2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学试题及解答

1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理工农医类）及解答本试卷分第卷( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分。第卷1 至 2 页。第卷3 至 4 页。全卷满分150 分，考试时间120 分钟。考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2答第卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答第卷时，必须用0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4考试结束，

2、监考人员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间 A、 B互斥，那么 P( AB)P( A) P( B)如果时间 A、 B相互独立，那么P( A B) P(A) P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率n kPn k Cnk Pk 1 P2球的表面积公式S4R ，其中 R 表示球的半径43球的体积公式VR ，其中 R 表示球的半径3第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（ 1）复数 13i 等于（）3iA iB iC 3 iD 3 i解： 13i13i1

3、i 故选 A3ii(13i )i（ 2）设集合 Ax x22, xR ， By | yx2 , 1x2 ，则CR AB等于（）A RB x x R, x 0C 0D解： A0,2， B4,0 ，所以 CRABCR 0 ，故选 B。（ 3）若抛物线 y22 px 的焦点与椭圆x2y 21的右焦点重合，则p 的值为（）62A 2B 2C 4D 4解：椭圆x2y21的右焦点为(2,0) ，所以抛物线 y22 px 的焦点为 (2,0) ，则 p4 ，故选 D。622R ，已知命题 p : a b ；命题 q : aba2b2（ 4）设 a,b，则 p 是 q 成立的（）22A必要不充分条件B 充分不

4、必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2a2b2解：命题 p : ab 是命题 q :ab等号成立的条件，故选B。22（ 5）函数 y2x, x02, x的反函数是（）x0x , x 02x, x 0C yx , x 02x, x 0A y2B y02D yx, x0x, xx, x0x, x 0解：有关分段函数的反函数的求法，选C。（ 6）将函数 ysin x(0) 的图象按向量 a,0 平6移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A ysin( x)B ysin( x)66C ysin(2 x)D ysin(2 x)33解：将函数 ysinx(0) 的图象按向

5、量 a6,0 平移，平移后的图象所对应的解析式为ysin(x) ，由图象知，(736)，所以2，因此选 C。1262x4 的一条切线 l 与直线 x 4y（ 7）若曲线 y80垂直，则 l 的方程为（）A 4x y 3 0 B x 4 y 5 0 C 4 x y 3 0 D x 4y 3 0解：与直线 x4 y80 垂直的直线 l 为 4x ym0 ，即 yx4在某一点的导数为4，而 y4x3，所以 yx4在 (1 ， 1) 处导数为4，此点的切线为4 xy 30，故选 A（ 8）设 a0 ，对于函数 fxsin xa (0x) ，下列结论正确的是（）sin xA有最大值而无最小值B 有最小值

6、而无最大值C有最大值且有最小值D 既无最大值又无最小值解：令 t sin x, t(0,1 ，则函数 fxsin xa (0 x) 的值域为函数y 1a , t (0,1 的值域，a , tsin xt又 a0 ，所以 y1(0,1是一个减函减，故选B。t（ 9）表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A 2B1C2D2233333a2解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由82 3 知， a1 ，则此球的直径为42 ，故选 A。xy10（ 10）如果实数x、 y 满足条件y10，那么 2xy 的最大值为（）xy10A2B1C2D3解：当直线2xyt 过点

7、 (0 ， -1) 时， t 最大，故选B。（ 11）如果A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C 2 的三个内角的正弦值，则（）AA1B1C1 和A2 B2C2 都是锐角三角形BA1 B1C1 和A2 B2 C2 都是钝角三角形CA1B1C1 是钝角三角形，A2 B2C2 是锐角三角形DA1B1C1 是锐角三角形，A2 B2C2 是钝角三角形解： A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1 是锐角三角形，若A2 B2C2 是锐角三角形，由sin A2cos A1sin(A1 )A2A122sin B2cosB1sin(B1)，得B2B1 ，那么， A2 B2C2，所

