同的三角形共有 5+20+10=35个.例3.解：图一，5父4父3父3=180种；变式：图二，5父4父3父

10、4 =240 ;图三，5X4X4X 4=320 种。图四，5M4(1父4+3父3)=260种。例4.本题是一种典型的选数与组数的问题，与计数有关，故考虑利用两个计数原理解决，但需要注意的是，无论组成多少位数字，首位均不能为0.(1)分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有 5种不同的选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种不同的选法，由分步乘法计数原理知， 所求的三位 数共有5父5父4 = 100个。(2)分三步：先选百位数字，由于0不能作为百位数字，因此有 5种不同的选法；十位数字有6种不同的选法；个位数字有6种不同的选法。由分步乘法计原理可知所求 的三位数共有 5X 6X6=18

11、0个。(3)分三步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种不同的选法；再选百位数字有4种选法；十位数字也有4种选法。由分步乘法计数原理知，所求的三位数共有3X4X4= 48个.(4)被3整除的数它的各位数字之和被3整除。对0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字按被 3除后的余数进行分类：A0=0,3, A=1,4, A =2,5,则这三个数字只能每个集合各取一个，A,A2中各取一数有2 m 2种选法。若 A中取数字0,可组成2 M2个三 位数；若A0中取数字3,可组成3M2父1个三位数；所求白三位数共有 4M10 = 40个。*基础训练*15 BDABC ;4 .提示：去巴黎有

12、4人可以选择、去伦敦有 5人可以选择、去悉尼有 4人可以选择、去莫 斯科有3人可以选择，故共有 4M5M4M3 = 240种选择。5 .提示：按该队胜平的场数统计，可能的积分值有15, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5,4, 3, 2, 1, 0,共 15 种可能。6 . 25.7 . 30.提示：0为个位的三位数有 4M3 = 12个；2或4为个位的三位数有 2M 3M 3 = 18个。8 . 63.提示：每个焊接点脱落与否有2种可能，所有6个焊接点脱落与否有 26种可能，其中只有1种情形能使电路畅通，故电路不通的可能有26 -1 = 63种。9 .解：记四棱锥PA

13、BCD，顶点P有5种不同的染法。若A, B,C,D用4种不同颜色染， 有4x3x2x1=24种不同的染法；若A,B,C,D用3种不同颜色染，则A,C或B,D同 色，有2x4x3x2=48种不同的染法；若A,B, C, D用2种不同颜色染，则A,C与B,D 同色，有4x3=12种不同的染法。综上，共有5M(24+48+12 ) = 420种不同的染色方法10 .解：(1)能组成4X5=20个不同的两位数；(2)十位数字为2的有4个，十位数字为4的有3个，十位数字为6的有2个，十位数字 为8的有1个，共10个；(3)能被3整除的两位数有 21, 27, 45, 63, 69, 81, 87共7个。3 一11 .选Co提不：若1和2闭合，则3、4、5有2种可能；若1闭合2断开，则5一定闭 合，3、4至少有一个闭合，有 3种可能；若1断开2闭合，则4 一定闭合，3、5至少 有一个闭合，有3种可能；若1