8、以 A2 B2C2 是钝角三角222sin C2cosC1sin(C1 )C2C122形。故选 D。（ 12）在正方体上任选3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰 三角形的概率为（）A 1B 2C 3D 47777解：在正方体上任选3 个顶点连成三角形可得C83个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个 ( 即正方体的一边与过此点的一条面对角线) ，共有 24个，得 24，所以选 C。C83第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填写在答题卡的相应位置。（ 13）设常数 a0 ， ax2 1x4展开式中 x3 的系数为3 ，则 lim( a a2

9、an )_。2n1 r1 rx3 ,得 r2, 由 C4r a4 r = 31 ，所以解： Tr 1 C4r a4 r x8 2r x 2，由 x8 2 r x 2知a=221lim( aa2an )211 ，所以为 1。n12（ 14）在 ABCD 中， ABa, ADb, AN3NC ， M为 BC的中点，则解： 由AN3NC得4 AN3A C =3( a b) ， AMa1 b ，所以3 ( a b) (a1 b)1 a1 b 。2MN42441（ 15）函数 fx对于任意实数x 满足条件 fx21，若 ffx解：由 f x21得 f1f (x) ，所以fx 42xf xf (5)f (

10、1)5，则 f f5f ( 5)f ( 1)11 。f (1 2)5MN_ 。（用 a、b 表示）5, 则 ff5_。C1D 1A1B1CDBA第16题图（ 16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面内，其余顶点在的同侧， 正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是：3； 4；5；6；7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）解：如图， B、 D、 A1 到平面的距离分别为1、 2、 4，则 D、 A1 的中点到平面的距离为3，所以 D1 到平面 的距离为6；B、A 的

11、中点到平面的距离为5，所以 B到平面的距离为5；则 D、 B 的中点到平面1213的距离为 7的距离为，所以 C到平面的距离为 3；C、A1 的中点到平面，所以 C1 到平面的距离22为 7；而 P 为 C、 C1、B1、D1 中的一点，所以选。三、解答题：本大题共6 小题，共 74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（ 17）（本大题满分 12 分）已知（）求 tan 的值；310, tancot435sin 28sincos11cos28（）求2222的值。2 sin2解： ( ) 由 tancot10得 3tan 210 tan30，即 tan3或 tan1，又333tan1为所求

12、。，所以348 51-cos111+cos5sin 28sin cos11cos24sin8（）2222=22 cos22 sin2= 5 5cos8sin1111cos16 = 8sin6cos8tan26 =5 2。22 cos22 cos26（ 18）（本大题满分12 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（）写出的分布列；（

13、以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（）求的数学期望 E。（要求写出计算过程或说明道理）解：（）123456789P112232211151515151515151515P（）E1113223622215152415571589E151515151515F（ 19）（本大题满分12 分）如图， P 是边长为1 的正六边形 ABCDEF所HAODBC第 19题图在平面外一点，PA1， P在平面 ABC内的射影为BF 的中点 O。（）证明PA BF ；（）求面APB 与面 DPB 所成二面角的大小。解：（）在正六边形ABCDEF中，ABF 为等腰三角形， P 在平面 ABC内的射影为 O， PO

14、平面 ABF， AO为 PA在平面 ABF内的射影； O为 BF 中点， AO BF， PA BF。（） PO平面 ABF，平面 PBF平面 ABC；而 O为 BF中点， ABCDEF是正六边形 ， A、 O、D 共线，且直线 AD BF，则 AD平面 PBF；又正六边形ABCDEF的边长为1， AO1， DO332， BO。22过 O在平面 POB内作 OH PB于 H，连 AH、 DH，则 AH PB， DH PB，所以AHD 为所求二面角平面角。21AO17在AHO 中， OH=， tan AHO2=。7OH212217DO321在DHO 中， tanDHO2；OH2127721而 tanAHDtan( AHODHO )221242872132112212（）以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0 ， 1) ， A(0 ，1,0)， B(3 ，0,0)， D(0,2，0) ，22 PA(0,1, 1)， PB( 3,0,1)， PD(0, 2,1)221 y110(2 3,设平面 PAB的法向量为 n1( x1, y1 ,1) ，则 n1PA